专题51 多次使用基本不等式-2022年高考数学优拔尖必刷压轴题（选择题、填空题）（新高考地区专用）

专题51   多次使用基本不等式

【方法点拨】

多元变量的最值问题是一种常见的题型，也是高考命题的热点，其解法灵活多变，较难把握.当目标式中有的变量间彼此独立，相互间没有制约条件时，使用分离变量法，多次使用基本不等式即可.这是可多次使用基本不等式的先决条件，其目的是保证等号能同时成立.

【典型题示例】

例1   （2021·全国高考天津卷·13）若，则的最小值为_______．

【答案】

【分析】两次利用基本不等式即可求出.

【解析】，

，

当且仅当且，即时等号成立，

所以的最小值为.

例2   已知且，则的最小值是_________.

【答案】24

【解析】由于，故考虑先求出的最小值，

.

点评：（1）“多元问题一般应减元”，这是解决多元问题的基本思路.本题中，虽然已知中含有三个变量，但其地位是不同的，这里有约束条件，而变量除了“”外，没有其它的任何约束条件，系“单身狗”，故应将其分为一组------------其目的是“孤立单身狗”，求出其最小值，再使用基本不等式，而两次使用基本不等式的条件没有关联；

（2）在求的最小值时，观察式子的结构特征，使用了“1”的代换，其目的仍在于“化齐次”.

例3     设，，则 的最小值为        .

【答案】

【分析】所求变形为.三次使用基本不等式，第一次，在条件下，求最小值，需使用“1”的代换化齐次；第二次，在条件下，求最小值，为达到消的目的，需拆凑放缩（解答所给方法）或直接使用基本不等式；第三次，直接运用互倒型，使用基本不等式.三次使用基本不等式取等条件相互独立，从而最小值能够取得.

【解析】由题x+4y=1(x＞0，y＞0)，

==+1+≥4+1=5，当且仅当x=，y=时，“=”成立．

因为0＜t＜s，则=≥，当且仅当s=2t时，“=”成立．

于是+≥5s2+≥4，

当且仅当x=，y=，s=，t=时，“=”成立．

所以+的最小值为4．

例4 已知a＞0，b＞0，c＞2，且a＋b＝2，那么＋－＋的最小值为________．

【答案】＋

【分析】a、b间有制约条件“a＋b＝2”，“c”为独立变量，故将所求变形为＋－＋＝c＋，先求出＋的最小值即可.

【解析】因为a＞0，b＞0，所以＋－＝＋－＝＋－＝＋≥，当且仅当b＝a时等号成立．

又因为c＞2，由不等式的性质可得＋－＋＝c＋≥c＋.

又因为c＋＝(c－2)＋＋≥＋，当且仅当c＝2＋时等号成立，

所以＋－＋的最小值为＋.

点评：

本题中有三个变量,其中两个变量间有约束条件.先求出其最值，然后使用不等式的性质放缩，再使用一次基本不等式.

【巩固训练】

1.已知x＞0，y＞0，则的最小值为       ．

2.已知，则的最小值为       ．

3.已知，，，且，则的最小值为         ．

4.设正实数，满足，则实数的最小值为　　．

5.已知正数满足，则的最小值为           ．

6. 若，则的最小值为      ．

7.已知正数a,b满足，则的最小值是         ．

【答案与提示】

1.【答案】

【解析】所求变形为

∵y＞0    ∴，当且仅当时，等号成立，

∵x＞0，

∴，当且仅当时，等号成立，

∴的最小值为，当且仅当，成立．

2.【答案】

【解析】∵，当且仅当时，等号成立，

∴，当且仅当时，等号成立，

∴的最小值为，当且仅当，成立．

3. 【答案】

【解析】先减元＝＝

令，，

，，

在（0,1）上递减，在（1，＋∞）上递增，

所以，＝f（1）＝－2

当y＝时，有最小值：

所以的最小值为－2＋＝.

4.【答案】．

【解析】由正实数，满足，化为，

为求的最小值，将含“”项用“”的函数表示得：

∵（当且仅当，“=”成立）

∴，解得．

∴实数的最小值为．

5.【答案】

【解析】将已知条件视为关于的一元二次方程，利用解方程分离元来实施减元.

由解得

∴，当且仅当时，取等.

6. 【答案】10

【提示】，，再利用导数知识解决.

7.【答案】

【解析】由平方均值不等式得，当且仅当时，“=”成立

由变形得

所以，当且仅当，即

，，“=”成立

将 ，代入得.

所以的最小值是．