数学必修 第一册3.2 函数的基本性质第1课时课时作业

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[A　基础达标]1.下列函数为奇函数的是(　　)A．y＝x2＋2　 B．y＝x，x∈(0，1]C．y＝x3＋x  D．y＝2x5＋1解析：选C．对于A，f(－x)＝(－x)2＋2＝x2＋2＝f(x)，即f(x)为偶函数；对于B，定义域不关于原点对称，故f(x)既不是奇函数也不是偶函数；对于C，定义域为R且f(－x)＝(－x)3＋(－x)＝－(x3＋x)＝－f(x)，故f(x)为奇函数；对于D，f(－x)＝－2x5＋1≠f(x)且f(－x)≠－f(x)，故f(x)既不是奇函数，也不是偶函数．2.若函数f(x)＝(m－1)x2＋(m－2)x＋(m2－7m＋12)为偶函数，则m的值是(　　)A．1　 B．2   C．3　 D．4解析：选B．因为函数f(x)＝(m－1)x2＋(m－2)x＋(m2－7m＋12)为偶函数，所以f(－x)＝f(x)，即(m－1)x2＋(m－2)x＋(m2－7m＋12)＝(m－1)x2＋(－m＋2)x＋(m2－7m＋12)，即m－2＝－m＋2，解得m＝2.3.设f(x)是定义在R上的一个函数，则函数F(x)＝f(x)－f(－x)在R上一定(　　)A．是奇函数B．是偶函数C．既是奇函数又是偶函数D．既不是奇函数又不是偶函数解析：选A．F(－x)＝f(－x)－f(x)＝－[f(x)－f(－x)]＝－F(x)，符合奇函数的定义．4.已知函数y＝f(x)是偶函数，且图象与x轴有四个交点，则方程f(x)＝0的所有实数根之和是(　　)A．4  B．2C．1  D．0解析：选D．因为f(x)是偶函数，且图象与x轴有四个交点，所以这四个交点每组两个关于y轴一定是对称的，故所有实数根之和为0.5.(多选)已知定义在区间[－7，7]上的一个偶函数，它在[0，7]上的图象如图所示，则下列说法正确的是(　　)A．这个函数有两个单调递增区间B．这个函数有三个单调递减区间C．这个函数在其定义域内有最大值7D．这个函数在其定义域内有最小值－7解析：选BC．根据偶函数在[0，7]上的图象及其对称性，作出其在[－7，7]上的图象，如图所示．由图象可知这个函数有三个单调递增区间，有三个单调递减区间，在其定义域内有最大值7，最小值不是－7.故选BC．6.若f(x)为R上的奇函数，给出下列四个说法：①f(x)＋f(－x)＝0；②f(x)－f(－x)＝2f(x)；③f(x)f(－x)＜0；④＝－1.其中一定正确的为_________．(填序号)解析：因为f(x)在R上为奇函数，所以f(－x)＝－f(x).所以f(x)＋f(－x)＝f(x)－f(x)＝0，故①正确．f(x)－f(－x)＝f(x)＋f(x)＝2f(x)，故②正确．当x＝0时，f(x)f(－x)＝0，故③不正确．当x＝0时，分母为0，无意义，故④不正确．答案：①②7.如果函数y＝是奇函数，则f(x)＝_________．解析：设x<0，则－x>0，所以f(－x)＝2×(－x)－3＝－2x－3.又原函数为奇函数，所以f(x)＝－f(－x)＝－(－2x－3)＝2x＋3.答案：2x＋38.已知函数f(x)＝ax3＋bx＋＋5，满足f(－3)＝2，则f(3)的值为_________．解析：因为f(x)＝ax3＋bx＋＋5，所以f(－x)＝－ax3－bx－＋5，所以f(x)＋f(－x)＝10.所以f(－3)＋f(3)＝10.又f(－3)＝2，所以f(3)＝8.答案：89.判断下列函数的奇偶性．(1)f(x)＝3，x∈R；(2)f(x)＝5x4－4x2＋7，x∈[－3，3]；(3)f(x)＝解：(1)因为f(－x)＝3＝f(x)，所以函数f(x)是偶函数．(2)因为x∈[－3，3]，定义域关于原点对称，f(－x)＝5(－x)4－4(－x)2＋7＝5x4－4x2＋7＝f(x)，所以函数f(x)是偶函数．(3)当x>0时，f(x)＝1－x2，此时－x<0，所以f(－x)＝(－x)2－1＝x2－1，所以f(－x)＝－f(x)；当x<0时，f(x)＝x2－1，此时－x>0，f(－x)＝1－(－x)2＝1－x2，所以f(－x)＝－f(x)；当x＝0时，f(－0)＝－f(0)＝0.综上，对x∈R，总有f(－x)＝－f(x)，所以函数f(x)为R上的奇函数．10.定义在R上的奇函数f(x)在[0，＋∞)上的图象如图所示．(1)补全f(x)的图象；(2)解不等式xf(x)>0.解：(1)描出点(1，1)，(2，0)关于原点的对称点(－1，－1)，(－2，0)，则可得f(x)的图象如图所示．(2)结合函数f(x)的图象，可知不等式xf(x)>0的解集是(－2，0)∪(0，2).[B　能力提升]11.(多选)设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是(　　)A．f(x)g(x)是奇函数    B．|f(x)|g(x)是偶函数C．f(x)|g(x)|是奇函数    D．|f(x)g(x)|是奇函数解析：选ABC．依题意得对任意x∈R，都有f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x).因此，f(－x)g(－x)＝－f(x)g(x)＝－[f(x)g(x)]，f(x)g(x)是奇函数，A正确；|f(－x)|g(－x)＝|－f(x)|g(x)＝|f(x)|g(x)，|f(x)|g(x)是偶函数，B正确；f(－x)|g(－x)|＝－f(x)|g(x)|＝－[f(x)|g(x)|]，f(x)|g(x)|是奇函数，C正确；|f(－x)g(－x)|＝|－f(x)g(x)|＝|f(x)g(x)|，|f(x)g(x)|是偶函数，D错．故选ABC．12.已知f(x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f(x)－g(x)＝x3＋x2＋1，则f(1)＋g(1)＝(　　)A．－3  B．－1C．1  D．3解析：选C．因为f(x)－g(x)＝x3＋x2＋1，所以f(－x)－g(－x)＝－x3＋x2＋1.又由题意可知f(－x)＝f(x)，g(－x)＝－g(x)，　所以f(x)＋g(x)＝－x3＋x2＋1，则f(1)＋g(1)＝1，故选C．13.定义在(－8，a)上的奇函数f(x)在区间[2，7]上是增函数，在区间[3，6]上的最大值为a，最小值为－1，则2f(－6)＋f(－3)＝_________．解析：根据题意，f(x)是定义在(－8，a)上的奇函数，则a＝8.又由f(x)在区间[2，7]上是增函数，且在区间[3，6]上的最大值为a＝8，最小值为－1，则f(6)＝a＝8，f(3)＝－1.函数是奇函数，则f(－6)＝－8，f(－3)＝1.则2f(－6)＋f(－3)＝2×(－8)＋1＝－15.答案：－1514.已知函数f(x)对一切实数x，y都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y).(1)求证：f(x)是奇函数；(2)若f(－3)＝a，试用a表示f(12).(1)证明：由已知f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，令y＝－x得f(0)＝f(x)＋f(－x)，令x＝y＝0得f(0)＝2f(0)，所以f(0)＝0.所以f(x)＋f(－x)＝0，即f(－x)＝－f(x)，故f(x)是奇函数．(2)解：由(1)知f(x)为奇函数．所以f(－3)＝－f(3)＝a.所以f(3)＝－a.又f(12)＝f(6)＋f(6)＝2f(3)＋2f(3)＝4f(3)，所以f(12)＝－4a.[C　拓展探究]15.已知f(x)是定义在R上的函数，设g(x)＝，h(x)＝.(1)试判断g(x)与h(x)的奇偶性；(2)试判断g(x)，h(x)与f(x)的关系；(3)由此你能猜想出什么样的结论？解：(1)因为g(－x)＝＝g(x)，h(－x)＝＝－h(x)，所以g(x)是偶函数，h(x)是奇函数．(2)g(x)＋h(x)＝＋＝f(x).(3)如果一个函数的定义域关于原点对称，那么这个函数就一定可以表示为一个奇函数与一个偶函数的和．