2022版高考人教版数学一轮练习：练案【23理】【22文】 三角函数式的化简与求值

这是一份2022版高考人教版数学一轮练习：练案【23理】【22文】 三角函数式的化简与求值，共8页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

A组基础巩固
一、选择题
1．(2021·河北唐山摸底)cs 105°－cs 15°＝( D )
A．eq \f(\r(2),2) B．－eq \f(\r(2),2)
C.eq \f(\r(6),2) D．－eq \f(\r(6),2)
[解析] 解法一：cs 105°－cs 15°＝cs(60°＋45°)－cs(60°－45°)＝－2sin 60°sin 45°＝－2×eq \f(\r(3),2)×eq \f(\r(2),2)＝－eq \f(\r(6),2)，故选D.
解法二：由题意可知cs 105°－cs 15°＝－sin 15°－cs 15°＝－(sin 15°＋cs 15°)＝－eq \r(2)sin(45°＋15°)＝－eq \r(2)sin 60°＝－eq \f(\r(6),2)，故选D.
2．(2020·北京东城区模拟)eq \f(cs 85°＋sin 25°cs 30°,cs 25°)等于( C )
A．－eq \f(\r(3),2) B．eq \f(\r(2),2)
C.eq \f(1,2) D．1
[解析] 原式＝eq \f(sin 5°＋\f(\r(3),2)sin 25°,cs 25°)
＝eq \f(sin30°－25°＋\f(\r(3),2)sin 25°,cs 25°)＝eq \f(\f(1,2)cs 25°,cs 25°)＝eq \f(1,2).
3．(2021·山东青岛调研)已知sin α＝eq \f(3,5)，α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，tan(π－β)＝eq \f(1,2)，则tan(α－β)的值为( A )
A．－eq \f(2,11) B．eq \f(2,11)
C.eq \f(11,2) D．－eq \f(11,2)
[解析] ∵α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，sin α＝eq \f(3,5)，
∴cs α＝－eq \f(4,5)，tan α＝－eq \f(3,4)，
又tan(π－β)＝eq \f(1,2)，∴tan β＝－eq \f(1,2)，
∴tan(α－β)＝eq \f(tan α－tan β,1＋tan α·tan β)＝eq \f(－\f(3,4)＋\f(1,2),1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,4)))×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2))))＝－eq \f(2,11).
4．(2021·湖南岳阳三校第一次联考改编)已知α为三角形内角，且满足cs 2α＝sin α，则α的值为( D )
A．30° B．135°
C．60° D．150°或30°
[解析] 由cs 2α＝sin α，得1－2sin2α＝sin α，即2sin2α＋sin α－1＝0，得sin α＝eq \f(1,2)或sin α＝－1.因为α为三角形内角，所以sin α＝eq \f(1,2)，所以α＝30°或150°，故选D.
5．(2020·广东佛山一中月考)设α为锐角，若cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,6)))＝eq \f(4,5)，则sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α＋\f(π,3)))的值为( B )
A．eq \f(12,25) B．eq \f(24,25)
C．－eq \f(24,25) D．－eq \f(12,25)
[解析] 因为α为锐角，且cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,6)))＝eq \f(4,5)，
所以sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,6)))＝eq \r(1－cs2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,6))))＝eq \f(3,5)，
所以sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α＋\f(π,3)))＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,6)))cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,6)))＝2×eq \f(3,5)×eq \f(4,5)＝eq \f(24,25)，故选B.
6．(2021·河南郑州一中月考)若eq \f(2cs2α＋cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋2α))－1,\r(2)sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α＋\f(π,4))))＝4，则taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α＋\f(π,4)))＝( C )
A．eq \f(1,2) B．eq \f(1,3)
C.eq \f(1,4) D．eq \f(1,5)
[解析] ∵eq \f(2cs2α＋cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋2α))－1,\r(2)sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α＋\f(π,4))))＝eq \f(cs 2α－sin 2α,sin 2α＋cs 2α)＝eq \f(1－tan 2α,1＋tan 2α)＝4，∴taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α＋\f(π,4)))＝eq \f(1＋tan 2α,1－tan 2α)＝eq \f(1,4).故选C.
7．(2020·全国高考信息卷)若α为第二象限角，且sin 2α＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,2)))cs(π－α)，则eq \r(2)cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α－\f(π,4)))的值为( A )
A．－eq \f(1,5) B．eq \f(1,5)
C.eq \f(4,3) D．－eq \f(4,3)
[解析] ∵sin 2α＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,2)))cs(π－α)，
∴2sin αcs α＝－cs2α，∵α是第二象限角，
∴cs α≠0,2sin α＝－cs α，∴4sin2α＝cs2α＝1－sin2α，
∴sin2α＝eq \f(1,5)，∴eq \r(2)cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α－\f(π,4)))＝cs 2α＋sin 2α＝cs2α－sin2α＋2sin αcs α＝－sin2α＝－eq \f(1,5)，故选A．
8．(2020·江西九江两校第二次联考改编)已知函数f(x)＝(2cs2x－1)sin 2x＋eq \f(1,2)cs 4x，若α∈(0，π)，且f(α)＝eq \f(\r(2),2)，则α的值为( C )
A．eq \f(π,16) B．eq \f(11π,16)
C.eq \f(9π,16)或eq \f(π,16) D．eq \f(7π,16)
[解析] 由题意知f(x)＝cs 2xsin 2x＋eq \f(1,2)cs 4x＝eq \f(1,2)sin 4x＋eq \f(1,2)cs 4x＝eq \f(\r(2),2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4x＋\f(π,4)))，
因为f(α)＝eq \f(\r(2),2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4α＋\f(π,4)))＝eq \f(\r(2),2)，
所以4α＋eq \f(π,4)＝eq \f(π,2)＋2kπ，k∈Z，即α＝eq \f(π,16)＋eq \f(kπ,2)，k∈Z.
因为α∈(0，π)，所以α＝eq \f(π,16)或α＝eq \f(π,16)＋eq \f(π,2)＝eq \f(9π,16)，故选C.
二、填空题
9．(2021·江苏镇江中学模拟)tan 10°＋tan 50°＋eq \r(3)tan 10°tan 50°＝ eq \r(3) .
[解析] ∵tan 60°＝tan(10°＋50°)＝eq \f(tan 10°＋tan 50°,1－tan 10°tan 50°)，
∴tan 10°＋tan 50°＝tan 60°(1－tan 10°tan 50°)＝eq \r(3)－eq \r(3)tan 10°tan 50°，
∴原式＝eq \r(3)－eq \r(3)tan 10°tan 50°＋eq \r(3)tan 10°tan 50°＝eq \r(3).
10．(2021·福建宁德质检)若sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))＝eq \r(2)(sin α＋2cs α)，则sin 2α＝ －eq \f(3,5) .
[解析] ∵sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))＝eq \r(2)(sin α＋2cs α)，∴sin α＋3cs α＝0，故tan α＝－3，
sin 2α＝2sin αcs α＝eq \f(2sin αcs α,sin2α＋cs2α)＝eq \f(2tan α,tan2α＋1)＝eq \f(－6,－32＋1)＝－eq \f(3,5).
11．(此题为更换后新题)(2020·浙江诸暨中学期中)eq \f(sin 10°＋sin 50°,sin 35°sin 55°)＝__2__.
[解析] 原式＝eq \f(sin30°－20°＋sin30°＋20°,sin 35°cs 35°)＝
eq \f(2sin 30°cs 20°,\f(1,2)sin 70°)＝eq \f(cs 20°,\f(1,2)sin 70°)＝2.
11．(此题为发现的重题，更换新题见上题)(2020·浙江诸暨中学期中)eq \f(\r(3)tan 12°－3,4cs212°－2sin 12°)＝－4eq \r(3) .
[解析] 原式＝eq \f(\f(\r(3)sin 12°－3cs 12°,cs 12°),2cs 24°sin 12°)
＝eq \f(2\r(3)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)sin 12°－\f(\r(3),2)cs 12°)),cs 24°sin 24°)
＝eq \f(4\r(3)sin12°－60°,sin 48°)＝－4eq \r(3).
12．(2021·山东烟台模拟)已知θ∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，且sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ－\f(π,4)))＝eq \f(\r(2),10)，则tan θ＝ eq \f(4,3) ，tan 2θ＝ －eq \f(24,7) .
[解析] 解法一：由sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ－\f(π,4)))＝eq \f(\r(2),10)，得sin θ－cs θ＝eq \f(1,5)，可得2sin θcs θ＝eq \f(24,25)，
又θ∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，可求得sin θ＋cs θ＝eq \f(7,5)，
∴sin θ＝eq \f(4,5)，cs θ＝eq \f(3,5)，
∴tan θ＝eq \f(4,3)，tan 2θ＝eq \f(2tan θ,1－tan2θ)＝－eq \f(24,7).
解法二：∵θ∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))且sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ－\f(π,4)))＝eq \f(\r(2),10)，
∴cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ－\f(π,4)))＝eq \f(7\r(2),10)，
∴taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ－\f(π,4)))＝eq \f(1,7)＝eq \f(tan θ－1,1＋tan θ)，解得tan θ＝eq \f(4,3).
故tan 2θ＝eq \f(2 tan θ,1－tan2θ)＝－eq \f(24,7).
三、解答题
13．(2021·江西临川一中月考)已知0[解析] 解法一：(先化简后求值)：原式＝eq \f(cs2x－sin2x,\f(\r(2),2)cs x－sin x)＝eq \r(2)(cs x＋sin x)＝2cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－x)).
因为0则原式＝2eq \r(1－sin2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－x)))＝eq \f(24,13).
解法二：(先局部后整体)：cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋x))
＝cs eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－x))))＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－x))＝eq \f(5,13).
下面从两个角度求cs 2x.
角度1：cs 2x＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－2x))＝sin eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－x))))＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－x))cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－x))；
角度2：cs 2x＝cs2x－sin2x＝(cs x－sin x)·(cs x＋sin x)＝eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－x))·eq \r(2)cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－x))＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－x))·cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－x)).
因为0所以eq \f(cs 2x,cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋x)))＝eq \f(24,13).
14．已知α，β均为锐角，且tan α＝eq \f(4,3)，cs(α＋β)＝－eq \f(\r(5),5).
(1)求cs 2α的值；
(2)求tan(α－β)的值．
[解析] (1)因为tan α＝eq \f(4,3)，tan α＝eq \f(sin α,cs α)，
所以sin α＝eq \f(4,3)cs α.因为sin2α＋cs2α＝1，
所以cs2α＝eq \f(9,25)，因此cs 2α＝2cs2α－1＝－eq \f(7,25).
(2)因为α，β为锐角，所以α＋β∈(0，π)．
又因为cs(α＋β)＝－eq \f(\r(5),5)，
所以sin(α＋β)＝eq \r(1－cs2α＋β)＝eq \f(2\r(5),5)，
因此tan(α＋β)＝－2.
因为tan α＝eq \f(4,3)，所以tan 2α＝eq \f(2tan α,1－tan2α)＝－eq \f(24,7).
因此，tan(α－β)＝tan [2α－(α＋β)]
＝eq \f(tan 2α－tanα＋β,1＋tan 2αtanα＋β)＝－eq \f(2,11).
B组能力提升
1．若sin(α＋β)＝3sin(π－α＋β)，α，β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，则eq \f(tan α,tan β)＝( A )
A．2 B．eq \f(1,2)
C．3 D．eq \f(1,3)
[解析] ∵sin(α＋β)＝3sin(π－α＋β)＝3sin(α－β)，
∴sin αcs β＝2cs αsin β，∴tan α＝2tan β，
即eq \f(tan α,tan β)＝2，故选A．
2．(2020·安徽毛坦厂中学4月联考)eq \f(cs 23°＋cs 67°,\r(2)sin 68°)＝( D )
A．2 B．eq \r(3)
C.eq \r(2) D．1
[解析] 原式＝eq \f(cs 23°＋sin 23°,\r(2)sin 68°)＝eq \f(\r(2)sin23°＋45°,\r(2)sin 68°)＝1.故选D.
3．(2021·湖北八校第一次联考改编)已知3π≤θ≤4π，且eq \r(\f(1＋cs θ,2))＋eq \r(\f(1－cs θ,2))＝eq \f(\r(6),2)，则θ＝( D )
A．eq \f(10,3)π或eq \f(11,3)π B．eq \f(37,12)π或eq \f(47,12)π
C.eq \f(13,4)π或eq \f(15,4)π D．eq \f(23,6)π或eq \f(19,6)π
[解析] ∵3π≤θ≤4π，∴eq \f(3π,2)≤eq \f(θ,2)≤2π，∴cs eq \f(θ,2)>0，sin eq \f(θ,2)<0，则eq \r(\f(1＋cs θ,2))＋eq \r(\f(1－cs θ,2))＝eq \r(cs2\f(θ,2))＋eq \r(sin2\f(θ,2))＝cs eq \f(θ,2)－sin eq \f(θ,2)＝eq \r(2)cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(θ,2)＋\f(π,4)))＝eq \f(\r(6),2)，
∴cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(θ,2)＋\f(π,4)))＝eq \f(\r(3),2)，∴eq \f(θ,2)＋eq \f(π,4)＝eq \f(π,6)＋2kπ或eq \f(θ,2)＋eq \f(π,4)＝－eq \f(π,6)＋2kπ，k∈Z，即θ＝－eq \f(π,6)＋4kπ或θ＝－eq \f(5π,6)＋4kπ，k∈Z.∵3π≤θ≤4π.∴θ＝eq \f(19π,6)或eq \f(23π,6)，故选D.
4．已知方程x2＋3ax＋3a＋1＝0(a>1)的两根分别为tan α，tan β，且α，β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，则α＋β＝ －eq \f(3π,4) .
[解析] 由已知，得tan α＋tan β＝－3a，tan αtan β＝3a＋1，∴tan(α＋β)＝1.∵α，β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，tan α＋tan β＝－3a<0，tan αtan β＝3a＋1>0，∴tan α<0，tan β<0，∴α，β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，0))，
∴α＋β∈(－π，0)，∴α＋β＝－eq \f(3π,4).
5．(2021·江西吉安白鹭洲中学联考)已知0<α(1)求sin 2β的值；
(2)求cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))的值．
[解析] (1)解法一：∵cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β－\f(π,4)))＝cs eq \f(π,4)cs β＋sin eq \f(π,4)·sin β＝eq \f(\r(2),2)(sin β＋cs β)＝eq \f(1,3)，
∴cs β＋sin β＝eq \f(\r(2),3)，∴1＋sin 2β＝eq \f(2,9)，∴sin 2β＝－eq \f(7,9).
解法二：sin 2β＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－2β))＝2cs2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β－\f(π,4)))－1＝－eq \f(7,9).
(2)∵0<α∴eq \f(π,4)<β－eq \f(π,4)∴sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β－\f(π,4)))>0，cs(α＋β)<0.
∵cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β－\f(π,4)))＝eq \f(1,3)，sin(α＋β)＝eq \f(4,5)，
∴sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β－\f(π,4)))＝eq \f(2\r(2),3)，cs(α＋β)＝－eq \f(3,5).
∴cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))＝cs eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(α＋β－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β－\f(π,4)))))＝cs(α＋β)·cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β－\f(π,4)))＋sin(α＋β)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β－\f(π,4)))＝－eq \f(3,5)×eq \f(1,3)＋eq \f(4,5)×eq \f(2\r(2),3)＝eq \f(8\r(2)－3,15).