专题17 几类函数的对称中心及应用-2022年高考数学优拔尖必刷压轴题（选择题、填空题）（新高考地区专用）

专题17  几类函数的对称中心及应用

【方法点拨】

1.三次函数的对称中心为(，)，其中，即，.

记忆方法：类比于二次函数的对称轴方程，分母中.

2. 一次分式函数（或称双曲函数）的对称中心为.

记忆方法：横下零，纵系数（即横坐标是使分母为0的值，而纵坐标是分母、分子中的一次项系数分别作为分母、分子的值）.

3. 指数复合型函数的对称中心为.

记忆方法：横下对，纵半分（即横坐标是使分母取对数的值，但真数为保证有意义，取的是绝对值而已，而纵坐标是分母、分子中的常数分别作为分母、分子的值的一半）.

【典型题示例】

例1     已知函数，则满足不等式的实数的取值范围是           .

【答案】

【解析】的对称中心是，其定义域为R且单减

令，则为R上的单调递减的奇函数

由得

即

因为为奇函数，故

所以

又在R上单减，所以，解之得

所以实数的取值范围是.

例2   （2021·江苏镇江中学·开学初）设是函数的导数，是的导数，若方程＝0有实数解，则称点(，)为函数的“拐点”．已知：任何三次函数都有拐点，又有对称中心，且拐点就是对称中心．设，数列的通项公式为，则＝       ．

【解析】令得，

对称中心为，

所以对于任意恒成立

因为，所以

所以

所以．

【巩固训练】

1. 设函数，数列是公差不为0的等差数列，，则（    ）

A、0                 B、7                C、14                D、21

2. 函数y=的对称中心是             ．

3. 已知函数（其中）图象关于点P(－1，3)成中心对称，则不等式的解集是             ．

4. 在平面直角坐标系中，已知直线与曲线依次交于 三点，若点使，则的值为_____.

5. 已知函数的图象关于坐标原点对称，则实数的值为_____.

6. 已知函数，则满足不等式的实数的取值范围是           .

7.已知，则的值为        ．

8.已知函数 =，若对，恒成立，则的取值范围是       ．

【答案与提示】

1.【答案】D

【提示】根据函数值之和求自变量之和，很自然会去考虑函数的性质，而等式常常考查对称性，从而尝试去寻求函数的对称中心.

     函数可以视为由与构成，它们的对称中心不一样，可以考虑对函数的图象进行平移, 比如，引入函数，则该函数是奇函数，对称中心是坐标原点，由图象变换知识不难得出的图象关于点中心对称.

2.【答案】（4，-1）

【解析】

3.【答案】

【解析】函数的对称中心为(－1，a)，与P(－1，3)比较得a＝3.此时，不等式，即

，由序轴标根法即得解集为.

4.【答案】1

【提示】过定点（2,2）， 对于三次函数，令 得，又，所以也关于点（2,2）对称，所以，.

5.【答案】－1

6.【答案】

【解析】的对称中心是，其定义域为R且单增（下略）.

7.【答案】

【思路一】从所求式中自变量的特征，被动发现函数的对称性.设若，尝试去求

的值，易得.

【思路二】主动发现函数的对称性，，设，则其对称中心为，则的对称中心也为，故.

8.【答案】.