2022版高考人教版数学一轮练习：练案【22理】【21文】 三角函数公式的基本应用

这是一份2022版高考人教版数学一轮练习：练案【22理】【21文】 三角函数公式的基本应用，共8页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

第一课时 三角函数公式的基本应用
A组基础巩固
一、选择题
1．下面各式中不正确的是( D )
A．sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋\f(π,3)))＝sin eq \f(π,4)cs eq \f(π,3)＋eq \f(\r(3),2)cseq \f(π,4)
B．cs eq \f(5π,12)＝eq \f(\r(2),2)sin eq \f(π,3)－cs eq \f(π,4)cs eq \f(π,3)
C．cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,12)))＝cs eq \f(π,4)cs eq \f(π,3)＋eq \f(\r(6),4)
D．cs eq \f(π,12)＝cs eq \f(π,3)－cs eq \f(π,4)
[解析] sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋\f(π,3)))＝sin eq \f(π,4)cs eq \f(π,3)＋cs eq \f(π,4)sin eq \f(π,3)＝sin eq \f(π,4)cs eq \f(π,3)＋eq \f(\r(3),2)cs eq \f(π,4)，因此A正确；cs eq \f(5π,12)＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋\f(π,6)))＝cs eq \f(π,4)cs eq \f(π,6)－sin eq \f(π,4)sin eq \f(π,6)＝eq \f(\r(2),2)sin eq \f(π,3)－cs eq \f(π,4)cs eq \f(π,3)，因此B正确．cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,12)))＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－\f(π,3)))＝cs eq \f(π,4)cs eq \f(π,3)＋sin eq \f(π,4)sin eq \f(π,3)＝cs eq \f(π,4)cs eq \f(π,3)＋eq \f(\r(6),4)，因此C正确；显然D不正确，故选D.
2．(2021·辽宁六校考试)下列各式中，值为eq \f(1,2)的是( B )
A．cs2eq \f(π,12)－sin2eq \f(π,12) B．eq \f(tan 22.5°,1－tan222.5°)
C．2sin 165°cs 165° D．eq \r(\f(1＋cs \f(π,6),2))
[解析] 本题考查由正弦、余弦与正切的二倍角公式计算求值．
cs2eq \f(π,12)－sin2eq \f(π,12)＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2×\f(π,12)))＝cs eq \f(π,6)＝eq \f(\r(3),2)，故A错误；eq \f(tan 22.5°,1－tan222.5°)＝eq \f(1,2)·eq \f(2tan 22.5°,1－tan222.5°)＝eq \f(1,2)tan 45°＝eq \f(1,2)，故B正确；2sin 165°cs 165°＝2sin(180°－15°)cs(180°－15°)＝－2sin 15°·cs 15°＝－sin 30°＝eq \f(－1,2)，故C不正确；eq \r(\f(1＋cs \f(π,6),2))＝eq \r(\f(1＋\f(\r(3),2),2))＝eq \f(\r(2＋\r(3)),2)，故D错误．故选B.
3．(2021·湖北枣阳模拟)若sin α＝eq \f(3,5)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0<α<\f(π,2)))，则sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,6)))＝( B )
A．eq \f(3\r(3)－4,10) B．eq \f(3\r(3)＋4,10)
C.eq \f(3－4\r(3),10) D．eq \f(3＋4\r(3),10)
[解析] ∵sin α＝eq \f(3,5)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0<α<\f(π,2)))，
∴cs α＝eq \r(1－sin2α)＝eq \f(4,5)，
∴sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,6)))＝sin α·cs eq \f(π,6)＋cs αsin eq \f(π,6)
＝eq \f(3,5)×eq \f(\r(3),2)＋eq \f(4,5)×eq \f(1,2)＝eq \f(3\r(3)＋4,10)，故选B.
4．已知α是第二象限角，且tan α＝－eq \f(1,3)，则sin 2α等于( C )
A．－eq \f(3\r(10),10) B．eq \f(3\r(10),10)
C．－eq \f(3,5) D．eq \f(3,5)
[解析] 因为α是第二象限角，且tan α＝－eq \f(1,3)，
所以sin α＝eq \f(\r(10),10)，cs α＝－eq \f(3\r(10),10)，
所以sin 2α＝2sin αcs α＝2×eq \f(\r(10),10 )×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3\r(10),10)))＝－eq \f(3,5).
5．(2021·宁夏银川月考)已知锐角α，β满足cs α＝eq \f(2\r(5),5)，sin(α－β)＝－eq \f(3,5)，则sin β的值为( A )
A．eq \f(2\r(5),5) B．eq \f(\r(5),5)
C.eq \f(2\r(5),25) D．eq \f(\r(5),25)
[解析] ∵α是锐角，β是锐角，cs α＝eq \f(2\r(5),5)，sin(α－β)＝－eq \f(3,5)，∴sin α＝eq \f(\r(5),5)，cs(α－β)＝eq \f(4,5)，∴sin β＝sin [α－(α－β)]＝eq \f(\r(5),5)×eq \f(4,5)－eq \f(2\r(5),5)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,5)))＝eq \f(2\r(5),5)，故选A．
6．若sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－α))＝eq \f(1,3)，则cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)＋2α))的值为( A )
A．－eq \f(7,9) B．eq \f(7,9)
C.eq \f(1,3) D．－eq \f(1,3)
[解析] cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)＋2α))＝cs eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(π－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)－2α))))＝－cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)－2α))＝2sin2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－α))－1＝2×eq \f(1,9)－1＝－eq \f(7,9).故选A．
7．(2020·全国Ⅰ，9)已知α∈(0，π)，且3cs 2α－8cs α＝5，则sin α＝( A )
A．eq \f(\r(5),3) B．eq \f(2,3)
C.eq \f(1,3) D．eq \f(\r(5),9)
[解析] 本题考查三角恒等变换以及同角三角函数基本关系．因为3cs 2α－8cs α＝5，所以3(2cs2α－1)－8cs α＝5，即3cs2α－4cs α－4＝0，即(3cs α＋2)(cs α－2)＝0，解得cs α＝－eq \f(2,3)或cs α＝2(舍去)．又α∈(0，π)，所以sin α＝eq \r(1－cs2α)＝eq \f(\r(5),3)，故选A．
8．(2021·衡水中学调研)已知sin(θ＋20°)＝eq \f(1,5)，则sin(2θ－50°)的值为( A )
A．－eq \f(23,25) B．eq \f(23,25)
C.eq \f(4\r(6),25) D．eq \f(2,5)
[解析] sin(2θ－50°)＝sin [(2θ＋40°)－90°]＝
－cs(2θ＋40°)＝2sin2(θ＋20°)－1＝－eq \f(23,25).
9．(2020·河北冀州中学月考)(1＋tan 18°)(1＋tan 27°)的值是( C )
A．eq \r(2) B．eq \r(3)
C．2 D．eq \r(5)
[解析] (1＋tan 18°)(1＋tan 27°)＝1＋tan 18°＋tan 27°＋tan 18°tan 27°＝1＋tan 45°·(1－tan 18°tan 27°)＋tan 18°tan 27°＝2.
10．(2020·山东滨州三模改编)已知α，β，γ∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，sin α＋sin γ＝sin β，cs β＋cs γ＝cs α，则下列结论正确的是( C )
A．cs(β－α)＝eq \f(\r(3),2) B．cs(β－α)＝－eq \f(1,2)
C．β－α＝eq \f(π,3) D．β－α＝－eq \f(π,3)
[解析] 本题考查同角三角函数基本关系和两角差的余弦公式．由已知得sin γ＝sin β－sin α，cs γ＝cs α－cs β.
两式分别平方相加，得(sin β－sin α)2＋(cs α－cs β)2＝1，
∴－2cs(β－α)＝－1，∴cs(β－α)＝eq \f(1,2)，∴A，B都错误．
∵α，β，γ∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，∴sin γ＝sin β－sin α>0，
∴β>α，∴β－α＝eq \f(π,3)，∴C正确，D错误．故选C.
二、填空题
11．计算：eq \f(cs 15°－sin 15°,cs 15°＋sin 15°)＝ eq \f(\r(3),3) .
[解析] 原式＝eq \f(1－tan 15°,1＋tan 15°)＝eq \f(tan 45°－tan 15°,1＋tan 45°tan 15°)
＝tan(45°－15°)＝tan 30°＝eq \f(\r(3),3).
12．设α为锐角，若cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,6)))＝eq \f(4,5)，则sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α＋\f(π,12)))的值为 eq \f(17\r(2),50) .
[解析] ∵α为锐角且cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,6)))＝eq \f(4,5)>0，
∴α＋eq \f(π,6)∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，\f(π,2)))，∴sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,6)))＝eq \f(3,5).
∴sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α＋\f(π,12)))＝sin eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,6)))－\f(π,4)))
＝sin 2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,6)))cs eq \f(π,4)－cs 2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,6)))sin eq \f(π,4)
＝eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,6)))cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,6)))－eq \f(\r(2),2)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2cs2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,6)))－1))
＝eq \r(2)×eq \f(3,5)×eq \f(4,5)－eq \f(\r(2),2)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,5)))2－1))
＝eq \f(12\r(2),25)－eq \f(7\r(2),50)＝eq \f(17\r(2),50).
13．(2020·山西康杰中学月考)若eq \f(sin α＋cs α,sin α－cs α)＝3，tan(α－β)＝2，则tan(β－2α)＝ eq \f(4,3) .
[解析] ∵eq \f(sin α＋cs α,sin α－cs α)＝eq \f(tan α＋1,tan α－1)＝3，∴tan α＝2.
∵tan(α－β)＝2，
∴tan(β－2α)＝tan [(β－α)－α]＝－tan [(α－β)＋α]＝－eq \f(tanα－β＋tan α,1－tanα－β·tan α)＝eq \f(4,3).
三、解答题
14．(2018·浙江，18)已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,5)，－\f(4,5))).
(1)求sin(α＋π)的值；
(2)若角β满足sin(α＋β)＝eq \f(5,13)，求cs β的值．
[解析] 本题主要考查三角函数及其恒等变换等基础知识，同时考查运算求解能力．
(1)由角α的终边过点Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,5)，－\f(4,5)))得sin α＝－eq \f(4,5)，所以sin(α＋π)＝－sin α＝eq \f(4,5).
(2)由角α的终边过点Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,5)，－\f(4,5)))得cs α＝－eq \f(3,5)，
由sin(α＋β)＝eq \f(5,13)得cs(α＋β)＝±eq \f(12,13).
由β＝(α＋β)－α得
cs β＝cs(α＋β)cs α＋sin(α＋β)sin α，
所以cs β＝－eq \f(56,65)或cs β＝eq \f(16,65).
15．已知若0<α(1)求cs α的值；
(2)求cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(β,2)))的值．
[解析] (1)∵0<α∵cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋α))＝eq \f(1,3)，∴sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋α))＝eq \f(2\r(2),3)，
∴cs α＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋α－\f(π,4)))
＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋α))cs eq \f(π,4)＋sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋α))sin eq \f(π,4)
＝eq \f(1,3)×eq \f(\r(2),2)＋eq \f(2\r(2),3)×eq \f(\r(2),2)＝eq \f(\r(2)＋4,6).
(2)∵－eq \f(π,2)<β<0，∴eq \f(π,4)∵cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－\f(β,2)))＝eq \f(\r(3),3)，∴sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－\f(β,2)))＝eq \f(\r(6),3)，
∴cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(β,2)))＝cseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋α))－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－\f(β,2)))))
＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋α))cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－\f(β,2)))＋sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋α))sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－\f(β,2)))
＝eq \f(1,3)×eq \f(\r(3),3)＋eq \f(2\r(2),3)×eq \f(\r(6),3)＝eq \f(5\r(3),9).
B组能力提升
1．(2021·江西九江模拟)计算sin eq \f(π,12)－eq \r(3)cs eq \f(π,12)的值为( B )
A．0 B．－eq \r(2)
C．2 D．eq \r(2)
[解析] sin eq \f(π,12)－eq \r(3)cs eq \f(π,12)＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)sin \f(π,12)－\f(\r(3),2)cs \f(π,12)))＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,12)－\f(π,3)))＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,4)))＝－eq \r(2)，故选B.
2．在△ABC中，tan A＋tan B＋eq \r(3)＝eq \r(3)tan Atan B，则C等于( A )
A．eq \f(π,3) B．eq \f(2π,3)
C.eq \f(π,6) D．eq \f(π,4)
[解析] 由已知得tan A＋tan B＝－eq \r(3)(1－tan Atan B)，
∴eq \f(tan A＋tan B,1－tan Atan B)＝－eq \r(3)，即tan(A＋B)＝－eq \r(3).
又tan C＝tan [π－(A＋B)]＝－tan(A＋B)＝eq \r(3)，03．(2020·北京北大附中抽测)若函数f(x)＝5cs x＋12sin x在x＝θ时取得最小值，则cs θ等于( B )
A．eq \f(5,13) B．－eq \f(5,13)
C.eq \f(12,13) D．－eq \f(12,13)
[解析] f(x)＝5cs x＋12sin x＝13eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,13)cs x＋\f(12,13)sin x))＝13sin(x＋α)，其中sin α＝eq \f(5,13)，cs α＝eq \f(12,13).由题意知θ＋α＝2kπ－eq \f(π,2)(k∈Z)，得θ＝2kπ－eq \f(π,2)－α(k∈Z)，所以cs θ＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2kπ－\f(π,2)－α))＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α))＝－sin α＝－eq \f(5,13).
4．(理)(2021·山东济南模拟)已知cs α＝eq \f(1,3)，cs(α＋β)＝－eq \f(1,3)，且α，β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，则( C )
A．cs β＝eq \f(4\r(2),9) B．sin β＝eq \f(\r(2),3)
C．cs(α－β)＝eq \f(23,27) D．sin(α－β)＝－eq \f(4,27)
(文)(2021·广西两校第一次联考)已知sin (α＋β)＝eq \f(1,2)，sin (α－β)＝eq \f(1,3)，则lgeq \r(5)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(tan β,tan α)))eq \f(1,2)等于( A )
A．－1 B．－2
C.eq \f(1,2) D．2
[解析] (理)因为α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，cs α＝eq \f(1,3)，所以sin α＝eq \f(2\r(2),3)，又α，β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，所以α＋β∈(0，π)，所以sin(α＋β)＝eq \r(1－cs2α＋β)＝eq \f(2\r(2),3)，所以cs β＝cs [(α＋β)－α]＝cs(α＋β)cs α＋sin(α＋β)sin α＝－eq \f(1,9)＋eq \f(8,9)＝eq \f(7,9)，A不正确．sin β＝eq \f(4\r(2),9)，B错误．cs(α－β)＝cs αcs β＋sin αsin β＝eq \f(23,27)，C正确．sin(α－β)＝sin αcs β－cs αsin β＝eq \f(10\r(2),27)，D错误．
(文)因为sin (α＋β)＝eq \f(1,2)，sin (α－β)＝eq \f(1,3)，所以sin αcs β＋cs αsin β＝eq \f(1,2)，sin αcs β－cs αsin β＝eq \f(1,3)，则sin αcs β＝eq \f(5,12)，cs α·sin β＝eq \f(1,12)，所以eq \f(tan β,tan α)＝eq \f(1,5)，于是lgeq \r(5)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(tan β,tan α)))eq \f(1,2)＝lgeq \r(5)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,5)))eq \f(1,2)＝lg55－1＝－1，故选A．
5．已知cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)＋α))cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)－α))＝－eq \f(1,4)，α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)，\f(π,2))).
(1)求sin 2α的值；
(2)求tan α－eq \f(1,tan α)的值．
[解析] (1)cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)＋α))cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)－α))
＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)＋α))sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)＋α))
＝eq \f(1,2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α＋\f(π,3)))＝－eq \f(1,4)，即sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α＋\f(π,3)))＝－eq \f(1,2).
∵α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)，\f(π,2)))，∴2α＋eq \f(π,3)∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(π，\f(4π,3)))，
∴cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α＋\f(π,3)))＝－eq \f(\r(3),2)，
∴sin 2α＝sin eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α＋\f(π,3)))－\f(π,3)))＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α＋\f(π,3)))cs eq \f(π,3)－cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α＋\f(π,3)))sin eq \f(π,3)＝－eq \f(1,2)×eq \f(1,2)－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(3),2)))×eq \f(\r(3),2)＝eq \f(1,2).
(2)∵α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)，\f(π,2)))，∴2α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)，π))，
又由(1)知sin 2α＝eq \f(1,2)，∴cs 2α＝－eq \f(\r(3),2).
∴tan α－eq \f(1,tan α)＝eq \f(sin α,cs α)－eq \f(cs α,sin α)＝eq \f(sin2α－cs2α,sin αcs α)＝eq \f(－2cs 2α,sin 2α)＝－2×eq \f(－\f(\r(3),2),\f(1,2))＝2eq \r(3).