初中数学第十三章 轴对称13.3 等腰三角形13.3.1 等腰三角形教案设计

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高频核心考点
1 等腰三角形的性质
1.等腰三角形的性质
等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线（底边上的中线、底边上的高）所在的直线是它的对称轴。等腰三角形的对称轴是顶角平分线所在的直线，而不是顶角的平分线。
2.等腰直角三角形的性质
等腰直角三角形的两个底角都是45°
例题2-1.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则底角的度数为（ ）
A.60° B.120° C.60°或120° D.60°或30°
2 等腰三角形的判定
1.等腰三角形的判定方法
2.等腰三角形的构造方法
（1）“角平分线+垂线”构造等腰三角形
（2）“角平分线+中线”构造等腰三角形
（3）“中点+垂直”（垂直平分线）构造等腰三角形
（4）“角平分线+平行线”构造等腰三角形
边的性质：三边相等
3 等边三角形的性质和判定
角的性质：三个角相等，并且每个角都等于60°
性质
三线合一：任意一边上的中线、高线和顶角平分线都互相重合
等边三角形
对称性：是轴对称图形，且有三条对称轴
边：三边都相等的三角形
判定
角：三角都相等的三角形
边角综合：有一个角是60°的等腰三角形
例题2-2.如图,△DAC、△EBC均是等边三角形,点A、C、B在同一条直线上,且AE、BD分别与CD、CE交于点M、N.求证:
(1)AE=DB;
(2)△CMN为等边三角形.
4 含30°的直角三角形的性质
此性质常与直角三角形两锐角互余一起运用，是求线段长或证明线段倍分关系的重要依据。
5 利用对称性解决最短路径问题
检测2-1 已知等腰三角形三边中有两边的长分别为4、9，则这个等腰三角形的周长为( )
A.13 B.17 C.22 D.17或22
检测1-2 如图，一个等边三角形纸片，剪去一个角后得到一个四边形，则图中∠α+∠β= ______ ．
检测1-3 如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝15°，AB的垂直平分线交BC于D，交AB于E，若DB＝10cm，则AC＝的长是多少？
出门考
日期：_______ 科目：数学
1.已知等腰三角形三边中有两边的长分别为3、7，则这个等腰三角形的周长为( )
A.10 B.13 C.17 D.13或17
2.若等腰三角形底角为48º，则它的顶角是（ ）
A.66º B.84º C.48º D.68º
3.下列说法中，你认为正确的是（ ）
A.四边形具有稳定性
B.等边三角形是中心对称图形
C.等腰梯形的对角线一定互相垂直
D.任意多边形的外角和是360º
4.如图所示，在△ABC中，AC=6，AB=BC=5，则BC边上的高AD=______．
5.如图，在△ADC中，AD=BD=BC，若∠C=25º，则∠ADB=______ 度.
课后作业
1.如图，∆ABC中，BD平分∠ABC，BC的垂直平分线交BC于点E，交BD于点F，连接CF.若∠A=60º，∠ABD=24º，则∠ACF的度数为（ ）

A.48º B.36º C.30º D.24º
2.如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC，∠A=20º，在边AB上取一点D，使AD=BC，求∠BDC的度数。
3.在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（2，0），（4，0），点C的坐标为（m，m）（m为非负数），则CA+CB的最小值是 ．
性质内容
图形表示
几何推理
注意事项
性质1：等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）
∵AB=AC，
∴∠B=∠C
等边对等角是证明角相等的一个重要的方法，但必须注意的是相等的边一定是同一个三角形的两条边
性质2：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合（简称“三线合一”）
∵AB=AC，AD是高线
∴BD=CD，∠BAD=∠CAD
∵AB=AC，AD是中线∴AD⊥BC，∠BAD=∠CAD
∵AB=AC，AD是顶角平分线，
∴BD=CD，AD⊥BC
三线合一是证明角相等、线段相等或垂直的一个重要的方法，三线合一的前提条件是该三角形是等腰三角形
等腰三角形的判定方法
图形表示
几何推理
注意事项
定义：有两条边相等的三角形是等腰三角形
∵AB=AC，
∴△ABC为等腰三角形
这是根据等腰三角形的定义进行判断的，任何一个图形的定义都是它的一种判定方法
定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称“等角对等边”）
∵∠B=∠C，
∴AB=AC
“等角对等边”在同一个三角形内证两条边相等应用比较广泛，往往通过计算三角形各角的度数，也可得到角相等，在运用时要找准“边”与“角”
具体内容
图示
在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半
A
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，则有BC=AB
C
B
问题类型
解决方法
图示
饮马问题
如图，作出点A关于l的对称点A′，连接A′B，交l于E，利用轴对称的性质，可以得到AE=A′E。这样，就可以利用“两点之间，线段最短”得出AE+BE最小
造桥选址问题
如图，，为平行的河岸，将AM沿与河岸垂直的方向平移，点M移动到点N，点A移动到A′，连接AA′，则AA′=MN，AM+BN=A′N+BN，最短