专题27 以图形为背景的两角差的正切-2022年高考数学优拔尖必刷压轴题（选择题、填空题）（新高考地区专用）

专题27  以图形为背景的两角差的正切

【方法点拨】

1. 利用作垂线，可以化斜三角形为直角三角形，往往两次解直角三角形较直接使用正余弦定理来的简单.
2. 图形中的张定角问题，往往作垂线后，在两个直角三角形中，求出角的正切值，再使用两角和与差的正切公式，从而布列方程求解；求张角最值问题，方法同上，从而建立目标函数求解.

【典型题示例】

例1    (2021·全国乙卷·理9)魏晋时刘徽撰写的《海岛算经》是关测量的数学著作，其中第一题是测海岛的高．如图，点，，在水平线上，和是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”，称为“表距”，和都称为“表目距”，与的差称为“表目距的差”则海岛的高（    ）

A. 表高 B. 表高

C. 表距 D. 表距

【答案】A

【分析】化斜为直，两次解直角三角形即可解出．

【解析】如图所示：

中，，

中，，

∵，∴

∴

另一方面，,

∴

∴．

故选：A.

点评：

本题难度并不大，主要以数学文化为背景，考查学生分析问题的能力，但在应试的背景下，学生往往找不到方向，不会化斜为直，而使用正、余弦定理等去解决，这无疑给解题带来了难度，甚至误入死胡同.

例2    《九章算术》是我国古代著名数学经典，其对勾股定理的论述比西方早一千多年．其中有这样一个问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？”其意为：今有直角三角形，勾（短直角边）长5步，股（长直角边）长12步，问该直角三角形能容纳的正方形边长为多少？在如图所示中，求得正方形的边长后，可求得__________．

【答案】

【分析】利用平几中的三角形相似或三角函数知识，不难求出正方形的边长，这里，应化斜为直，将看作、的差，在直角三角形、求出、，再利用两角差正切公式计算即可.

【解析】设正方形的边长，由题知：，解得.

所以，.

故.

即的值为.

【巩固训练】

1.如图，两座建筑物AB，CD的高度分别是9m和15m，从建筑物AB的顶部A看建筑物CD的张角，则这两座建筑物AB和CD的底部之间的距离       m．

2.如图，有一壁画，最高点A处离地面6 m，最低点B处离地面3.5 m．若从离地高2 m的C处观赏它，则C离墙________m时，视角θ最大．

3.某兴趣小组测量电视塔AE的高度H(单位：m），如示意图，垂直放置的标杆BC的高度h=4m，仰角∠ABE=，∠ADE=.

（1） 该小组已经测得一组、的值，tan=1.24，tan=1.20，请据此算出H的值是

           m；

 （2）该小组分析若干测得的数据后，认为适当调整标杆到电视塔的距离d（单位：m），使与之差较大，可以提高测量精确度.若电视塔的实际高度为125m，当d=           m时，-最大.

【答案与提示】

1.【答案】18

【提示】过A作CD的垂线，利用两角和的正切公式布列方程.

2.【答案】

【提示】过C作AB的垂线，利用两角差的正切公式建立关于两点地面间距离的目标函数，再利用基本不等式.

3.【答案】（1）124m；    （2）m.

【解析】本题主要考查解三角形的知识、两角差的正切及不等式的应用.

（1），同理：，.

 AD—AB=DB，故得，解得：.

因此，算出的电视塔的高度H是124m.

（2）由题设知，得，

，（当且仅当时，取等号）

故当时，最大.

因为，则，所以当时，-最大.

故所求的是m.