2022届高三统考数学（文科）人教版一轮复习课时作业：51 曲线与方程

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[基础达标]
一、选择题
1．已知点P是直线2x－y＋3＝0上的一个动点，定点M(－1,2)，Q是线段PM延长线上的一点，且|PM|＝|MQ|，则Q点的轨迹方程是( )
A．2x＋y＋1＝0B．2x－y－5＝0
C．2x－y－1＝0D．2x－y＋5＝0
2．方程|x|－1＝eq \r(1－(y－1)2)所表示的曲线是( )
A．一个圆B．两个圆
C．半个圆D．两个半圆
3．设点A为圆(x－1)2＋y2＝1上的动点，PA是圆的切线，且|PA|＝1，则P点的轨迹方程为( )
A．y2＝2xB．(x－1)2＋y2＝4
C．y2＝－2xD．(x－1)2＋y2＝2
4．[2021·珠海模拟]已知点A(1,0)，直线l：y＝2x－4，点R是直线l上的一点，若eq \(RA,\s\up6(→))＝eq \(AP,\s\up6(→))，则点P的轨迹方程为( )
A．y＝－2xB．y＝2x
C．y＝2x－8D．y＝2x＋4
5．[2021·福建八校联考]已知圆M：(x＋eq \r(5))2＋y2＝36，定点N(eq \r(5)，0)，点P为圆M上的动点，点Q在NP上，点G在线段MP上，且满足eq \(NP,\s\up6(→))＝2eq \(NQ,\s\up6(→))，eq \(GQ,\s\up6(→))·eq \(NP,\s\up6(→))＝0，则点G的轨迹方程是( )
A.eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,4)＝1B.eq \f(x2,36)＋eq \f(y2,31)＝1
C.eq \f(x2,9)－eq \f(y2,4)＝1D.eq \f(x2,36)－eq \f(y2,31)＝1
二、填空题
6．在△ABC中，A为动点，B，C为定点，Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(a,2)，0))，Ceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,2)，0))(a＞0)，且满足条件sinC－sinB＝eq \f(1,2)sinA，则动点A的轨迹方程是________．
7．[2021·河南开封模拟]如图，已知圆E：(x＋eq \r(3))2＋y2＝16，点F(eq \r(3)，0)，P是圆E上任意一点．线段PF的垂直平分线和半径PE相交于Q.则动点Q的轨迹Γ的方程为____________．
8．[2021·江西九江联考]设F(1,0)，点M在x轴上，点P在y轴上，且eq \(MN,\s\up6(→))＝2eq \(MP,\s\up6(→))，eq \(PM,\s\up6(→))⊥eq \(PF,\s\up6(→))，当点P在y轴上运动时，则点N的轨迹方程为________．
三、解答题
9．在平面直角坐标系xOy中，点B与点A(－1,1)关于原点O对称，P是动点，且直线AP与BP的斜率之积等于－eq \f(1,3).求动点P的轨迹方程．
10．如图所示，已知圆A：(x＋2)2＋y2＝1与点B(2,0)，分别求出满足下列条件的动点P的轨迹方程．
(1)△PAB的周长为10；
(2)圆P与圆A外切，且过B点(P为动圆圆心)；
(3)圆P与圆A外切，且与直线x＝1相切(P为动圆圆心)．
[能力挑战]
11．已知圆C1的圆心在坐标原点O，且恰好与直线l1：x－y－2eq \r(2)＝0相切．
(1)求圆的标准方程；
(2)设点A为圆上一动点，AN⊥x轴于点N，若动点Q满足eq \(OQ,\s\up6(→))＝meq \(OA,\s\up6(→))＋(1－m)eq \(ON,\s\up6(→))(其中m为非零常数)，试求动点Q的轨迹方程．
课时作业51
1．解析：由题意知，M为PQ中点，设Q(x，y)，则P为(－2－x,4－y)，代入2x－y＋3＝0得2x－y＋5＝0.
答案：D
2．解析：由题意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1((|x|－1)2＋(y－1)2＝1，,|x|－1≥0，))
即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1((x－1)2＋(y－1)2＝1，,x≥1))
或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1((x＋1)2＋(y－1)2＝1，,x≤－1.))
故原方程表示两个半圆．
答案：D
3.
解析：如图，设P(x，y)，圆心为M(1,0)．连接MA，则MA⊥PA，且|MA|＝1.
又∵|PA|＝1，
∴|PM|＝eq \r(|MA|2＋|PA|2)
＝eq \r(2)，
即|PM|2＝2，∴(x－1)2＋y2＝2.
答案：D
4．解析：设P(x，y)，R(x1，y1)，由eq \(RA,\s\up6(→))＝eq \(AP,\s\up6(→))知，点A是线段RP的中点，∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(x＋x1,2)＝1，,\f(y＋y1,2)＝0，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x1＝2－x，,y1＝－y.))
∵点R(x1，y1)在直线y＝2x－4上，
∴y1＝2x1－4，∴－y＝2(2－x)－4，即y＝2x.
答案：B
5．解析：由eq \(NP,\s\up6(→))＝2eq \(NQ,\s\up6(→))，eq \(GQ,\s\up6(→))·eq \(NP,\s\up6(→))＝0知GQ所在直线是线段NP的垂直平分线，连接GN，
∴|GN|＝|GP|，∴|GM|＋|GN|＝|MP|＝6>2eq \r(5)，∴点G的轨迹是以M，N为焦点的椭圆，其中2a＝6,2c＝2eq \r(5)，∴b2＝4，∴点G的轨迹方程为eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,4)＝1，故选A.
答案：A
6．解析：由正弦定理得eq \f(|AB|,2R)－eq \f(|AC|,2R)＝eq \f(1,2)×eq \f(|BC|,2R)，
即|AB|－|AC|＝eq \f(1,2)|BC|，
故动点A是以B，C为焦点，eq \f(a,2)为实轴长的双曲线右支．
即动点A的轨迹方程为eq \f(16x2,a2)－eq \f(16y2,3a2)＝1(x＞0且y≠0)．
答案：eq \f(16x2,a2)－eq \f(16y2,3a2)＝1(x＞0且y≠0)
7．解析：连接QF，因为Q在线段PF的垂直平分线上，所以|QP|＝|QF|，得|QE|＋|QF|＝|QE|＋|QP|＝|PE|＝4.
又|EF|＝2eq \r(3)＜4，得Q的轨迹是以E，F为焦点，长轴长为4的椭圆，则方程为eq \f(x2,4)＋y2＝1.
答案：eq \f(x2,4)＋y2＝1
8．解析：设M(x0,0)，P(0，y0)，N(x，y)，由eq \(MN,\s\up6(→))＝2eq \(MP,\s\up6(→))，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－x0＝－2x0，y＝2y0，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x0＝－x，,y0＝\f(1,2)y，))因为eq \(PM,\s\up6(→))⊥eq \(PF,\s\up6(→))，eq \(PM,\s\up6(→))＝(x0，－y0)，eq \(PF,\s\up6(→))＝(1，－y0)，所以(x0，－y0)·(1，－y0)＝0，所以x0＋yeq \\al(2,0)＝0，即－x＋eq \f(1,4)y2＝0，所以点N的轨迹方程为y2＝4x.
答案：y2＝4x
9．解析：因为点B与点A(－1,1)关于原点O对称．
所以点B的坐标为(1，－1)．
设点P的坐标为(x，y)，由题设知直线AP与BP的斜率存在且均不为零，则eq \f(y－1,x＋1)·eq \f(y＋1,x－1)＝－eq \f(1,3)，
化简得x2＋3y2＝4(x≠±1)．
故动点P的轨迹方程为eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,\f(4,3))＝1(x≠±1)．
10．解析：(1)根据题意，知|PA|＋|PB|＋|AB|＝10，即|PA|＋|PB|＝6>4＝|AB|，故P点轨迹是椭圆，且2a＝6,2c＝4，即a＝3，c＝2，b＝eq \r(5).
因此其轨迹方程为eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,5)＝1(y≠0)．
(2)设圆P的半径为r，则|PA|＝r＋1，|PB|＝r，
因此|PA|－|PB|＝1.
由双曲线的定义知，P点的轨迹为双曲线的右支，且2a＝1,2c＝4，即a＝eq \f(1,2)，c＝2，b＝eq \f(\r(15),2)，因此其轨迹方程为4x2－eq \f(4,15)y2＝1eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x≥\f(1,2))).
(3)依题意，知动点P到定点A的距离等于到定直线x＝2的距离，故其轨迹为抛物线，且开口向左，p＝4.
因此其轨迹方程为y2＝－8x.
11．解析：(1)设圆的半径为r, 圆心到直线l1的距离为d，则d＝eq \f(|－2\r(2)|,\r(12＋12))＝2.
因为r＝d＝2，圆心为坐标原点O，所以圆C1的方程为x2＋y2＝4.
(2)设动点Q(x，y)，A(x0，y0)，
∵AN⊥x轴于点N，∴N(x0,0)，
由题意知，(x，y)＝m(x0，y0)＋(1－m)·(x0,0)，
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝x0，,y＝my0，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x0＝x，,y0＝\f(1,m)y.))
将点Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x，\f(1,m)y))代入圆C1的方程x2＋y2＝4，得动点Q的轨迹方程为eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,4m2)＝1.