2022版高考人教版数学一轮练习：练案【77理】【67文】 参数方程

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1．(2017·江苏高考)在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－8＋t，,y＝\f(t,2)))(t为参数)，曲线C的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2s2,y＝2\r(2)s))(s为参数)．设P为曲线C上的动点，求点P到直线l的距离的最小值．
[解析] 直线l的普通方程为x－2y＋8＝0.
因为点P在曲线C上，设点P(2s2,2eq \r(2)s)，
从而点P到直线l的距离d＝eq \f(|2s2－4\r(2)s＋8|,\r(12＋－22))
＝eq \f(2s－\r(2)2＋4,\r(5)).
当s＝eq \r(2)时，dmin＝eq \f(4\r(5),5).
因此当点P的坐标为(4,4)时，曲线C上的点P到直线l的距离取到最小值eq \f(4\r(5),5).
2．(2020·宁夏模拟)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\r(5)csα－1,y＝\r(5)sinα＋2))(α为参数)，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρcseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,4)))＝eq \f(3\r(2),2).
(1)求曲线C的普通方程与直线l的直角坐标方程；
(2)设M为曲线C上的动点，求点M到直线l的距离的最大值．
[解析] (1)曲线C的普通方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝5.
因为ρcseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,4)))＝eq \f(3\r(2),2).所以eq \f(\r(2),2)ρ(csθ－sinθ)＝eq \f(3\r(2),2)，
所以直线l的直角坐标方程为x－y－3＝0.
(2)设M(eq \r(5)csα－1，eq \r(5)sinα＋2)，则点M到直线l的距离
d＝eq \f(|\r(5)csα－\r(5)sinα－6|,\r(2))＝eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\r(10)cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))－6)),\r(2)).
所以dmax＝3eq \r(2)＋eq \r(5).
另解：∵圆心C(－1,2)到直线l的距离为d1＝eq \f(|－1－2－3|,\r(2))＝3eq \r(2)，
∴点M到直线l的距离的最大值为d1＋r＝3eq \r(2)＋eq \r(5).
3．(2021·江西赣州十五县市期中联考)在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2＋\f(\r(3),2)t,y＝1＋\f(1,2)t))(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝4cs θ.
(1)求曲线C1的普通方程和C2的直角坐标方程；
(2)已知点P(2,1)，曲线C1与C2的交点为A，B，求||PA|－|PB||的值．
[解析] (1)将曲线C1的参数方程eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2＋\f(\r(3),2)t,y＝1＋\f(1,2)t))(t为参数)，
消参得曲线C的普通方程
为x－eq \r(3)y－2＋eq \r(3)＝0.
由ρ＝4cs θ得ρ2＝4ρcs θ，
将ρ2＝x2＋y2，ρcs θ＝x代入
得C2：(x－2)2＋y2＝4.
(2)将曲线C1的参数方程eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2＋\f(\r(3),2)t,y＝1＋\f(1,2)t))(t为参数)，
代入(x－2)2＋y2＝4
整理得：t2＋t－3＝0
设A，B对应的参数分别为t1t2，则t1＋t2＝－1，t1t2＝－3
由(1)知C2是以(2,0)圆心，半径为2的圆，且P(2,1)在圆内，所以t1，t2异号，所以||PA|－|PB||＝|t1＋t2|＝1.
4．(2021·湖南邵阳联考)在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝1＋\r(2)cs θ,y＝1＋\r(2)sin θ))(θ为参数)，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为eq \r(2)ρcseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,4)))＝1.
(1)求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；
(2)设曲线C与直线l交于P，Q两点，求|OP|·|OQ|的值．
[解析] (1)由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝1＋\r(2)cs θ,y＝1＋\r(2)sin θ))(θ为参数)，消去参数得(x－1)2＋(y－1)2＝2.
∴曲线C的普通方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2.
由eq \r(2)ρcseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,4)))＝1，得ρcs θ－ρsin θ＝1，
而ρcs θ＝x，ρsin θ＝y.
∴直线l的直角坐标方程为x－y－1＝0.
(2)化曲线C的方程为极坐标方程：
ρ＝2cs θ＋2sin θ.
联立直线l的极坐标方程ρcs θ－ρsin θ＝1.
消去θ得：ρ4－8ρ2＋4＝0.
设P，Q两点所对应的极径分别为ρ1，ρ2，
则(ρ1ρ2)2＝4.
∴|OP|·|OQ|＝|ρ1ρ2|＝2.
5．(2021·福建永安一中期中)已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与x轴非负半轴重合，直线l的参数方程为：eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－1＋tcs α,y＝tsin α))(t为参数，α∈[0，π)]，曲线C的极坐标方程为：ρ＝4cs θ.
(1)写出曲线C的直角坐标方程；
(2)设直线l与曲线C相交于P，Q两点，若|PQ|＝eq \r(7)，求直线l的斜率．
[解析] (1)ρ＝4cs θ，∴ρ2＝4ρcs θ，
由ρ2＝x2＋y2，ρcs θ＝x，得x2＋y2＝4x.
所以曲线C的直角坐标方程为(x－2)2＋y2＝4.
(2)把eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－1＋tcs α,y＝tsin α))代入x2＋y2＝4x，
整理得t2－6tcs α＋5＝0
设其两根分别为t1，t2，则t1＋t2＝6cs α，t1t2＝5，
∴|PQ|＝|t1－t2|＝eq \r(t1＋t22－4t1t2)＝eq \r(36cs2α－20)＝eq \r(7)得cs α＝±eq \f(\r(3),2)，α＝eq \f(π,6)或eq \f(5π,6)，
所以直线l的斜率为±eq \f(\r(3),3).
6．(2020·安徽省合肥市质检)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2cs α,y＝2sin α))(α为参数，α∈[0，π])在以直角坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线E的方程为ρ2(1＋3sin2 θ)＝4.
(1)求曲线C的普通方程和曲线E的直角坐标方程；
(2)若直线l：x＝t分别交曲线C、曲线E于点A，B，求△AOB的面积的最大值．
[解析] (1)由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2cs α,y＝2sin α))消去参数α，
可得曲线C的普通方程为x2＋y2＝4(y≥0)．
由ρ2(1＋3sin2θ)＝4.可得ρ2＋3(ρsin θ)2＝4.
则x2＋y2＋3y2＝4，
则曲线E的直角坐标方程为eq \f(x2,4)＋y2＝1.
(2)设A(2cs α，2sin α)，α∈[0，π]，其中t＝2cs α，
则B(2cs α，±sin α)．
要使得△AOB面积的最大，则B(2cs α，－sin α)．
∴S△AOB＝eq \f(1,2)|AB|·|xB|＝eq \f(1,2)×3sin α×|2cs α|＝eq \f(3,2)|sin 2α|.
∵2α∈[0,2π]，∴sin 2α∈[－1,1]．
当α＝eq \f(π,4)或eq \f(3π,4)，即t＝±eq \r(2)时，△AOB的面积取最大值eq \f(3,2).
7．(2021·四川成都诊断)在平面直角坐标系xOy中，⊙O的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝cs θ，,y＝sin θ))(θ为参数)，过点(0，－eq \r(2))且倾斜角为α的直线l与⊙O交于A，B两点．
(1)求α的取值范围；
(2)求AB中点P的轨迹的参数方程．
[解析] (1)⊙O的直角坐标方程为x2＋y2＝1.
当α＝eq \f(π,2)时，l与⊙O交于两点．
当α≠eq \f(π,2)时，记tan α＝k，则l的方程为y＝kx－eq \r(2).l与⊙O交于两点当且仅当eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),\r(1＋k2))))<1，解得k<－1或k>1，即α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(π,2)))或α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，\f(3π,4)))，
综上，α的取值范围是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(3π,4))).
(2)l的参数方程为
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝tcs α，,y＝－\r(2)＋tsin α))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(t为参数，\f(π,4)<α<\f(3π,4))).
设A，B，P对应的参数分别为tA，tB，tP，则tp＝eq \f(tA＋tB,2)，且tA、tB满足t2－2eq \r(2)tsin α＋1＝0.
于是tA＋tB＝2eq \r(2)sin α，tP＝eq \r(2)sin α.
又点P的坐标(x，y)满足eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝tPcs α，,y＝－\r(2)＋tPsin α.))
所以点P的轨迹的参数方程是
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f(\r(2),2)sin 2α，,y＝－\f(\r(2),2)－\f(\r(2),2)cs 2α))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α为参数，\f(π,4)<α<\f(3π,4))).
8．(2019·河北唐山一模)在极坐标系中，曲线C的方程为ρ2－2eq \r(2)ρsineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,4)))－4＝0，以极点O为原点，极轴为x轴的正半轴建立直角坐标系xOy，直线l：eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝tcs α,y＝tsin α))(t为参数，0≤α<π)．
(1)求曲线C的直角坐标方程；
(2)设直线l与曲线C相交于A，B两点，求||OA|－|OB||的取值范围．
[解析] (1)由ρ2－2eq \r(2)ρsineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,4)))－4＝0得，
ρ2－2ρcs θ－2ρsin θ－4＝0.
所以x2＋y2－2x－2y－4＝0.
曲线C的直角坐标方程为(x－1)2＋(y－1)2＝6.
(2)将直线l的参数方程代入x2＋y2－2x－2y－4＝0并整理得，t2－2(sin α＋cs α)t－4＝0，
t1＋t2＝2(sin α＋cs α)，t1t2＝－4<0.
||OA|－|OB||＝||t1|－|t2||＝|t1＋t2|＝|2(sin α＋cs α)|＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(2\r(2)sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))))
因为0≤α<π，所以eq \f(π,4)≤α＋eq \f(π,4)从而有－2<2eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))≤2eq \r(2).
所以||OA|－|OB|的取值范围是[0,2eq \r(2)]．