人教A版选择性必修第一册单元测试滚动卷(二)(含一、二、三章)(含解析)学案

滚动卷(二)(含一、二、三章)

(时间:120分钟　满分:150分)

一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)

1.若直线经过A(1,0),B(2,)两点,则直线AB的倾斜角是(　C　)

(A)135° (B)120°

(C)60° (D)45°

解析:设直线AB的倾斜角是α,则由斜率的定义和斜率公式可得tan α==,

由0°≤α<180°,可得α=60°,

故选C.

2.已知椭圆C:+=1(a>0)的一个焦点为(2,0),则a的值为(　A　)

(A)2 (B) (C)6 (D)8

解析:椭圆C:+=1(a>0)的一个焦点为(2,0),

所以椭圆的长轴是x轴,

所以=2,解得a=2.

故选A.

3.设=(1,1,-2),=(3,2,8),=(0,1,0),则线段AB的中点P到点C的距离为(　A　)

(A) (B)

(C) (D)

解析:因为=(+)=( 2,,3).

所以=(2,,3).

所以||==.

故选A.

4.已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的右焦点为F(,0),点P在C的一条渐近线上,若|PO|=|PF|(O是原点),且△POF的面积为,则C的方程是(　A　)

(A)-=1 (B)-=1

(C)-=1 (D)-y2=1

解析:双曲线C:-=1(a>0,b>0)的右焦点为F(,0),

可得c=,

点P(m,n)在C的一条渐近线bx-ay=0上,

由|PO|=|PF|,可得m=c,n=,

由△POF的面积为,可得c·=,

即有a=b,又a2+b2=6,

解得a=2,b=,

则双曲线的方程为-=1.

故选A.

5.已知直线与抛物线y2=2px(p>0)交于A,B两点,且OA⊥OB,OD⊥AB交AB于D,点D的坐标为(2,1),则p的值为(　C　)

(A) (B) (C) (D)

解析:设A(x1,y1),B(x2,y2),

因为直线OD斜率为,OD⊥AB,

所以直线AB斜率为-2,

故直线AB方程为2x+y-5=0(1)

将(1)代入抛物线方程得y2+py-5p=0,

则y1y2=-5p,

因为=2px1,=2px2,

则=4p2x1x2,

故x1x2=,

因为OA⊥OB

所以x1x2+y1y2=0,

因为p>0,

所以p=.

故选C.

6.在正三棱柱(底面是正三角形的直三棱柱)ABC-A1B1C1中,AB=2,E,F分别为A1C1和A1B1的中点,当AE和BF所成角的余弦值为时,AE与平面BCC1B1所成角的正弦值为(　B　)

(A) (B) (C) (D)

解析:设AA1=t,以B为原点,BC为y轴,BB1为z轴,建立如图所示空间直角坐标系,

则A(,1,0),E,,t),B(0,0,0),F(,,t),

=(-,,t),=(,,t),

因为AE和BF所成角的余弦值为,

所以|cos <,>|=

=

=,

解得t=2.

所以=(-,,2),

平面BCC1B1的法向量n=(1,0,0),

所以AE与平面BCC1B1所成角α的正弦值为:

sin α=|cos<,n>|===.

故选B.

7.已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的焦点与椭圆+=1的焦点重合,且双曲线C的渐近线与圆(x-2)2+y2=3相切,则双曲线C的离心率为(　C　)

(A)1 (B) (C)2 (D)3

解析:椭圆+=1的焦点为F(±2,0),c=2,

所以双曲线中a2+b2=4.

双曲线C:-=1的渐近线方程为ay±bx=0,

由双曲线C的渐近线与圆(x-2)2+y2=3相切,

得=,可得b=a,

代入a2+b2=4得a=1.

离心率e==2,

故选C.

8.若直线y=mx+1与圆C:x2+y2+2x+2y=0相交于A,B两点,且AC⊥BC,则m等于(　A　)

(A) (B)-1 (C)- (D)

解析:根据题意,圆C:x2+y2+2x+2y=0,

即(x+1)2+(y+1)2=2,

其圆心为(-1,-1),半径r=,

若直线y=mx+1与圆C:x2+y2+2x+2y=0相交于A,B两点,且AC⊥BC,

则C到直线AB的距离d=×=1,

则有=1,

解得m=.

故选A.

二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项是符合题目要求的,全部选对的得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)

9.下面说法中错误的是(　ABC　)

(A)经过定点P(x0,y0)的直线都可以用方程y-y0=k(x-x0)表示

(B)经过定点A(0,b)的直线都可以用方程y=kx+b表示

(C)不经过原点的直线都可以用方程+=1表示

(D)经过任意两个不同的点P1(x1,y1),P2(x2,y2)的直线都可以用方程(y-y1)(x2-x1)=(x-x1)(y2-y1)表示

解析:当直线的斜率不存在时,经过定点P(x0,y0)的直线方程为x=x0,不能写成y-y0=k(x-x0)的形式,故A错误.

当直线的斜率不存在时,经过定点A(0,b)的直线方程为x=0,不能用方程y=kx+b表示,故B错误.

不经过原点的直线,当斜率不存在时,方程为x=a(a≠0)的形式,故C错误.

经过任意两个不同的点P1(x1,y1),P2(x2,y2)的直线,当斜率等于零时,y1=y2,x1≠x2,方程为y=y1,

能用方程(y-y1)(x2-x1)=(x-x1)(y2-y1)表示;

当直线的斜率不存在时,y1≠y2,x1=x2,方程为x=x1,能用方程(y-y1)(x2-x1)=(x-x1)(y2-y1)表示,故D正确,

故选ABC.

10.关于x,y的方程+=1(其中m2≠)对应的曲线可能是(　ABCE　)

(A)焦点在x轴上的椭圆

(B)焦点在y轴上的椭圆

(C)焦点在x轴上的双曲线

(D)焦点在y轴上的双曲线

(E)圆

解析:关于x,y的方程+=1(其中m2≠).

当3m2-2<0时,曲线是双曲线,焦点坐标在x轴,所以C正确;

当m2+2=3m2-2,即m=±时,曲线表示圆,所以E正确;

当m2+2>3m2-2>0,即<|m|<时,曲线表示焦点坐标在x轴上的椭圆,所以A正确;

当0<m2+2<3m2-2,即|m|>时,曲线表示焦点坐标在y轴上的椭圆,所以B正确;

故选ABCE.

11.已知P,Q分别为圆M:(x-6)2+(y-3)2=4与圆N:(x+4)2+(y-2)2=1上的动点,A为x轴上的动点,则|AP|+|AQ|的值可能是(　CD　)

(A)7 (B)8 (C)9 (D)10

解析:根据题意,设圆G与圆N关于x轴对称,点Q'与点Q关于x轴

对称,

圆N的方程为(x+4)2+(y-2)2=1,其圆心N(-4,2),半径r=1;

则圆G的圆心为G(-4,-2),半径r'=1,

则G的方程为(x+4)2+(y+2)2=1,

圆M的方程为(x-6)2+(y-3)2=4,其圆心M(6,3),半径R=2,

又由Q为圆N:(x+4)2+(y-2)2=1上的动点,则Q'在圆G上,

则有|AP|+|AQ|=|AP|+|AQ'|,

又最小值为|MG|-R-r'=-2-1=5-3,

故有5-3≤|AP|+|AQ|,

分析选项:只有C,D的数值在区间[5-3,+∞)上.故选CD.

12.已知椭圆+=1的左、右焦点分别为F1,F2,过F1的直线l1与过F2的直线l2交于点M,设M的坐标为(x0,y0),若l1⊥l2,则正确的有(　ACD　)

(A)+<1 (B)+>1

(C)+<1 (D)4+3>1

解析:由椭圆+=1,

可得a=2,b=,c=1.

所以左、右焦点分别为F1(-1,0),F2(1,0),

设A(0,),则tan ∠AF1F2=,

可得∠AF1F2=,

所以∠F1AF2=.

因为l1⊥l2,

所以直线l1与直线l2交点M在椭圆的内部.

所以+<1,A正确;

+>1,B不正确;

直线+=1与椭圆+=1联立,

可得7y2-24y+27=0无解,

因此直线+=1与椭圆+=1无交点.

而点M在椭圆的内部,在直线的左下方,

所以满足+<1,C正确.

因为+=1,0≤≤1,

所以4+3=4(1-)+3=4->1,因此D正确.故选ACD.

三、填空题(共4小题,满分20分,每小题5分)

13.已知向量a=(-1,2,1),b=(2,-2,0),则a在b方向上的投影为　. 

解析:因为a=(-1,2,1),b=(2,-2,0),

所以a在b方向上的投影为:==-.

答案:-.

14.已知圆C:(x-3)2+(y-4)2=1和两点A(-m,0),B(m,0)(m>0),若圆C上存在点P使得∠APB=90°,则m的最大值为　　　　　. 

解析:圆C:(x-3)2+(y-4)2=1的圆心C(3,4),半径r=1,

设P(a,b)在圆C上,

则=(a+m,b),=(a-m,b),

因为∠APB=90°,

所以⊥,

所以·=(a+m)(a-m)+b2=0,

所以m2=a2+b2=|OP|2,

所以m的最大值即为|OP|的最大值,|OP|max=|OC|+r=5+1=6.

答案:6

15.已知过抛物线y2=6x焦点F的直线与此抛物线交于A,B两点,=3,抛物线的准线l与x轴交于点C,AM⊥l于点M,则四边形ABCM的面积为　　　　. 

解析:过B作BN⊥l于N点,过B作BK⊥AM于K,

设|BF|=m,|AF|=3m,

则|AB|=4m,|BN|=m,|AK|=2m,

所以∠BAM=60°,

因为|CF|=p=m=3,

所以m=2,

所以|AM|=3m=6,

|MN|=|KB|=|AB|sin 60°=4m×=4,

|MC|=|AF|sin 60°=3m×=3,

|NC|=|MN|-|MC|=,

所以S四边形ABCM=S梯形BNMA-S△BCN

=(|BN|+|AM|)·|MN|-·|BN|·|CN|

=15.

答案:15

16.直线l过抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F(1,0),且与C交于A,B两点,则p=　　　　,+=　　　　. 

解析:由题意,抛物线C的焦点F(1,0),

所以=1,故p=2.

所以抛物线C的方程为:y2=4x.

则可设A(x1,y1),B(x2,y2).

由抛物线的定义,可知:|AF|=x1+1,|BF|=x2+1.

①当斜率不存在时,x1=x2=1.

所以+=+=+=1.

②当斜率存在时,设直线l斜率为k(k≠0),则直线方程为:y=k(x-1).

联立

整理,得k2x2-2(k2+2)x+k2=0,

所以

所以+=+===1.

综合①②,可知:+=1.

答案:2　1

四、解答题(本大题共6小题,共70分)

17.(本小题满分10分)

已知直线l过点(0,2),(2,0).

(1)求直线l的方程;

(2)光线通过点A(-2,1),在直线l上反射,反射光线经过点B(2,-3),试求入射光线和反射光线所在直线的方程.

解:(1)因为直线l过点(0,2),(2,0),

所以直线l的方程为+=1,

即x+y-2=0.

(2)设点A(-2,1)关于直线l的对称点为A'(x0,y0),

由中点坐标公式及kAA'·kl=-1,

得解得A'(1,4).

由于反射光线所在直线经过点A'(1,4)和B(2,-3),

所以反射光线所在直线的方程为y-4=(x-1),

即7x+y-11=0.

解方程组

解得反射点P(,).

由于入射光线所在直线经过点A(-2,1),P(,),

所以入射光线所在直线的方程为

y-1=(x+2)⇒x+7y-5=0.

18.(本小题满分12分)

已知圆C经过点A(0,0),B(7,7),圆心在直线y=x上.

(1)求圆C的标准方程;

(2)若直线l与圆C相切且与x,y轴截距相等,求直线l的方程.

解:(1)根据题意,设圆C的圆心为(a,b),半径为r,

则其标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,

圆C经过点A(0,0),B(7,7),圆心在直线y=x上,

则有解得

则圆C的标准方程为(x-3)2+(y-4)2=25.

(2)若直线l与圆C相切且与x,y轴截距相等,

分2种情况讨论:

①,直线l经过原点时,已知圆也过原点,设直线l的方程为y=kx,

则有=5,

解得k=-,此时直线l的方程为y=-x;

②,直线l不经过原点,设直线l的方程为x+y-m=0,

则有=5,

解得m=7+5或7-5,

此时直线l的方程为x+y+5-7=0或x+y-5-7=0.

综合可得:直线l的方程为y=-x或x+y+5-7=0或x+y-5-7=0.

19.(本小题满分12分)

已知椭圆C:+=1(a>b>0)上任意一点到两焦点F1,F2距离之和为4,离心率为.

(1)求椭圆C的标准方程;

(2)若直线l的斜率为,直线l与椭圆C交于A,B两点.点P(2,1)为椭圆上一点,求△PAB面积的最大值及此时直线l的直线方程.

解:(1)由条件得:

解得a=2,c=,b=,

所以椭圆的方程为+=1.

(2)设l的方程为y=x+m,点A(x1,y1),B(x2,y2),

由

消去y得x2+2mx+2m2-4=0.

令Δ=4m2-8m2+16>0,解得|m|<2,

由韦达定理得x1+x2=-2m,x1x2=2m2-4.

则由弦长公式得

|AB|=·

=.

又点P到直线l的距离d==,

所以S△PAB=·|AB|·d

=××

=

≤

=2,

当且仅当m2=2,即m=±时取得最大值.

所以△PAB面积的最大值为2.

此时直线l的方程为:x-2y±2=0.

20.(本小题满分12分)如图,四棱锥P-ABCD的底面ABCD是平行四边形,∠BCD=135°,PA⊥平面ABCD,AB=AC=PA=2,E,F,M分别为线段BC,AD,PD的中点.

 (1)求证:直线EF⊥平面PAC;

(2)求平面MEF与平面PBC所成二面角的正弦值.

(1)证明:在平行四边形ABCD中,

因为AB=AC,∠BCD=135°,

所以∠ACB=∠ABC=45°,

所以AB⊥AC,

因为E,F,M分别为线段BC,AD,PD的中点.

所以EF//AB,

所以EF⊥AC,

因为PA⊥底面ABCD,EF⊂底面ABCD,

所以PA⊥EF,

因为PA∩AC=A,且PA⊂平面PAC,AC⊂平面PAC,

所以EF⊥平面PAC.

(2)解:因为PA⊥底面ABCD,AB⊥AC,

所以AP,AB,AC两两垂直,

以AB,AC,AP所在直线分别为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,

则A(0,0,0),B(2,0,0),C(0,2,0),P(0,0,2),D(-2,2,0),

E(1,1,0),=(-2,2,0),=(2,0,-2),

设平面PBC的法向量n=(x,y,z),

则

取x=1,得n=(1,1,1),M,F是PD,AD的中点,

所以MF∥PA,MF⊥AC,MF∩EF=F,AC⊥平面MEF,

所以=(0,2,0)为平面MEF的法向量,

所以|cos<,n>|==,

所以平面MEF与平面PBC所成二面角的正弦值为.

21.(本小题满分12分)

已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,A点在抛物线上,且A的横坐标为4,|AF|=5.

(1)求抛物线的方程;

(2)设l为过(4,0)点的任意一条直线,若l交抛物线于A,B两点,求证:以AB为直径的圆必过坐标原点.

(1)解:抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F(,0),准线为x=-,

由抛物线的定义可得,|AF|=4+=5,

解得p=2,即有抛物线的方程为y2=4x.

(2)证明:设直线l:x=my+4,A(x1,y1),B(x2,y2),

代入抛物线方程y2=4x,可得

y2-4my-16=0,

判别式为16m2+64>0恒成立,

y1y2=-16,x1x2=·=16,

即有x1x2+y1y2=0,

则⊥,

则以AB为直径的圆必过坐标原点.

22.(本小题满分12分)

在平面直角坐标系xOy中,已知定点A(-2,0),B(2,0),M是动点,且直线MA与直线MB的斜率之积为-,设动点M的轨迹为曲线C.

(1)求曲线C的方程;

(2)过定点T(-1,0)的动直线l与曲线C交于P,Q两点,若S(-,0),证明:·为定值.

(1)解:设M点坐标为(x,y)(x≠±2),

已知定点A(-2,0),B(2,0),直线MA与直线MB的斜率之积为-,

所以×=-,

所以+y2=1(x≠±2).

(2)证明:当动直线l的斜率不存在时,直线l为x=-1,可求得P(-1,),Q(-1,-),

若S(-,0),=(,),=(,-),·=.

当动直线l的斜率存在时,设动直线l的方程为y=k(x+1)(k≠0),联立方程组,消去y得(1+4k2)x2+8k2x+4k2-4=0,

设P(x1,y1),Q(x2,y2),

则x1+x2=-,x1x2=,

所以=(x1+,y1),=(x2+,y2),

所以·=(x1+,y1)·(x2+,y2)

=+

=.