初中数学北师大版九年级下册第二章 二次函数2 二次函数的图像与性质评课ppt课件

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1.会画二次函数y=a(x-h)2 和y=a(x-h)2+k (a ≠0)的图象.（难点）2.掌握二次函数y=a(x-h)2和y=a(x-h)2+k (a ≠0)的性质.(重点）3.比较函数y=ax2 、 y=a(x-h)2 、y=a(x-h)2+k (a ≠0)之间的联系.
当x0时，y随x增大而增大.
当x0时，y随x增大而减小.
x=0时，y最小值=c
x=0时，y最大值=c
问题1 说说二次函数y=ax2+c(a≠0)的图象的特征.
问题2 二次函数 y=ax2+c（a≠0）与 y=ax2（a ≠ 0） 的图象有何关系？
二次函数y=ax2+c（a ≠ 0）的图象可以由 y=ax2（a ≠ 0）的图象平移得到： 当c > 0 时，向上平移c个单位长度得到. 当c < 0 时，向下平移-c个单位长度得到.
例1 画出二次函数 的图象，并考虑它们的开口方向、对称轴和顶点．
类似地，可以证明二次函数 y=a(x-h)2的下列性质
当x=h时，y最小值=0
当x=h时，y最大值=0
当x＜h时，y随x的增大而减小；x＞h时，y随x的增大而增大.
当x＞h时，y随x的增大而减小；x＜h时，y随x的增大而增大.
想一想 抛物线 ， 的图象与抛物线 的图象有什么关系？
二次函数y=a（x-h)2的图象与y=ax2 的图象的关系
可以看作互相平移得到(h>0).
左右平移规律： 括号内左加右减；括号外不变.
当向左平移 ︱h︱ 时
当向右平移 ︱h︱ 时
例2 抛物线y＝ax2向右平移3个单位后经过点(－1，4)，求a的值和平移后的函数关系式．
解：二次函数y＝ax2的图象向右平移3个单位后的二次函数关系式可表示为y＝a(x－3)2，把x＝－1，y＝4代入，得4＝a(－1－3)2， ，∴平移后二次函数关系式为y＝ (x－3)2.
方法总结：根据抛物线左右平移的规律，向右平移3个单位后，a不变，括号内应“减去3”；若向左平移3个单位，括号内应“加上3”，即“左加右减”．
将二次函数y＝－2x2的图象平移后，可得到二次函数y＝－2(x＋1)2的图象，平移的方法是(　　)A．向上平移1个单位　　B．向下平移1个单位 C．向左平移1个单位　　D．向右平移1个单位
解析：抛物线y＝－2x2的顶点坐标是(0，0)，抛物线y＝－2(x＋1)2的顶点坐标是(－1，0)．则由二次函数y＝－2x2的图象向左平移1个单位即可得到二次函数y＝－2(x＋1)2的图象．故选C.
1.画出函数 的图象.指出它的开口方向、顶点、对称轴与增减性.
开口方向向下；对称轴是直线x=-1;顶点坐标是(-1,-1);x＜-1时，y随x的增大而增大；x＞-1时，y随x的增大而减小.
试一试 2.画出函数y= 2（x+1）2-2图象，并说出抛物线的开口方向、对称轴、顶点及增减性.
开口方向向上；对称轴是直线x=-1;顶点坐标是(-1,-2);x＜-1时，y随x的增大而减小；x＞-1时，y随x的增大而增大.
二次函数 y=a(x-h)2+k的性质
当x=h时，y最小值=k
当x=h时，y最大值=k
例1.已知二次函数y＝a(x－1)2－c的图象如图所示，则一次函数y＝ax＋c的大致图象可能是(　　)
解析：根据二次函数开口向上则a＞0，根据－c是二次函数顶点坐标的纵坐标，得出c＞0，故一次函数y＝ax＋c的大致图象经过第一、二、三象限．故选A.
例2. 已知二次函数y＝a(x－1)2－4的图象经过点(3，0)．(1)求a的值；(2)若A(m，y1)、B(m＋n，y2)(n＞0)是该函数图象上的两点，当y1＝y 2时，求m、n之间的数量关系．
解：(1)将(3，0)代入y＝a(x－1)2－4， 得0＝4a－4，解得a＝1；
(2)方法一： 根据题意，得y1＝(m－1)2－4，y2＝(m＋n－1)2－4， ∵y1＝y2，∴(m－1)2－4＝(m＋n－1)2－4，即(m－1)2＝(m＋n－1)2.∵n＞0，∴m－1＝－(m＋n－1)，化简，得2m＋n＝2；
方法二：∵函数y＝(x－1)2－4的图象的对称轴是经过点(1，－4)，且平行于y轴的直线，∴m＋n－1＝1－m，化简，得2m＋n＝2.
二次函数y=ax2 与y=a（x-h)2+k的关系
可以看作互相平移得到的(h>0，k>0).
y = ax2 + k
y = a(x - h )2
y = a( x - h )2 + k
简记为：上下平移，括号外上加下减；左右平移，括号内左加右减.二次项系数a不变.
1.请回答抛物线y = 4(x－3)2＋7由抛物线y=4x2怎样平移得到?
由抛物线向上平移7个单位再向右平移3个单位得到的.
1.把抛物线y=-x2沿着x轴方向平移3个单位长度，那么平移后抛物线的解析式是 .2.二次函数y=2(x- )2图象的对称轴是直线_______，顶点坐标是________.
y=-(x+3)2或y=-(x-3)2
3.指出下列函数图象的开口方向,对称轴和顶点坐标.
y=－3(x－1)2－2
y = 4(x－3)2＋7
y=－5(2－x)2－6
5.若（- ，y1）（- ，y2）（ ，y3）为二次函数y=(x-2)2图象上的三点，则y1 ，y2 ，y3的大小关系为_______________.
y1 ＞y2 ＞ y3
6.在同一坐标系中，画出函数y＝2x2与y＝2(x-2)2的图象，分别指出两个图象之间的相互关系．
解：图象如图.函数y=2(x-2)2的图象由函数y=2x2的图象向右平移2个单位得到.
7.抛物线y=-3x2+2的图象向右平移2个单位，再向上平移1个单位，得到抛物线的解析式为______________
8.抛物线y=2x2不动，把x轴、y轴分别向上、向左平移3个单位，则在新坐标系下，此抛物线的解析式为__________________．
y=2（x-3）2-3
9.已知y＝ (x－3)2－2的部分图象如图所示，抛物线与x轴交点的一个坐标是(1，0)，则另一个交点的坐标是________．
解析：由抛物线的对称性知，对称轴为x＝3，一个交点坐标是(1，0)，则另一个交点坐标是(5，0)．
10.对于抛物线y=- (x−2）2+6，下列结论：①抛物线的开口向下；②对称轴为直线x=2；③顶点坐标为（2，6）；④当x＞2时，y随x的增大而减小．其中正确的结论有（　　）A．1个B．2个C．3个D．4个
11.已知点A（x1，y1）、B（x2，y2）在二次函数y=-（x-1）2+1的图象上，若-1＜x1＜0，3＜x2＜4，则y1_____y2（填“＞”、“＜”或“=”）．
解析：抛物线y=-（x-1）2+1的对称轴为直线x=1，∵a＜0，∴抛物线开口向下，∵-1＜x1＜0，3＜x2＜4，∴y1＞y2．
12.抛物线 与x轴交于B,C两点，顶点为A，则△ABC的周长为（ ）A. B. C.12 D.
13.如图所示，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2向左平移1个单位，再向下平移4个单位，得到抛物线y＝(x－h)2＋k.所得抛物线与x轴交于A，B两点(点A在点B的左边)，与y轴交于点C，顶点为D.(1)求h，k的值；
解：(1)∵将抛物线y＝x2向左平移1个单位，再向下平移4个单位，得到抛物线y＝(x＋1)2－4，∴h＝－1，k＝－4；
(2)判断△ACD的形状，并说明理由．
(2)△ACD为直角三角形．理由如下：由(1)得y＝(x＋1)2－4.当y＝0时，(x＋1)2－4＝0，x＝－3或x＝1，∴A(－3，0)，B(1，0)．当x＝0时，y＝(x＋1)2－4＝(0＋1)2－4＝－3，∴C点坐标为(0，－3)．顶点坐标为D(－1，－4)．
作出抛物线的对称轴x＝－1交x轴于点E，过D作DF⊥y轴于点F，如图所示．在Rt△AED中，AD2＝22＋42＝20；在Rt△AOC中，AC2＝32＋32＝18；在Rt△CFD中，CD2＝12＋12＝2.∵AC2＋CD2＝AD2，∴△ACD是直角三角形．
平移规律：括号内：左加右减；括号外不变.
探索y=a(x-h)2的图象及性质
a>0,开口向上a0,开口向上；当a