专题25 奔驰定理与三角形的四心-2022年高考数学优拔尖必刷压轴题（选择题、填空题）（新高考地区专用）

专题25   奔驰定理与三角形的四心

【方法点拨】

奔驰定理：设是内一点，的面积分别记作则.

说明：

1. 本定理图形酷似奔驰的车标而得名.
2. 奔驰定理在三角形四心中的具体形式：

（1）是的重心.

（2）是的内心.

（3）是的外心.

（4）是的垂心.

3.奔驰定理是三角形四心向量式的完美统一.

4.奔驰定理对于利用平面向量解决平面几何问题，尤其是解决跟三角形的面积和“四心”相关的问题，有着决定性的基石作用．

【典型例题】

例1     为三角形内部一点，､､均为大于1的正实数，且满足，若､､分别表示､､的面积，则为（    ）

A．   B． 

C． D．

【答案】

【解析一】由，，

，，

如图设

，即是的重心，

同理可得，，

所以．故选：．

【解析二】由，，

，，

由奔驰定理得：．故选：．

例2   在△ABC中，角A，B，C所对的边为a，b，c，a=b=4，c=6，I是△ABC中内切圆的圆心，若，则．

【答案】

【解析一】（向量的线性表示、数量积、三角形内切圆半径求法）

易求得，而，所以

另一方面，对上式两边同时作数量积得：，

易知，，

所以，所以.

【解析二】（奔驰定理）联想到奔驰定理，将转化为

整理为：

由奔驰定理得

解之得.

点评：

    解法一中的很多知识点并不为学生所熟悉，解决起来有较大难度，而解法二直接使用奔驰定理十分简洁.

例3     已知是的重心，且满足，则 =           .

【答案】

【分析】要牢记前面的系数之比为1:1:1，求得三内角的正弦比，再利用正、余弦定理求得.

【解析】∵是的重心，∴

∴

∴

由正弦定理，

由余弦定理，

∵，∴ .

例4    设H是△ABC的垂心，若，则的值为（    ）

A．        B．      C．          D．

【答案】D

【解析】因为，由三角形垂心的向量定理得

设，，

由代入得，解之得

所以

又因为，所以.

例5    已知点O为所在平面内一点，且，则下列选项正确的是（    ）

A.                        B. 直线必过边中点

C.        D. 若，且，则

【答案】ACD

【解析】对于A，插入点A，，所以；

对于B，若直线过边的中点，则，由上知，不成立；

对于C，由奔驰定理知；

对于D，由得，两边平方得

.

例6   在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c， ，若△ABC的外接圆的圆心为，且满足，则的值为         .

【答案】

【解析】∵

∴，即

∵，∴，∵，∴，

对两边同时点乘得：

∵，

∴，

即

由正弦定理知

∴.

【巩固练习】

1.已知P是△ABC所在平面内一点，若·＝·＝·，则P是△ABC的(　　)

A.外心   B.内心   C.重心   D.垂心

2.已知O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足＝＋λ，λ∈R，则P点的轨迹一定经过△ABC的(　　)

A.外心   B.内心   C.重心   D.垂心

3．点P在△ABC内部，满足＋2＋3＝0，则S△ABC∶S△APC为(　　)

A．2∶1  B．3∶2  C．3∶1  D．5∶3

4．点O为△ABC内一点，若S△AOB∶S△BOC∶S△AOC＝4∶3∶2，设＝λ＋μ，则实数λ和μ的值分别为(　　)

A.，      B.，         C.，        D.，

5.设O是△ABC的内心，AB＝c，AC＝b，BC＝a，若则（    ）

A．        B．      C．          D．

6.已知O为正内的一点，且满足，若的面积与的面积的比值为3，则的值为（    ）

A． B． C．2 D．3

7.在△ABC中，角A，B，C所对的边为a，b，c，a=5，b=12，c=13，I是△ABC内切圆的圆心，若，则=________．

8.在△ABC中，AB=3，BC=4，AC=5， I是△ABC内切圆的圆心，若，则=________．

9.已知是锐角的外接圆圆心，，则实数的值为__________．

10.已知是所在平面内一点，且满足，则=          .

【答案与提示】

1.【答案】　D

【解析】　由·＝·，可得·(－)＝0，即·＝0，∴⊥，同理可证⊥，⊥.∴P是△ABC的垂心.

2.【答案】C

【解析】　设BC的中点为M，则＝，

则有＝＋λ，即＝λ.

∴P的轨迹一定通过△ABC的重心.

3.【答案】　C

【解析】　根据奔驰定理得，S△PBC∶S△PAC∶S△PAB＝1∶2∶3.∴S△ABC∶S△APC＝3∶1.

4.【答案】　A

【解析】　根据奔驰定理，得3＋2＋4＝0，即3＋2(＋)＋4(＋)＝0，

整理得＝＋，故选A.

5.【答案】A

【分析】根据奔驰定理的内心恒等式，利用向量的线性运算可以求得.进而根据平面向量基本定理中的唯一性可得到的值，进而得解.

【解析】O是△ABC的内心，AB＝c，AC＝b，BC＝a

则，所以，

所以，所以.

又，所以，，所以.

6.【答案】C

【解析】由奔驰定理得，解之得，选C．

7.【答案】

8.【答案】

9.【答案】

10.【答案】