2022年高考数学一轮复习《数列》基础强化练习卷（含解析）

这是一份2022年高考数学一轮复习《数列》基础强化练习卷（含解析），共8页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
设等差数列{an}的公差为d，且a1a2=35,2a4－a6=7，则d=( )
A.4 B.3 C.2 D.1
在等差数列{an}中，若a3＋a4＋a5=3，a8=8，则a12的值是( )
A.15 B.30 C.31 D.64
已知数列{an}中，a2=eq \f(3,2)，a5=eq \f(9,8)，且{eq \f(1,an－1)}是等差数列，则a7=( )
A.eq \f(10,9) B.eq \f(11,10) C.eq \f(12,11) D.eq \f(13,12)
已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a3=3，a5=5，则S7的值是( )
A.30 B.29 C.28 D.27
等差数列{an}中，a3＋a7=6，则{an}的前9项和等于( )
A.－18 B.27 C.18 D.－27
已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S5=50，S10=200，则a10＋a11的值为( )
A.20 B.40 C.60 D.80
已知数列1，a1，a2,9是等差数列，数列1，b1，b2，b3,9是等比数列，则eq \f(b2,a1＋a2)值为( )
A.eq \f(7,10) B.eq \f(7,5) C.eq \f(3,10) D.eq \f(1,2)
在等比数列{an}中，a2a3a4=8，a7=8，则a1=( )
A.1 B.±1 C.2 D.±2
已知数列{an}满足lg3an＋1=lg3an＋1(n∈N*)，且a2＋a4＋a6=9，则lgeq \f(1,3)(a5＋a7＋a9)的值是( )
A.－5 B.－eq \f(1,5) C.5 D.eq \f(1,5)
设{an}是由正数组成的等比数列，Sn为其前n项和.已知a2a4=1，S3=7，则S5等于( )
A.eq \f(15,2) B.eq \f(31,4) C.eq \f(33,4) D.eq \f(17,2)
设数列{an}满足2an=an＋1(n∈N*)，且前n项和为Sn，则eq \f(S4,a2)的值为( )
A.eq \f(15,2) B.eq \f(15,4) C.4 D.2
古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？”意思是：“一女子善于织布，每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这女子每天分别织布多少？”根据上题的已知条件，若要使织布的总尺数不少于30，该女子所需的天数至少为( )
A.7 B.8 C.9 D.10
二、填空题
设{an}是等差数列，且a1=3，a2＋a5=36，则{an}的通项公式为________.
已知{an}为等比数列，且a3＋a6=36，a4＋a7=18.若an=eq \f(1,2)，则n=________.
已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足eq \f(S3,3)－eq \f(S2,2)=1，则数列{an}的公差是 .
《张丘建算经》卷上第22题为：“今有女善织，日益功疾.初日织五尺，今一月日织九匹三丈.则月末日织几何？”其意思为今有女子善织布，且从第2天起，每天比前一天多织相同量的布.若第一天织5尺布，现在一个月(按30天计)共织390尺布，则该女最后一天织________尺布.
三、解答题
记Sn为等比数列{an}的前n项和.已知S2=2，S3=－6.
(1)求{an}的通项公式；
(2)求Sn，并判断Sn＋1，Sn，Sn＋2是否成等差数列.
已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S5=45，S6=60.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若数列{bn}满足bn＋1－bn=an(n∈N*)，且b1=3，求{eq \f(1,bn)}的前n项和Tn.
已知等差数列的前三项依次为a,4,3a，前n项和为Sn，且Sk=110.
(1)求a及k的值；
(2)设数列{bn}的通项bn=eq \f(Sn,n)，证明数列{bn}是等差数列，并求其前n项和Tn.
已知数列{an}的前n项和Sn=1＋λan，其中λ≠0.
(1)证明{an}是等比数列，并求其通项公式；
(2)若S5=eq \f(31,32)，求λ.
在数列{an}中，aeq \\al(2,n＋1)＋2an＋1=anan＋2＋an＋an＋2，且a1=2，a2=5.
(1)证明：数列{an＋1}是等比数列；
(2)求数列{an}的前n项和Sn.
设数列{an}的各项均为正数，且a2=4a1，an＋1=aeq \\al(2,n)＋2an(n∈N*).
(1)证明：数列{lg3(1＋an)}为等比数列；
(2)设数列{lg3(an＋1)}的前n项和为Tn，求使Tn>520成立时n的最小值.
在数列{an}中，a1=1，a1＋2a2＋3a3＋…＋nan=eq \f(n＋1,2)an＋1(n∈N*).
(1)求数列{an}的通项an；
(2)若存在n∈N*，使得an≥(n＋1)3nλ成立，求实数λ的最大值.
\s 0 答案解析
答案为：C；
解析：∵{an}是等差数列，∴2a4－a6=a4－2d=a2=7，
∵a1a2=35，∴a1=5，∴d=a2－a1=2，故选C.
答案为：A.
解析：设等差数列{an}的公差为d，∵a3＋a4＋a5=3，∴3a4=3，即a1＋3d=1，
又由a8=8得a1＋7d=8，联立解得a1=－eq \f(17,4)，d=eq \f(7,4)，则a12=－eq \f(17,4)＋eq \f(7,4)×11=15.故选A.
答案为：D.
解析：设等差数列{eq \f(1,an－1)}的公差为d，则eq \f(1,a5－1)=eq \f(1,a2－1)＋3d，
即eq \f(1,\f(9,8)－1)=eq \f(1,\f(3,2)－1)＋3d，解得d=2，所以eq \f(1,a7－1)=eq \f(1,a2－1)＋5d=12，解得a7=eq \f(13,12).故选D.
答案为：C；
解析：由题意，设等差数列的公差为d，则d=eq \f(a5－a3,5－3)=1，故a4=a3＋d=4，
所以S7=eq \f(7a1＋a7,2)=eq \f(7×2a4,2)=7×4=28.故选C.
答案为：B；
解析：法一：设等差数列的公差为d，则a3＋a7=a1＋2d＋a1＋6d=2a1＋8d=6，
所以a1＋4d=3.于是{an}的前9项和S9=9a1＋eq \f(9×8,2)d=9(a1＋4d)=9×3=27，故选B.
法二：由等差数列的性质，得a1＋a9=a3＋a7=6，
所以数列{an}的前9项和S9=eq \f(9a1＋a9,2)=eq \f(9×6,2)=27，故选B.
答案为：D；
解析：设等差数列{an}的公差为d，
由已知得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(S5＝5a1＋\f(5×4,2)d＝50，,S10＝10a1＋\f(10×9,2)d＝200，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1＋2d＝10，,a1＋\f(9,2)d＝20，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1＝2，,d＝4.))∴a10＋a11=2a1＋19d=80.故选D.
答案为：C；
解析：因为1，a1，a2,9是等差数列，所以a1＋a2=1＋9=10.
又1，b1，b2，b3,9是等比数列，所以beq \\al(2,2)=1×9=9，
因为beq \\al(2,1)=b2＞0，所以b2=3，所以eq \f(b2,a1＋a2)=eq \f(3,10).
答案为：A；
解析：因为数列{an}是等比数列，所以a2a3a4=aeq \\al(3,3)=8，所以a3=2，所以a7=a3q4=2q4=8，
所以q2=2，a1=eq \f(a3,q2)=1，故选A.
答案为：A；
解析：因为lg3an＋1=lg3an＋1，所以an＋1=3an.所以数列{an}是公比q=3的等比数列，
所以a2＋a4＋a6=a2(1＋q2＋q4)=9.
所以a5＋a7＋a9=a5(1＋q2＋q4)=a2q3(1＋q2＋q4)=9×33=35.
所以lgeq \f(1,3)35=－lg335=－5.
答案为：B；
解析：设数列{an}的公比为q，则显然q≠1，由题意得
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1q·a1q3＝1，,\f(a11－q3,1－q)＝7，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1＝4，,q＝\f(1,2)))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1＝9，,q＝－\f(1,3)))(舍去)，
∴S5=eq \f(a11－q5,1－q)=eq \f(4\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,25))),1－\f(1,2))=eq \f(31,4).
答案为：A
解析：由题意知，数列{an}是以2为公比的等比数列，故eq \f(S4,a2)=eq \f(\f(a11－24,1－2),a1×2)=eq \f(15,2).故选A.
答案为：B；
解析：设该女子第一天织布x尺，则eq \f(x1－25,1－2)=5，得x=eq \f(5,31)，
∴前n天所织布的尺数为eq \f(5,31)(2n－1).由eq \f(5,31)(2n－1)≥30，得2n≥187，则n的最小值为8.
答案为：an=6n－3.
解析：法一：设数列{an}的公差为d.∵a2＋a5=36，∴(a1＋d)＋(a1＋4d)=36，
∴2a1＋5d=36.∵a1=3，∴d=6，∴an=6n－3.
法二：设数列{an}的公差为d，∵a2＋a5=a1＋a6=36，a1=3，∴a6=33，
∴d=eq \f(a6－a1,5)=6.∵a1=3，∴an=6n－3.
答案为： 9
解析：设{an}的公比为q，由a3＋a6=36，a4＋a7=(a3＋a6)q=18，解得q=eq \f(1,2)，
由a1(q2＋q5)=36得a1=128，进而an=128·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))n－1=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))n－8.由an=eq \f(1,2)，解得n=9.
答案为：2.
解析：∵eq \f(S3,3)－eq \f(S2,2)=1，∴2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3a1＋\f(3×2,2)d))－3eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2a1＋\f(2×1,2)d))=6，
∴6a1＋6d－6a1－3d=6，∴d=2.
答案为：21
解析：由题意得，该女每天所织的布的尺数依次排列形成一个等差数列，
设为{an}，其中a1=5，前30项和为390，于是有eq \f(305＋a30,2)=390，解得a30=21，
即该女最后一天织21尺布.
解：(1)设{an}的公比为q，由题设可得
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a11＋q＝2，,a11＋q＋q2＝－6.))
解得q=－2，a1=－2.
故{an}的通项公式为an=(－2)n.
(2)由(1)可得Sn=eq \f(a11－qn,1－q)=－eq \f(2,3)＋(－1)n·eq \f(2n＋1,3).
由于Sn＋2＋Sn＋1=－eq \f(4,3)＋(－1)n·eq \f(2n＋3－2n＋2,3)
=2[－eq \f(2,3)＋(－1)n·eq \f(2n＋1,3)]=2Sn，
故Sn＋1，Sn，Sn＋2成等差数列.
解：(1)设等差数列{an}的公差为d，
则a6=S6－S5=15，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a6＝a1＋5d＝15，,S5＝5a1＋10d＝45，))
解得a1=5，d=2，所以an=2n＋3.
(2)bn=(bn－bn－1)＋(bn－1－bn－2)＋…＋(b2－b1)＋b1
=an－1＋an－2＋…＋a1＋3=n2＋2n，
所以eq \f(1,bn)= SKIPIF 1 < 0 =eq \f(1,2)( SKIPIF 1 < 0 )，
所以Tn=eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(1,2)－\f(1,n＋1)－\f(1,n＋2)))=eq \f(3n2＋5n,4n2＋12n＋8).
解：(1)设该等差数列为{an}，则a1=a，a2=4，a3=3a，
由已知有a＋3a=8，得a1=a=2，公差d=4－2=2，
所以Sk=ka1＋eq \f(kk－1,2)·d=2k＋eq \f(kk－1,2)×2=k2＋k.
由Sk=110，得k2＋k－110=0，
解得k=10或k=－11(舍去)，
故a=2，k=10.
(2)由(1)，得Sn=eq \f(n2＋2n,2)=n(n＋1)，则bn=eq \f(Sn,n)=n＋1，
故bn＋1－bn=(n＋2)－(n＋1)=1，
即数列{bn}是首项为2，公差为1的等差数列，
所以Tn=eq \f(n2＋n＋1,2)=eq \f(nn＋3,2).
解：(1)证明：由题意得a1=S1=1＋λa1，
故λ≠1，a1=eq \f(1,1－λ)，故a1≠0.
由Sn=1＋λan，Sn＋1=1＋λan＋1得an＋1=λan＋1－λan，
即an＋1(λ－1)=λan.
由a1≠0，λ≠0得an≠0，所以eq \f(an＋1,an)=eq \f(λ,λ－1).
因此{an}是首项为eq \f(1,1－λ)，公比为eq \f(λ,λ－1)的等比数列，
于是an=eq \f(1,1－λ)(eq \f(1,1－λ))n－1.
(2)由(1)得Sn=1－(eq \f(1,1－λ))n.
由S5=eq \f(31,32)得1－(eq \f(λ,λ－1))5=eq \f(31,32)，即(eq \f(λ,λ－1))5=eq \f(1,32).
解得λ=－1.
解：(1)证明：∵aeq \\al(2,n＋1)＋2an＋1=anan＋2＋an＋an＋2，
∴(an＋1＋1)2=(an＋1)(an＋2＋1)，
即eq \f(an＋1＋1,an＋1)=eq \f(an＋2＋1,an＋1＋1).
∵a1=2，a2=5，∴a1＋1=3，a2＋1=6，∴eq \f(a2＋1,a1＋1)=2，
∴数列{an＋1}是以3为首项，2为公比的等比数列.
(2)由(1)知，an＋1=3·2n－1，
∴an=3·2n－1－1，
∴Sn=eq \f(31－2n,1－2)－n=3·2n－n－3.
解：(1)证明：由已知，得a2=aeq \\al(2,1)＋2a1=4a1，
则a1(a1－2)=0，
因为数列{an}的各项均为正数，所以a1=2.
因为an＋1＋1=(an＋1)2>0，
所以lg3(an＋1＋1)=2lg3(an＋1).
又lg3(a1＋1)=lg33=1，
所以数列{lg3(1＋an)}是首项为1，公比为2的等比数列.
(2)由(1)可知，lg3(1＋an)=2n－1，
所以Tn=1＋2＋22＋…＋2n－1=2n－1.
由Tn>520，得2n>521(n∈N*)，得n≥10.
则使Tn>520成立时n的最小值为10.
解：(1)∵a1＋2a2＋3a3＋…＋nan=eq \f(n＋1,2)an＋1，①
∴a1＋2a2＋3a3＋…＋(n－1)an－1=eq \f(n,2)an(n≥2)，②
①－②，得nan=eq \f(n＋1,2)an＋1－eq \f(n,2)an，
即(n＋1)an＋1=3nan，∴eq \f(n＋1an＋1,nan)=3(n≥2).
∴数列{nan}(n≥2)是以2a2=2为首项，3为公比的等比数列.
∴nan=2·3n－2，∴an=eq \f(2,n)·3n－2(n≥2)，
又a1=1不满足上式.∴an=eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1，n＝1，,\f(2,n)·3n－2，n≥2.))
(2)∵存在n∈N*，使得an≥(n＋1)3nλ成立，
∴存在n∈N*，使得λ≤eq \f(an,n＋13n)成立.
令f(n)=eq \f(an,n＋13n)，则λ≤f(n)max.
由(1)可知当n=1时，f(1)=eq \f(a1,1＋131)=eq \f(1,6)，
当n≥2时，f(n)=eq \f(an,n＋13n)=eq \f(2,9nn＋1)，
则f(n＋1)－f(n)=eq \f(2,9n＋1n＋2)－eq \f(2,9nn＋1)=eq \f(－4,9nn＋1n＋2)<0，
∴当n≥2时，数列{f(n)}是递减数列，
∴当n≥2时，f(n)≤f(2)=eq \f(1,27).
∴当n∈N*时，f(n)max=eq \f(1,6).∴λ≤eq \f(1,6).
故所求实数λ的最大值为eq \f(1,6).