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2022高三数学（理科）（全国版）一轮复习课件：第8章第5讲 空间角与距离、空间向量及应用
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这是一份2022高三数学（理科）（全国版）一轮复习课件：第8章第5讲 空间角与距离、空间向量及应用，共55页。PPT课件主要包含了考点帮·必备知识通关，考法帮·解题能力提升，考法2求空间角，提能力∙数学探索，考情解读，规律总结，图8-5-3，图8-5-4，命题角度3求二面角等内容，欢迎下载使用。
考点1 空间向量及其运算
考点2 空间向量的应用
考法1 利用向量法证明平行与垂直问题
考法3 求空间距离
高分帮 ·“双一流”名校冲刺
数学探索1 立体几何中的探索性问题
数学探索2 立体几何中的翻折问题
考点1 空间向量及其运算考点2 空间向量的应用
考点1 空间向量及其运算
1.空间向量的概念以及空间向量的加、减、数乘、数量积运算及其坐标表示是平面向量的类比推广.2.空间向量三个定理
考点2 空间向量的应用
1.直线的方向向量和平面的法向量(1)直线的方向向量:如果表示非零向量a的有向线段所在直线与直线l平行或重合,则称此向量a为直线l的方向向量.(2)平面的法向量:直线l⊥α,取直线l的方向向量a,则向量a叫作平面α的法向量.一个平面的法向量有无数个,它们是共线向量.
2.空间位置关系的向量表示
4.二面角如图8-5-2,在二面角α-l-β的棱l上任取一点P,以点P为垂足,在半平面α,β内分别作垂直于棱l的射线PA和PB,则射线PA和PB构成的∠APB叫作二面角α-l-β的平面角.二面角的大小可以用它的平面角来度量,二面角的平面角是多少度,就说这个二面角是多少度.我们规定,二面角的取值范围是[0,π].平面角是直角的二面角叫作直二面角.
5.利用向量法求空间角
2.二面角θ与两平面法向量夹角的关系图8-5-4(2)(4)中θ=π-;图8-5-4(1)(3)中θ=.
考法1 利用向量法证明平行与垂直问题考法2 求空间角考法3 求空间距离
考法1 利用向量法证明平行与垂直问题
示例1 如图8-5-5,在矩形ABCD中,AB=2BC,P,Q分别为线段AB,CD的中点,EP⊥平面ABCD.(1)求证:AQ∥平面CEP.(2)求证:平面AEQ⊥平面DEP.
解析 （1）如图8-5-6,连接PQ,因为四边形ABCD为矩形,且P,Q分别为线段AB,CD的中点,则PQ⊥AB.易知PA,PQ,PE两两垂直,以P为坐标原点,分别以PA,PQ,PE所在直线为x轴、y轴、z轴建立如图8-5-6所示的空间直角坐标系.
又PD∩PE=P,所以AQ⊥平面EPD,又AQ⊂平面AEQ,(注意说明前提条件)所以平面AEQ⊥平面DEP.
方法技巧1.利用空间向量证明平行问题的方法
注意 用向量法证明平行问题时,要注意解题的规范性.如证明线面平行时,仍需要说明一条直线在平面内,另一条直线在平面外.
2.利用空间向量证明垂直问题的方法
考法2 求空间角
示例2 [2020浙江,19,15分]如图8-5-7,在三棱台ABC-DEF中,平面ACFD⊥平面ABC,∠ACB=∠ACD=45°,DC=2BC.(Ⅰ)证明:EF⊥DB.(Ⅱ)求直线DF与平面DBC所成角的正弦值.
命题角度1 求异面直线所成的角详见《高考帮》图书P165考法3.命题角度2 求线面角
又BO∩DO=O,所以BC⊥平面BDO,故BC⊥DB.由三棱台ABC-DEF得BC∥EF,所以EF⊥DB.(Ⅱ)解法一(几何法) 如图8-5-8,过点O作OH⊥BD,交直线BD于点H,连接CH.
方法技巧 求直线与平面所成角的方法
示例3 [2019全国卷Ⅱ,17,12分][理]如图8-5-11,长方体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形,点E在棱AA1上,BE⊥EC1.(1)证明:BE⊥平面EB1C1.(2)若AE=A1E,求二面角B-EC-C1的正弦值.
解析 (1)由已知得,B1C1⊥平面ABB1A1,BE⊂平面ABB1A1,故B1C1⊥BE.又BE⊥EC1,B1C1∩EC1=C1,所以BE⊥平面EB1C1.(2)由(1)知∠BEB1=90°.由题意知Rt△ABE≌Rt△A1B1E,所以∠AEB=45°,故AE=AB,AA1=2AB.
方法技巧 求二面角的方法(1)定义法:在二面角的棱上找一特殊点,过该点在两个半平面内分别作垂直于棱的射线,如图8-5-13(1),∠AOB为二面角α-l-β的平面角.(2)垂面法:过棱上一点作棱的垂直平面,该平面与二面角的两个半平面的交线所形成的角即二面角的平面角,如图 8-5-13(2),∠AOB为二面角α-l-β的平面角.
(3)垂线法(三垂线定理法):过二面角的一个半平面内一点作另一个半平面所在平面的垂线,从垂足出发向棱引垂线,利用三垂线定理(线面垂直的性质)即可找到所求二面角的平面角或其补角,如图8-5-13(3),∠AOB为二面角α-l-β的平面角.
注意 二面角的取值范围是[0,π],需要结合图形的特征,确定求出的两法向量的夹角到底是二面角还是二面角的补角.
解析 (1)如图8-5-16,取PD的中点F,连接AF,EF,因为E为PC的中点,F为PD的中点,
方法技巧 求空间距离常用的方法
高分帮·“双一流”名校冲刺
提能力∙ 数学探索数学探索1 立体几何中的探索性问题数学探索2 立体几何中的翻折问题
数学探索1 立体几何中的探索性问题
1.条件追溯型如果已知的是问题的结论,而要求的却是问题的条件,这种试题为条件追溯型试题.
解析 如图8-5-20,取AD的中点O,连接PO,OE.因为△PAD为正三角形,所以PO⊥AD.因为平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,所以PO⊥平面ABCD.易知AD=AE=2,又∠DAB=60°,所以△ADE为正三角形,所以OE⊥AD.
2.存在探索型要判断在某些确定条件下的某一数学对象(数值、图形等)是否存在或某一结论是否成立,这种试题为存在探索型试题.
解析 (1)因为PA⊥平面ABCD,所以PA⊥CD.又AD⊥CD,AD∩PA=A,所以CD⊥平面PAD.(2)过A作AD的垂线交BC于点M.因为PA⊥平面ABCD,所以PA⊥AM,PA⊥AD.以A为坐标原点建立如图8-5-22所示的空间直角坐标系,(建系)则A(0,0,0),B(2,-1,0),C(2,2,0),D(0,2,0),P(0,0,2).
方法技巧1.解决立体几何中的探索性问题的策略
2.解决立体几何中探索性问题的技巧(1)涉及线段上点的位置的探索性问题一般是先根据条件猜测点的位置再给出证明,所求点多为中点或三等分点中某一个,也可以根据相似知识找点,求解时注意三点共线条件的应用. (2)借助空间直角坐标系,把几何对象上动态点的坐标用参数(变量)表示出来,将几何对象坐标化,这样根据所要满足的题设要求得到相应的方程或方程组.若方程或方程组有满足题设要求的解,则通过参数的值反过来确定几何对象的位置;若方程或方程组没有满足题设要求的解,则表示满足题设要求的几何对象不存在.
注意 猜测点的位置时,注意特殊位置关系和极端情形的应用.
数学探索2 立体几何中的翻折问题
示例7 [2019全国卷Ⅲ,19,12分][理]图8-5-24是由矩形ADEB,Rt△ABC和菱形BFGC组成的一个平面图形,其中AB=1,BE=BF=2,∠FBC=60°.将其沿AB,BC折起使得BE与BF重合,连接DG,如图8-5-25.(1)证明:图8-5-25中的A,C,G,D四点共面,且平面ABC⊥平面BCGE.(2)求图8-5-25中的二面角B-CG-A的大小.
将平面图形沿一条或几条线段折起,使其成为空间图形,这类问题称为立体几何中的翻折问题,翻折问题常与空间中的平行、垂直以及空间角相结合命题.
考点1 空间向量及其运算
考点2 空间向量的应用
考法1 利用向量法证明平行与垂直问题
考法3 求空间距离
高分帮 ·“双一流”名校冲刺
数学探索1 立体几何中的探索性问题
数学探索2 立体几何中的翻折问题
考点1 空间向量及其运算考点2 空间向量的应用
考点1 空间向量及其运算
1.空间向量的概念以及空间向量的加、减、数乘、数量积运算及其坐标表示是平面向量的类比推广.2.空间向量三个定理
考点2 空间向量的应用
1.直线的方向向量和平面的法向量(1)直线的方向向量:如果表示非零向量a的有向线段所在直线与直线l平行或重合,则称此向量a为直线l的方向向量.(2)平面的法向量:直线l⊥α,取直线l的方向向量a,则向量a叫作平面α的法向量.一个平面的法向量有无数个,它们是共线向量.
2.空间位置关系的向量表示
4.二面角如图8-5-2,在二面角α-l-β的棱l上任取一点P,以点P为垂足,在半平面α,β内分别作垂直于棱l的射线PA和PB,则射线PA和PB构成的∠APB叫作二面角α-l-β的平面角.二面角的大小可以用它的平面角来度量,二面角的平面角是多少度,就说这个二面角是多少度.我们规定,二面角的取值范围是[0,π].平面角是直角的二面角叫作直二面角.
5.利用向量法求空间角
2.二面角θ与两平面法向量夹角
考法1 利用向量法证明平行与垂直问题考法2 求空间角考法3 求空间距离
考法1 利用向量法证明平行与垂直问题
示例1 如图8-5-5,在矩形ABCD中,AB=2BC,P,Q分别为线段AB,CD的中点,EP⊥平面ABCD.(1)求证:AQ∥平面CEP.(2)求证:平面AEQ⊥平面DEP.
解析 （1）如图8-5-6,连接PQ,因为四边形ABCD为矩形,且P,Q分别为线段AB,CD的中点,则PQ⊥AB.易知PA,PQ,PE两两垂直,以P为坐标原点,分别以PA,PQ,PE所在直线为x轴、y轴、z轴建立如图8-5-6所示的空间直角坐标系.
又PD∩PE=P,所以AQ⊥平面EPD,又AQ⊂平面AEQ,(注意说明前提条件)所以平面AEQ⊥平面DEP.
方法技巧1.利用空间向量证明平行问题的方法
注意 用向量法证明平行问题时,要注意解题的规范性.如证明线面平行时,仍需要说明一条直线在平面内,另一条直线在平面外.
2.利用空间向量证明垂直问题的方法
考法2 求空间角
示例2 [2020浙江,19,15分]如图8-5-7,在三棱台ABC-DEF中,平面ACFD⊥平面ABC,∠ACB=∠ACD=45°,DC=2BC.(Ⅰ)证明:EF⊥DB.(Ⅱ)求直线DF与平面DBC所成角的正弦值.
命题角度1 求异面直线所成的角详见《高考帮》图书P165考法3.命题角度2 求线面角
又BO∩DO=O,所以BC⊥平面BDO,故BC⊥DB.由三棱台ABC-DEF得BC∥EF,所以EF⊥DB.(Ⅱ)解法一(几何法) 如图8-5-8,过点O作OH⊥BD,交直线BD于点H,连接CH.
方法技巧 求直线与平面所成角的方法
示例3 [2019全国卷Ⅱ,17,12分][理]如图8-5-11,长方体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形,点E在棱AA1上,BE⊥EC1.(1)证明:BE⊥平面EB1C1.(2)若AE=A1E,求二面角B-EC-C1的正弦值.
解析 (1)由已知得,B1C1⊥平面ABB1A1,BE⊂平面ABB1A1,故B1C1⊥BE.又BE⊥EC1,B1C1∩EC1=C1,所以BE⊥平面EB1C1.(2)由(1)知∠BEB1=90°.由题意知Rt△ABE≌Rt△A1B1E,所以∠AEB=45°,故AE=AB,AA1=2AB.
方法技巧 求二面角的方法(1)定义法:在二面角的棱上找一特殊点,过该点在两个半平面内分别作垂直于棱的射线,如图8-5-13(1),∠AOB为二面角α-l-β的平面角.(2)垂面法:过棱上一点作棱的垂直平面,该平面与二面角的两个半平面的交线所形成的角即二面角的平面角,如图 8-5-13(2),∠AOB为二面角α-l-β的平面角.
(3)垂线法(三垂线定理法):过二面角的一个半平面内一点作另一个半平面所在平面的垂线,从垂足出发向棱引垂线,利用三垂线定理(线面垂直的性质)即可找到所求二面角的平面角或其补角,如图8-5-13(3),∠AOB为二面角α-l-β的平面角.
注意 二面角的取值范围是[0,π],需要结合图形的特征,确定求出的两法向量的夹角
解析 (1)如图8-5-16,取PD的中点F,连接AF,EF,因为E为PC的中点,F为PD的中点,
方法技巧 求空间距离常用的方法
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数学探索1 立体几何中的探索性问题
1.条件追溯型如果已知的是问题的结论,而要求的却是问题的条件,这种试题为条件追溯型试题.
解析 如图8-5-20,取AD的中点O,连接PO,OE.因为△PAD为正三角形,所以PO⊥AD.因为平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,所以PO⊥平面ABCD.易知AD=AE=2,又∠DAB=60°,所以△ADE为正三角形,所以OE⊥AD.
2.存在探索型要判断在某些确定条件下的某一数学对象(数值、图形等)是否存在或某一结论是否成立,这种试题为存在探索型试题.
解析 (1)因为PA⊥平面ABCD,所以PA⊥CD.又AD⊥CD,AD∩PA=A,所以CD⊥平面PAD.(2)过A作AD的垂线交BC于点M.因为PA⊥平面ABCD,所以PA⊥AM,PA⊥AD.以A为坐标原点建立如图8-5-22所示的空间直角坐标系,(建系)则A(0,0,0),B(2,-1,0),C(2,2,0),D(0,2,0),P(0,0,2).
方法技巧1.解决立体几何中的探索性问题的策略
2.解决立体几何中探索性问题的技巧(1)涉及线段上点的位置的探索性问题一般是先根据条件猜测点的位置再给出证明,所求点多为中点或三等分点中某一个,也可以根据相似知识找点,求解时注意三点共线条件的应用. (2)借助空间直角坐标系,把几何对象上动态点的坐标用参数(变量)表示出来,将几何对象坐标化,这样根据所要满足的题设要求得到相应的方程或方程组.若方程或方程组有满足题设要求的解,则通过参数的值反过来确定几何对象的位置;若方程或方程组没有满足题设要求的解,则表示满足题设要求的几何对象不存在.
注意 猜测点的位置时,注意特殊位置关系和极端情形的应用.
数学探索2 立体几何中的翻折问题
示例7 [2019全国卷Ⅲ,19,12分][理]图8-5-24是由矩形ADEB,Rt△ABC和菱形BFGC组成的一个平面图形,其中AB=1,BE=BF=2,∠FBC=60°.将其沿AB,BC折起使得BE与BF重合,连接DG,如图8-5-25.(1)证明:图8-5-25中的A,C,G,D四点共面,且平面ABC⊥平面BCGE.(2)求图8-5-25中的二面角B-CG-A的大小.
将平面图形沿一条或几条线段折起,使其成为空间图形,这类问题称为立体几何中的翻折问题,翻折问题常与空间中的平行、垂直以及空间角相结合命题.
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