人教版九年级数学（上）第一次月考数学试卷（含解析）【3】

这是一份人教版九年级数学（上）第一次月考数学试卷（含解析）【3】，共24页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）下列函数中，y一定是x的二次函数的是（ ）
A．y＝﹣x2+1B．y＝ax2+bx+cC．y＝2x+3D．x2y＝1
2．（3分）对于函数y＝（x﹣2）2+5，下列结论错误的是（ ）
A．图象顶点是（2，5）B．图象开口向上
C．图象关于直线x＝2对称D．函数最大值为5
3．（3分）已知关于x的一元二次方程x2+bx﹣1＝0，则下列关于该方程根的判断，正确的是（ ）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．没有实数根
D．实数根的个数与实数b的取值有关
4．（3分）用配方法解方程x2+4x+1＝0时，原方程应变形为（ ）
A．（x+2）2＝3B．（x﹣2）2＝3C．（x+2）2＝5D．（x﹣2）2＝5
5．（3分）在平面直角坐标系中，将抛物线y＝x2﹣2x﹣1先向上平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度，所得的抛物线的解析式是（ ）
A．y＝（x+1）2+1B．y＝（x﹣3）2+1C．y＝（x﹣3）2﹣5D．y＝（x+1）2+2
6．（3分）已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+k＝0有两个不相等的实数根，则k的值可以是（ ）
A．﹣2B．1C．2D．3
7．（3分）点P（m，n）在以y轴为对称轴的二次函数y＝x2+ax+4的图象上．则m﹣n的最大值等于（ ）
A．B．4C．﹣D．﹣
8．（3分）某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的主干长出若干数目的枝干，每个枝干又长出同样数目的小分支，主干、枝干和小分支的总数是43，则这种植物每个枝干长出的小分支个数是（ ）
A．4B．5C．6D．7
9．（3分）定义运算“※”为：a※b＝，如：1※（﹣2）＝﹣1×（﹣2）2＝﹣4．则函数y＝2※x的图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
10．（3分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠A＝45°，∠C＝90°，AD＝4cm，CD＝3cm．动点M，N同时从点A出发，点M以cm/s的速度沿AB向终点B运动，点N以2cm/s的速度沿折线AD﹣DC向终点C运动．设点N的运动时间为ts，△AMN的面积为Scm2，则下列图象能大致反映S与t之间函数关系的是（ ）
A．
B．
C．
D．
二、填空题：（每题3分，共18分）
11．（3分）若一元二次方程x2+2x﹣3＝0的两根为x1，x2，则x12+x22＝ ．
12．（3分）已知二次函数y＝ax2+4x+c，当x等于﹣2时，函数值是﹣1；当x＝1时，函数值是5．则此二次函数的表达式为 ．
13．（3分）一个三角形的两边长分别为2和5，第三边长是方程x2﹣8x+12＝0的根，则该三角形的周长为 ．
14．（3分）下表中y与x的数据满足我们目前已学过的某种函数关系，则该函数表达式为 ．
15．（3分）汽车刹车后行驶的距离s（单位：米）关于行驶时间t（单位：秒）的函数关系式是s＝15t﹣6t2．则汽车从刹车到停止所用时间为 秒．
16．（3分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝a（x+1）2+b与y＝a（x﹣2）2+b+1交于点A．过点A作y轴的垂线，分别交两条抛物线于点B、C（点B在点A左侧，点C在点A右侧），则线段BC的长为 ．
三、解答题
17．（16分）解方程：
（1）x2﹣8x﹣4＝0；
（2）（x+）（x﹣）＝；
（3）2（x﹣1）2＝3x（1﹣x）；
（4）x2+9x﹣36＝0．
18．（6分）已知一元二次方程2x2﹣mx﹣m＝0的一个根是x＝﹣，求m的值和方程的另一个根．
19．（8分）已知a、b、c分别是△ABC中∠A、∠B、∠C所对的边，且关于x的方程（c﹣b）x2+2（b﹣a）x+（a﹣b）＝0有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状．
20．（10分）关于x的方程x2+（2k+1）x+k2+2＝0有两个实数根x1，x2．
（1）求实数k的取值范围；
（2）若x1，x2满足|x1|+|x2|＝x1x2﹣1，求k的值．
21．（10分）如图，在边长为12cm的等边三角形ABC中，点P从点A开始沿AB边向点B以每秒钟1cm的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以每秒钟2cm的速度移动．若P、Q分别从A、B同时出发，其中任意一点到达目的地后，两点同时停止运动，求：
（1）经过几秒后，△BPQ是直角三角形？
（2）经过几秒△BPQ的面积等于10cm2？
22．（10分）“武汉加油!中国加油!”疫情牵动万人心，每个人都在为抗击疫情而努力．某厂改造了10条口罩生产线，每条生产线每天可生产口罩500个．如果每增加一条生产线，每条生产线就会比原来少生产20个口罩．设增加x条生产线后，每条生产线每天可生产口罩y个．
（1）直接写出y与x之间的函数关系式；
（2）若每天共生产口罩6000个，在投入人力物力尽可能少的情况下，应该增加几条生产线？
（3）设该厂每天可以生产的口罩w个，请求出w与x的函数关系式，并求出增加多少条生产线时，每天生产的口罩数量最多，最多为多少个？
23．（12分）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2﹣2x﹣3与x轴交于A、B两点（A点在B点的左侧），直线y＝x+m与抛物线交于A、C两点．
（1）求点C的坐标；
（2）点P为直线AC下方抛物线上一点，过点P作y轴平行线交AC于E点，当EP最长时求此时点P的坐标；
（3）抛物线顶点为M，在平面内是否存在点N，使以A、B、M、N为顶点的四边形为平行四边形？若存在请求出N点坐标；若不存在，请说明理由．
九年级（上）第一次月考数学试卷【3】
参考答案与试题解析
一、单选题：（每题3分，共30分）
1．（3分）下列函数中，y一定是x的二次函数的是（ ）
A．y＝﹣x2+1B．y＝ax2+bx+cC．y＝2x+3D．x2y＝1
【分析】根据二次函数的定义判断即可．
【解答】解：A选项，y＝﹣x2+1是二次函数，故该选项符合题意；
B选项，没有说a≠0，不一定是二次函数，故该选项不符合题意；
C选项，y＝2x+3是一次函数，故该选项不符合题意；
D选项，y＝＝x﹣2，不是二次函数，故该选项不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查了二次函数的定义，一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．
2．（3分）对于函数y＝（x﹣2）2+5，下列结论错误的是（ ）
A．图象顶点是（2，5）B．图象开口向上
C．图象关于直线x＝2对称D．函数最大值为5
【分析】根据函数解析式和二次函数的性质可以判断各个选项中的说法是否正确，本题得以解决．
【解答】解：∵函数y＝（x﹣2）2+5＝x2+4x﹣5，
∴该函数图象的顶点坐标是（2，5），故选项A正确；
a＝1＞0，该函数图象开口向上，故选项B正确；
该函数图象关于直线x＝2对称，故选项C正确；
当x＝2时，该函数取得最小值y＝5，故选项D错误；
故选：D．
【点评】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
3．（3分）已知关于x的一元二次方程x2+bx﹣1＝0，则下列关于该方程根的判断，正确的是（ ）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．没有实数根
D．实数根的个数与实数b的取值有关
【分析】先计算出判别式的值，再根据非负数的性质判断Δ＞0，然后利用判别式的意义对各选项进行判断．
【解答】解：∵Δ＝b2﹣4×（﹣1）＝b2+4＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：A．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．
4．（3分）用配方法解方程x2+4x+1＝0时，原方程应变形为（ ）
A．（x+2）2＝3B．（x﹣2）2＝3C．（x+2）2＝5D．（x﹣2）2＝5
【分析】先把常数项移到方程右侧，再把方程两边加上4，然后把方程作边利用完全公式表示即可．
【解答】解：x2+4x＝﹣1，
x2+4x+4＝3，
（x+2）2＝3，
故选：A．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣配方法：将一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．
5．（3分）在平面直角坐标系中，将抛物线y＝x2﹣2x﹣1先向上平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度，所得的抛物线的解析式是（ ）
A．y＝（x+1）2+1B．y＝（x﹣3）2+1C．y＝（x﹣3）2﹣5D．y＝（x+1）2+2
【分析】根据题意易得新抛物线的顶点，根据顶点式及平移前后二次项的系数不变可得新抛物线的解析式．
【解答】解：抛物线y＝x2﹣2x﹣1可化简为y＝（x﹣1）2﹣2，先向上平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度，
所得的抛物线的解析式y＝（x﹣1+2）2﹣2+3＝（x+1）2+1；
故选：A．
【点评】本题主要考查了二次函数与几何变换问题，关键是得出抛物线的顶点坐标的求法及抛物线平移不改变二次项的系数的值．．
6．（3分）已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+k＝0有两个不相等的实数根，则k的值可以是（ ）
A．﹣2B．1C．2D．3
【分析】根据判别式的意义得到Δ＝（﹣2）2﹣4k＞0，再解不等式求出k的范围，然后利用k的范围对各选项进行判断．
【解答】解：根据题意得Δ＝（﹣2）2﹣4k＞0，
解得k＜1．
故选：A．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．
7．（3分）点P（m，n）在以y轴为对称轴的二次函数y＝x2+ax+4的图象上．则m﹣n的最大值等于（ ）
A．B．4C．﹣D．﹣
【分析】根据题意，可以得到a的值，m和n的关系，然后将m、n作差，利用二次函数的性质，即可得到m﹣n的最大值，本题得以解决．
【解答】解：∵点P（m，n）在以y轴为对称轴的二次函数y＝x2+ax+4的图象上，
∴a＝0，
∴n＝m2+4，
∴m﹣n＝m﹣（m2+4）＝﹣m2+m﹣4＝﹣（m﹣）2﹣，
∴当m＝时，m﹣n取得最大值，此时m﹣n＝﹣，
故选：C．
【点评】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
8．（3分）某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的主干长出若干数目的枝干，每个枝干又长出同样数目的小分支，主干、枝干和小分支的总数是43，则这种植物每个枝干长出的小分支个数是（ ）
A．4B．5C．6D．7
【分析】设这种植物每个枝干长出x个小分支，根据主干、枝干和小分支的总数是43，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【解答】解：设这种植物每个枝干长出x个小分支，
依题意，得：1+x+x2＝43，
解得：x1＝﹣7（舍去），x2＝6．
故选：C．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
9．（3分）定义运算“※”为：a※b＝，如：1※（﹣2）＝﹣1×（﹣2）2＝﹣4．则函数y＝2※x的图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据定义运算“※”为：a※b＝，可得y＝2※x的函数解析式，根据函数解析式，可得函数图象．
【解答】解：y＝2※x＝，
x＞0时，图象是y＝2x2对称轴右侧的部分；x≤0时，图象是y＝﹣2x2对称轴左侧的部分，
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数的图象，利用定义运算“※”为：a※b＝得出分段函数是解题关键．
10．（3分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠A＝45°，∠C＝90°，AD＝4cm，CD＝3cm．动点M，N同时从点A出发，点M以cm/s的速度沿AB向终点B运动，点N以2cm/s的速度沿折线AD﹣DC向终点C运动．设点N的运动时间为ts，△AMN的面积为Scm2，则下列图象能大致反映S与t之间函数关系的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】分三种情形：如图1中，当0＜t≤2时，如图2中，当2＜t≤3时，如图3中，当3＜t≤3.5时，分别求解即可．
【解答】解：如图1中，当0＜t≤2时，过点M作MH⊥AN于H．
S＝•AN•MH＝×2t×t•cs45°＝t2，
如图2中，当2＜t≤3时，连接DM，S＝S△MND+S△AMD﹣S△ADN＝×（2t﹣4）×（4﹣t）+×4×t﹣×4×（2t﹣4）＝﹣t2+4t，
如图3中，当3＜t≤3.5时，连接BD，S＝S△MND+S△AMD﹣S△ADN＝×（2t﹣4）×1+×4×3﹣×4×（2t﹣4）＝﹣3t+12，
由此可知函数图象是选项B，
故选：B．
【点评】本题考查动点问题的函数图象，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
二、填空题：（每题3分，共18分）
11．（3分）若一元二次方程x2+2x﹣3＝0的两根为x1，x2，则x12+x22＝ 10 ．
【分析】根据根与系数的关系得到x1+x2＝﹣2，x1•x2＝﹣3，再变形x12+x22得到（x1+x2）2﹣2x1•x2，然后利用代入计算即可．
【解答】解：∵一元二次方程x2+2x﹣3＝0的两根是x1、x2，
∴x1+x2＝﹣2，x1•x2＝﹣3，
∴x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1•x2＝（﹣2）2﹣2×（﹣3）＝10．
故答案为：10．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与系数的关系：若方程的两根为x1，x2，则x1+x2＝﹣，x1•x2＝．
12．（3分）已知二次函数y＝ax2+4x+c，当x等于﹣2时，函数值是﹣1；当x＝1时，函数值是5．则此二次函数的表达式为 y＝2x2+4x﹣1 ．
【分析】把已知的两组对应值分别代入y＝ax2+4x+c中得到关于a、c的方程组，然后解方程组即可．
【解答】解：根据题意得，解得，
所以抛物线解析式为y＝2x2+4x﹣1．
故答案为y＝2x2+4x﹣1．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．也考查了二次函数的性质．
13．（3分）一个三角形的两边长分别为2和5，第三边长是方程x2﹣8x+12＝0的根，则该三角形的周长为 13 ．
【分析】先利用因式分解法解方程x2﹣8x+12＝0，然后根据三角形的三边关系得出第三边的长，则该三角形的周长可求．
【解答】解：∵x2﹣8x+12＝0，
∴（x﹣2）（x﹣6）＝0，
∴x1＝2，x2＝6，
∵三角形的两边长分别为2和5，第三边长是方程x2﹣8x+12＝0的根，2+2＜5，2+5＞6，
∴三角形的第三边长是6，
∴该三角形的周长为：2+5+6＝13．
故答案为：13．
【点评】本题考查了解一元二次方程的因式分解法及三角形的三边关系，熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．
14．（3分）下表中y与x的数据满足我们目前已学过的某种函数关系，则该函数表达式为 y＝﹣x2+2x+3 ．
【分析】函数的值先增大后减小，且当x＝﹣1和3时，y都等于0，所以函数为二次函数，对称轴为直线x＝1，所以顶点坐标为（1，4），设出顶点式，用待定系数法即可求解．
【解答】解：根据表格可以判断该函数为二次函数，且当x＝﹣1和3时，y都等于0，
∴二次函数的对称轴为直线x＝1，
∴顶点坐标为：（1，4），
∴设函数的解析式为：y＝a（x﹣1）2+4，
把点（0，3）代入解析式得：a+4＝3，
∴a＝﹣1，
∴y＝﹣（x﹣1）2+4
＝﹣x2+2x﹣1+4
＝﹣x2+2x+3，
故答案为：y＝﹣x2+2x+3．
【点评】本题考查了函数的表示方法，判断出函数是二次函数和对称轴是解题的关键．
15．（3分）汽车刹车后行驶的距离s（单位：米）关于行驶时间t（单位：秒）的函数关系式是s＝15t﹣6t2．则汽车从刹车到停止所用时间为 1.25 秒．
【分析】利用配方法求二次函数最值的方法解答即可．
【解答】解：∵s＝15t﹣6t2＝﹣6（t﹣1.25）2+9.375，
∴a＝﹣6＜0，s有最大值，
∴汽车从刹车到停下来所用时间是1.25秒．
故答案为：1.25．
【点评】考查了二次函数最值的应用，此题主要利用配方法求最值的问题，根据已知得出顶点式是解题关键．
16．（3分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝a（x+1）2+b与y＝a（x﹣2）2+b+1交于点A．过点A作y轴的垂线，分别交两条抛物线于点B、C（点B在点A左侧，点C在点A右侧），则线段BC的长为 6 ．
【分析】设抛物线y＝a（x+1）2+b的对称轴与线段BC交于点E，抛物线y＝a（x﹣2）2+b+1的对称轴与线段BC交于点F，由抛物线的对称性结合BC═2（AE+AF），即可求出结论．
【解答】解：设抛物线y＝a（x+1）2+b的对称轴与线段BC交于点E，抛物线y＝a（x﹣2）2+b+1的对称轴与线段BC交于点F，如图所示．
由抛物线的对称性，可知：BE＝AE，CF＝AF，
∴BC＝BE+AE+AF+CF＝2（AE+AF）＝2×[2﹣（﹣1）]＝6．
故答案为：6．
【点评】本题考查了二次函数的性质，利用二次函数图象的对称性解决问题是解题的关键．
三、解答题
17．（16分）解方程：
（1）x2﹣8x﹣4＝0；
（2）（x+）（x﹣）＝；
（3）2（x﹣1）2＝3x（1﹣x）；
（4）x2+9x﹣36＝0．
【分析】（1）利用公式法进行解答，
（2）先把方程化为一般式，然后利用公式法解方程；
（3）观察方程可提取公因式x﹣1，进行因式分解进行解答，
（4）方程利用因式分解法求出解即可．
【解答】解：（1）∵x2﹣8x﹣4＝0，
a＝1，b＝﹣8，c＝﹣4，
△＝64+4×4＝80，
x＝＝4±2，
∴x1＝4+2，x2＝4﹣2；
（2）（x+）（x﹣）＝2x，
x2﹣2＝2x，
x2﹣2x﹣2＝0，
a＝1，b＝﹣2，c＝﹣2，
△＝8+4×2＝16，
x＝＝±2，
∴x1＝+2，x2＝﹣2；
（3）2（x﹣1）2＝3x（1﹣x），
2（x﹣1）2+3x（x﹣1）＝0，
（x﹣1）（5x﹣2）＝0，
解得：x1＝1，x2＝；
（4）x2+9x﹣36＝0，
（x+12）（x﹣3）＝0，
x+12＝0或x﹣3＝0，
解得：x1＝﹣12，x2＝3．
【点评】本题考查了解一元二次方程，解此题的关键是能选择适当的方法解一元二次方程，难度适中．
18．（6分）已知一元二次方程2x2﹣mx﹣m＝0的一个根是x＝﹣，求m的值和方程的另一个根．
【分析】先根据一元二次方程2x2﹣mx﹣m＝0的一个根是x＝﹣，求出m的值，再根据根与系数的关系：x1x2＝，x1+x2＝﹣，列出方程求解即可．
【解答】解：∵一元二次方程2x2﹣mx﹣m＝0的一个根是x＝﹣，
∴2×（﹣）2﹣（﹣）m﹣m＝0，
解得：m＝1，
设方程的另一个根为x2，
则（﹣）x2＝﹣，
解得：x2＝1，
m的值是1，这个方程的另一个根是1．
【点评】本题主要考查的是一元二次方程的根与系数的关系，根据根与系数的关系：x1x2＝，x1+x2＝﹣，列出方程是本题的关键．
19．（8分）已知a、b、c分别是△ABC中∠A、∠B、∠C所对的边，且关于x的方程（c﹣b）x2+2（b﹣a）x+（a﹣b）＝0有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状．
【分析】根据题意可知Δ＝b2﹣4ac＝0，即可推出4（b﹣a）2﹣4（c﹣b）（a﹣b）＝0，通过整理可推出（b﹣a）（c﹣a）＝0，且c≠b，即可推出a、c，此三角形为等腰三角形．
【解答】解：∵x的方程（c﹣b）x2+2（b﹣a）x+（a﹣b）＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝b2﹣4ac＝0，且c﹣b≠0，即c≠b．
∴4（b﹣a）2﹣4（c﹣b）（a﹣b）＝0，
则4（b﹣a）（b﹣a+c﹣b）＝0，
∴（b﹣a）（c﹣a）＝0，
∴b﹣a＝0或c﹣a＝0，
∴b＝a，或c＝a．
∴此三角形为等腰三角形．
【点评】本题主要考查根的判别式，关键在于根据题意推出4（b﹣a）2﹣4（c﹣b）（a﹣b）＝0，然后进行正确的整理．
20．（10分）关于x的方程x2+（2k+1）x+k2+2＝0有两个实数根x1，x2．
（1）求实数k的取值范围；
（2）若x1，x2满足|x1|+|x2|＝x1x2﹣1，求k的值．
【分析】（1）利用判别式的意义得到Δ＝（2k+1）2−4（k2+2）≥0，然后解不等式得到k的范围；
（2）据题根与系数的关系得到x1+x2＝−（2k+1）＜0，x1x2＝k2+2＞0，由此推知x1＜0，x2＜0，结合已知条件得到：−（x1+x2）＝x1x2−1，代入解方程即可．
【解答】（1）根据题意得Δ＝（2k+1）2−4（k2+2）≥0，
解得k≥；
（2）根据题意得x1+x2＝−（2k+1）＜0，x1x2＝k2+2＞0，
∴x1＜0，x2＜0，
∵|x1|+|x2|＝|x1x2|−1，
∴−（x1+x2）＝x1x2−1，
∴2k+1＝k2+2−1，
整理得k2−2k＝0，解得k1＝0，k2＝2，
∵k≥，
∴k＝2．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1x2＝．也考查了判别式．
21．（10分）如图，在边长为12cm的等边三角形ABC中，点P从点A开始沿AB边向点B以每秒钟1cm的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以每秒钟2cm的速度移动．若P、Q分别从A、B同时出发，其中任意一点到达目的地后，两点同时停止运动，求：
（1）经过几秒后，△BPQ是直角三角形？
（2）经过几秒△BPQ的面积等于10cm2？
【分析】（1）先分别表示出BP，BQ的值，当∠BQP和∠BPQ分别为直角时，由等边三角形的性质就可以求出结论；
（2）作QD⊥AB于D，由勾股定理可以表示出DQ，然后根据面积公式建立方程求出其解即可．
【解答】解：（1）∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC＝12cm，∠A＝∠B＝∠C＝60°，
当∠PQB＝90°时，
∴∠BPQ＝30°，
∴BP＝2BQ．
∵BP＝12﹣x，BQ＝2x，
∴12﹣x＝2×2x，
解得x＝，
当∠QPB＝90°时，
∴∠PQB＝30°，
∴BQ＝2PB，
∴2x＝2（12﹣x），
解得x＝6．
答：6秒或秒时，△BPQ是直角三角形；
（2）作QD⊥AB于D，
∴∠QDB＝90°，
∴∠DQB＝30°，
∴DB＝BQ＝x，
在Rt△DBQ中，由勾股定理，得DQ＝x，
∴＝10，
解得x1＝10，x2＝2，
∵x＝10时，2x＞12，故舍去，
∴x＝2．
答：经过2秒△BPQ的面积等于10cm2．
【点评】本题考查了等边三角形的性质的运用，两角是30°、60°的直角三角形的性质的运用，勾股定理的运用，三角形的面积公式的运用，解答时根据三角形的面积公式建立一元二次方程求解是关键．
22．（10分）“武汉加油!中国加油!”疫情牵动万人心，每个人都在为抗击疫情而努力．某厂改造了10条口罩生产线，每条生产线每天可生产口罩500个．如果每增加一条生产线，每条生产线就会比原来少生产20个口罩．设增加x条生产线后，每条生产线每天可生产口罩y个．
（1）直接写出y与x之间的函数关系式；
（2）若每天共生产口罩6000个，在投入人力物力尽可能少的情况下，应该增加几条生产线？
（3）设该厂每天可以生产的口罩w个，请求出w与x的函数关系式，并求出增加多少条生产线时，每天生产的口罩数量最多，最多为多少个？
【分析】（1）由题意可知该函数关系为一次函数，直接写出其解析式及自变量的取值范围即可；
（2）生产线的条数乘以每条生产线生产的口罩数量＝6000，据此列出一元二次方程，求解并根据题意作出取舍即可；
（3）先根据题意写出关于x的二次函数，再将其配方，写成顶点式，然后根据二次函数的性质及x的取值范围可得答案．
【解答】解：（1）由题意可知该函数关系为一次函数，其解析式为：y＝500﹣20x；
∴y与x之间的函数关系式为y＝500﹣20x（0≤x≤25，且x为整数）；
（2）由题意得：
（10+x）（500﹣20x）＝6000，
整理得：x2﹣15x+50＝0，
解得：x1＝5，x2＝10，
∵尽可能投入少，
∴x2＝10舍去．
答：应该增加5条生产线．
（3）w＝（10+x）（500﹣20x）
＝﹣20x2+300x+5000
＝﹣20（x﹣7.5）2+6125，
∵a＝﹣20＜0，开口向下，
∴当x＝7.5时，w最大，
又∵x为整数，
∴当x＝7或8时，w最大，最大值为6120．
答：当增加7或8条生产线时，每天生产的口罩数量最多，为6120个．
【点评】本题考查了一次函数、二次函数和一元二次方程在实际问题中的应用，理清题中的数量关系并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
23．（12分）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2﹣2x﹣3与x轴交于A、B两点（A点在B点的左侧），直线y＝x+m与抛物线交于A、C两点．
（1）求点C的坐标；
（2）点P为直线AC下方抛物线上一点，过点P作y轴平行线交AC于E点，当EP最长时求此时点P的坐标；
（3）抛物线顶点为M，在平面内是否存在点N，使以A、B、M、N为顶点的四边形为平行四边形？若存在请求出N点坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）在y＝x2﹣2x﹣3中，令y＝0，可求得A（﹣1，0），利用待定系数法求得直线AC的解析式为y＝x+1，联立方程组即可求得答案；
（2）设点P（n，n2﹣2n﹣3），则点E（n，n+1），可得PE＝﹣（n﹣）2+，利用二次函数性质即可求得答案；
（3）设N（m，n），分三种情况：①BM为对角线时，AN的中点与BM的中点重合，利用中点公式可得出答案，②AM为对角线时，BN的中点与AM的中点重合，利用中点公式可得出答案，③AB为对角线时，MN的中点与AB的中点重合，利用中点公式可得出答案．
【解答】解：（1）在y＝x2﹣2x﹣3中，令y＝0，得x2﹣2x﹣3＝0，
解得：x1＝﹣1，x2＝3，
∴A（﹣1，0），B（3，0），
∵直线y＝x+m经过点A（﹣1，0），
∴0＝﹣1+m，
解得：m＝1，
∴直线AC的解析式为y＝x+1，
联立方程组，得，
解得：，，
∴C（4，5）；
（2）如图1，设点P（n，n2﹣2n﹣3），则点E（n，n+1），
∴PE＝n+1﹣（n2﹣2n﹣3）＝﹣n2+3n+4＝﹣（n﹣）2+，
∵﹣1＜0，
∴当n＝时，PE取得最大值，此时，P（，）；
（3）∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴抛物线顶点为M（1，﹣4），
如图2，点A、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形时，
设N（m，n），分三种情况：
①BM为对角线时，AN的中点与BM的中点重合，
∴＝，＝，
解得：m＝5，n＝﹣4，
∴N1（5，﹣4），
②AM为对角线时，BN的中点与AM的中点重合，
∴＝，＝，
解得：m＝﹣3，n＝﹣4，
∴N2（﹣3，﹣4），
③AB为对角线时，MN的中点与AB的中点重合，
∴＝，＝，
解得：m＝1，n＝4，
∴N3（1，4），
综上所述，点N的坐标为：N1（5，﹣4），N2（﹣3，﹣4），N3（1，4）．
【点评】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，二次函数图象和性质，平行四边形性质，中点公式的应用，解题关键是运用分类讨论思想和数形结合思想解决问题．
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日期：2021/9/26 15:42:29；用户：教师20；邮箱：zybang20@xyh.cm；学号：38915555x
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