专题52 二元权方和不等式-2022年高考数学优拔尖必刷压轴题（选择题、填空题）（新高考地区专用）

专题52   二元权方和不等式

【方法点拨】

已知，则有：（当且仅当时，等号成立）.

说明:

1.上式其实即为二元变量的权方和不等式，用于“知和求和型”求最值，其实质就是“1”的代换.

2. 设()，实数，则，其中等号当且仅当时成立.这称之为权方和不等式.

我们称为该不等式的权，权方和不等式的特征是分子的幂指数比分母的幂指数高1次.

【典型题示例】

例1     已知，，则的最小值为        .

【答案】

【分析】由知：，为保证分母和为定值，对所求作适当的变形，然后就可以使用权方和不等式了.

【解析】（等号成立条件，略，下同）.

例2     如图，已知三角形 ABC 中，AB ＝1，AC ＝ 2 ，若点 M 为线段 BC 的三等分点(靠近 B 点)，则的最小值为 　　 ．

【答案】

【解析】，，

.

例3   已知a＞0，b＞0，且，则的最小值是       ．

【答案】

【解析】

当，即，．

例4   已知a＞0，b＞0，且则的最小值是       ．

【答案】

【解析】

当，即时，等号成立．

例5   已知x＞1，y＞1，则的最小值是       ．

【答案】8

【解析】令

当，即，两个等号同时成立．

例6   已知a＞0，b＞0，且，则的最小值是       ．

【答案】

【解析】

当，即，．

【巩固训练】

 1.已知x＞1，y＞1，xy＝10，则的最小值是       ．

2. 已知正数满足，则的最小值为        .

3. 已知，则的最小值为        .

4.已知正实数x，y满足x+y＝xy，则的最小值是　   　．

【答案与提示】

1.【答案】9

【解析】∵x＞1，y＞1，xy＝10，

∴，且

      ∴，当且仅当时取“＝”．

2.【答案】

【解析】

当且仅当，等号成立.

3.【答案】

【解析】

当且仅当时,等号成立.

4.【答案】15

【解析】x+y＝xy可化为，

.