2022版高考人教版数学一轮练习：练案【79理】【69文】 不等式的证明与柯西不等式

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1．(2021·吉林长春模拟)已知a>0，b>0，a＋b＝4.
(1)求证：eq \r(a2＋b2)≥2eq \r(2)；
(2)求证：eq \f(1,a＋2)＋eq \f(2,b)≥eq \f(1,2)＋eq \f(\r(2),3).
[解析] (1)证明：因为a>0，b>0，a＋b＝4，
∴2(a2＋b2)≥(a＋b)2＝16，
∴a2＋b2≥8，
从而eq \r(a2＋b2)≥2eq \r(2)(当且仅当a＝b＝2时取等号)．
(2)因为a＋b＝4，所以a＋2＋b＝6，
所以eq \f(1,a＋2)＋eq \f(2,b)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a＋2)＋\f(2,b)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋2＋b,6)))
＝eq \f(1,6)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋2＋\f(b,a＋2)＋\f(2a＋2,b)))
≥eq \f(1,6)(3＋2eq \r(2))＝eq \f(1,2)＋eq \f(\r(2),3)，
当且仅当eq \r(2)(a＋2)＝b时取等号．
2．(2021·河南质检)已知正实数a，b，c满足ab＋bc＋ac＝abc.
(1)证明：a＋b＋c≥9；
(2)证明：eq \f(b,a2)＋eq \f(c,b2)＋eq \f(a,c2)≥1.
[证明] (1)因为ab＋bc＋ac＝abc，
所以eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＋eq \f(1,c)＝1，所以
a＋b＋c＝(a＋b＋c)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)＋\f(1,b)＋\f(1,c)))
＝3＋eq \f(a,b)＋eq \f(b,a)＋eq \f(a,c)＋eq \f(c,a)＋eq \f(c,b)＋eq \f(b,c)≥3＋2eq \r(\f(a,c)·\f(b,a))＋2eq \r(\f(a,c)·\f(c,a))＋2eq \r(\f(c,b)＋\f(b,c))＝9.
当且仅当a＝b＝c时取等号，
所以a＋b＋c≥9.
(2)eq \f(b,a2)＋eq \f(c,b2)＋eq \f(a,c2)＝eq \f(b,a2)＋eq \f(c,b2)＋eq \f(a,c2)＋eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＋eq \f(1,c)－1＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(b,a2)＋\f(1,b)))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(c,b2)＋\f(1,c)))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,c2)＋\f(1,a)))－1≥eq \f(2,a)＋eq \f(2,b)＋eq \f(2,c)－1＝1，
当且仅当a＝b＝c时取等号，
即eq \f(b,a2)＋eq \f(c,a2)＋eq \f(a,c2)≥1.
3．(2021·河南开封模拟)已知x、y为正实数，且满足x＋y＝1.
(1)若xy≤m恒成立，求m的最小值；
(2)证明：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,x)))2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(y＋\f(1,y)))2≥eq \f(25,2).
[解析] (1)∵x>0，y>0，x＋y＝1
∴xy≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x＋y,2)))2＝eq \f(1,4)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(当且仅当x＝y＝\f(1,2)时取等号))
∵xy≤m恒成立，
∴m≥eq \f(1,4)，故m的最小值为eq \f(1,4).
(2)∵eq \f(1,x)＋eq \f(1,y)＝(x＋y)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)＋\f(1,y)))＝2＋eq \f(x,y)＋eq \f(y,x)≥4，
∴eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,x)))2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(y＋\f(1,y)))2≥eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,x)＋y＋\f(1,y)))2,2)
＝eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(1,x)＋\f(1,y)))2,2)≥eq \f(1＋42,2)＝eq \f(25,2).(当且仅当x＝y＝eq \f(1,2)时取等号)
∴eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,x)))2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(y＋\f(1,y)))2≥eq \f(25,2).
4．(2021·四川资阳诊断)已知不等式|x－2|＋|x－3|