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专题1.2 实数章末重难点题型（举一反三）（北师大版）（解析版）学案
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这是一份北师大版八年级上册本册综合学案设计，共26页。学案主要包含了北师大版，方法点拨，变式1-1，变式1-2，变式1-3，变式2-1，变式2-2，变式2-3等内容，欢迎下载使用。
【考点1 无理数的概念】
【方法点拨】无限不循环小数又叫做无理数。在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一实质，归纳起来有三类：
（1）开方开不尽的数，如等；
（2）有特定意义的数，如圆周率，或化简后含有π的数，如等；
（3）有特定结构的数，如0.1010010001…等；
【例1】（2019春•博兴县期中）在3.14、12、227、-5、327、2π、0.2020020002这六个数中，无理数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】根据无理数的定义求解即可．
【答案】解：3.14、227、327、0.2020020002是有理数，
12、-5、2π是无理数，无理数的个数是3，
故选：C．
【点睛】此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如π，6，0.8080080008…（每两个8之间依次多1个0）等形式．
【变式1-1】（2018春•新罗区校级期中）下列说法中 ①无限小数都是无理数 ②无理数都是无限小数 ③﹣2是4的平方根 ④带根号的数都是无理数．其中正确的说法有（ ）
A．3个B．2个C．1个D．0个
【分析】分别根据无理数、有理数的定义即可判定选择项．
【答案】解：①无限不循环小数都是无理数，故①错误；
②无理数都是无限不循环小数，故②正确；
③﹣2是4的平方根，故③正确；
④带根号的数不一定都是无理数，故④错误；
故选：B．
【点睛】此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如π，0.8080080008…（每两个8之间依次多1个0）等形式．
【变式1-2】（2018秋•东台市期中）下列实数中，12、39、-17、π2、﹣3.14、0.1、3-27、0、0.3232232223…（相邻两个3之间依次增加一个2），无理数的个数是（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【分析】根据无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数，找出无理数的个数．
【答案】解：12=23，0.1=1010，3-27=-3，
则无理数有：12、39、π2、0.1、0.3232232223…，共5个．
故选：D．
【点睛】本题考查了无理数，解答本题的关键是掌握无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数．
【变式1-3】（2019秋•安宁区校级期中）在下列各数中是无理数的有（ ）
-(-5)2、36、17、0、﹣π、311、3.1415、15、2.010101…（相邻两个1之间有1个0）．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
【答案】解：﹣π、311、15是无理数，
故选：C．
【点睛】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．
【考点2 无理数的估算】
【方法点拨】无理数的估算，关键掌握二次根式的性质，能对根式进行估算.
【例2】（2018春•巫山县期中）估计13+12的值在（ ）
A．1到2之间B．2到3之间C．3到4之间D．4到5之间
【分析】直接利用13的取值范围进而计算得出答案．
【答案】解：∵3＜13＜4，
∴4＜13+1＜5，
∴13+12的值在2到3之间．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了估算无理数的大小，正确得出13的取值范是解题关键．
【变式2-1】（2019春•北流市期中）设n为正整数，且n＜83＜n+1，则n的值为（ ）
A．6B．7C．8D．9
【分析】首先得出81＜83＜100，得出83的取值范围，即可得出n的值．
【答案】解：∵81＜83＜100，
∴9＜83＜10，
又∵n为正整数，
∴n＝9．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了无理数的估算，熟练掌握二次根式的性质是解答本题的关键．
【变式2-2】（2019春•嘉陵区期中）已知a，b分别是6-13的整数部分和小数部分，则2a﹣b的值是（ ）
A．13-2B．2-13C．13D．9-13
【分析】先估算3＜13＜4，然后分别求出a＝2，b＝6-13-2＝4-13，再求解即可；
【答案】解：∵3＜13＜4，
∴6-13的整数部分是2，即a＝2，
6-13的小数部分是6-13-2＝4-13，即b＝4-13，
∴2a﹣b＝4﹣4+13=13；
故选：C．
【点睛】本题考查无理数的估算；熟练掌握无理数的估算方法是解题的关键．
【变式2-3】（2019春•郯城县期中）若a是10-1的整数部分，b是5+5的小数部分，则a（5-b）的值为（ ）
A．6B．4C．9D．35
【分析】先估算10和5的大小，然后求出a、b的值，代入所求式子计算即可．
【答案】解：∵2＜10-1＜3，
∴a＝2，
又∵7＜5+5＜8，
∴5+5的整数部分为7
∴b＝5+5-7=5-2；
∴a（5-b）＝2×（5-5+2）＝4．
故选：B．
【点睛】本题主要考查估算无理数的大小，解题的关键是求出无理数整数部分的值，属于基础题．
【考点3 实数的大小比较】
【方法点拨】实数大小比较常见方法有：倒数法、作差法、作商法、放缩法、两边平方法等等.
【例3】（2019秋•河北期中）已知a=7-5，b=5-3，c＝3-7，则a、b、c三个数的大小关系是（ ）
A．b＞c＞aB．b＞a＞cC．a＞b＞cD．c＞a＞b
【分析】首先求出a，b，c的倒数，进而比较它们的大小，进而得出a、b、c三个数的大小关系．
【答案】解：∵a=7-5，b=5-3，c＝3-7，
∴1a=17-5=7+52，
1b=15-3=5+32，
1c=13-7=3+72，
∵7＞3，
∴1a＞1b，
∵3＞5，
∴1a＜1c，
∴1c＞1a＞1b，
∴b＞a＞c．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了实数比较大小，正确求出a，b，c的倒数大小是解题关键．
【变式3-1】（2019春•洪山区期中）比较实数：2、5、37的大小，正确的是（ ）
A．37＜2＜5B．2＜37＜5C．5＜37＜2D．2＜5＜37
【分析】应用放缩法，判断出2、5、37的大小关系即可．
【答案】解：∵2=4＜5，
∴2＜5，
∵37＜38=2，
∴37＜2，
∴37＜2＜5．
故选：A．
【点睛】此题主要考查了实数大小比较的方法，要熟练掌握，注意放缩法的应用．
【变式3-2】（2019春•淮北期中）比较3-1与32的大小，结果是（ ）
A．前者大B．后者大C．一样大D．无法确定
【分析】首先用3-1减去32，判断出3-1与32的差的正负，然后根据3-1与32的差的正负情况，判断出3-1与32的大小关系即可．
【答案】解：∵3-1-32=32-1＜42-1＝1﹣1＝0，
∴3-1-32＜0，
∴3-1＜32，
∴比较3-1与32的大小，结果是后者大．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了实数大小比较，要熟练掌握，解答此题的关键是判断出3-1与32的差的正负．
【变式3-3】（2019秋•乐山校级期中）已知a=2-1，b=6-2，c=22-6，那么a、b、c的大小关系是（ ）
A．a＜b＜cB．c＜b＜aC．.b＜a＜cD．.c＜a＜b
【分析】利用作差法比较a和b、b和c、a和c的大小，再比较a、b、c三者的大小．
【答案】解：∵a﹣c=2-1﹣（22-6）
=6-（1+2）
≈2.449﹣2.414＞0，
∴a＞c；
∵a﹣b=2-1﹣（6-2）=2+1-6
≈2.414﹣2.449＜0，
∴a＜b，
∴c＜a＜b．
故选：D．
【点睛】此题主要考查了实数的大小的比较，其中比较两个实数的大小，可以采用作差法、取近似值法、比较n次方的方法等．
【考点4 二次根式相关概念】
【方法点拨】（1）二次根式的定义：一般地，形如(a≥0)的式子叫做二次根式。
最简二次根式满足的条件：①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。
同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式。 要判断几个根式是不是同类二次根式，须先化简根号里面的数，把非最简二次根式化成最简二次根式，然后判断。
【例4】（2018春•禹州市期中）下列各式：10，2a，b2-1，x2+y2，-3，4，m2+1中，一定是二次根式的个数是（ ）
A．3个B．4个C．5个D．7个
【分析】直接利用二次根式的定义分析得出答案．
【答案】解：10，2a，b2-1，x2+y2，-3，4，m2+1中，一定是二次根式的是：
10，x2+y2，4，m2+1共4个．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了二次根式的定义，正确把握相关定义是解题关键．
【变式4-1】（2019春•莱芜期中）二次根式：①9-x2；②(a+b)(a-b)；③a2-2a+1；④1x；⑤0.75中最简二次根式是（ ）
A．①②B．③④⑤C．②③D．只有④
【分析】判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．
【答案】解：③a2-2a+1=(a-1)2=|a﹣1|，被开方数含有开得尽方的因式，不是最简二次根式；
④1x=xx⋅x=xx，被开方数含有分母，不是最简二次根式；
⑤0.75=34=32，被开方数含有小数（分数），不是最简二次根式；
因此只有①②符合最简二次根式的条件．
故选：A．
【点睛】根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：
（1）被开方数不含分母；
（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式．
被开方数是多项式时，还需将被开方数进行因式分解，然后再观察判断．
【变式4-2】（2019春•泰兴市期中）如果12与最简二次根式7-2a是同类二次根式，那么a的值是（ ）
A．﹣2B．﹣1C．1D．2
【分析】根据最简二次根式与同类二次根式的定义列方程组求解．
【答案】解：12=23．
由题意，得
7﹣2a＝3，解得a＝2，
故选：D．
【点睛】此题主要考查了同类二次根式的定义，即：二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式．
【变式4-3】（2019春•定州市期中）与a3b不是同类二次根式的是（ ）
A．ab2B．baC．1abD．ba3
【分析】根据同类二次根式的意义，将题中的根式化简，找到被开方数相同者即可．
【答案】解：a3b=|a|ab
A、ab2=2ab2与|a|ab被开方数不同，不是同类二次根式；
B、ba=ab|a|与|a|ab被开方数相同，是同类二次根式；
C、1ab=abab与|a|ab被开方数相同，是同类二次根式；
D、ba3=aba2与|a|ab被开方数相同，是同类二次根式．
故选：A．
【点睛】此题主要考查了同类二次根式的定义，即化成最简二次根式后，被开方数相同，这样的二次根式叫做同类二次根式．
【考点5 二次根式有意义条件】
【方法点拨】二次根式有意义条件需满足被开方数大于等于0.
【例5】（2018秋•东营区校级期中）二次根式2-xx+3在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ．
【分析】直接利用二次根式的定义结合分式的定义分析得出答案．
【答案】解：∵二次根式2-xx+3在实数范围内有意义，
∴2﹣x≥0，且x+3≠0，
解得：x≤2且x≠﹣3．
故答案为：x≤2且x≠﹣3．
【点睛】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握二次根式的定义是解题关键．
【变式5-1】（2019春•杭锦后旗期中）已知y=x-1+1-x+3，则x﹣y＝ ．
【分析】根据二次根式有意义的条件确定出x的值，进而得出y的值，代入即可求解．
【答案】解：∵y=x-1+1-x+3，
∴x-1≥01-x≥0
解得：x＝1
∴y＝3
∴x﹣y＝﹣2
故答案为：﹣2
【点睛】本题考查考查二次根式有意义的条件，解题的关键是熟练运用二次根式的性质，本题属于基础题型．
【变式5-2】（2019春•黄石期中）已知实数a满足|2006﹣a|+a-2007=a，则a﹣20062＝ ．
【分析】根据被开方数大于等于0可以求出a≥2007，然后去掉绝对值号整理，再两边平方整理即可得解．
【答案】解：根据题意得，a﹣2007≥0，
解得a≥2007，
∴原式可化为：a﹣2006+a-2007=a，
即a-2007=2006，
两边平方得，a﹣2007＝20062，
∴a﹣20062＝2007．
故答案为：2007．
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，解法巧妙，先求出a的取值范围然后去掉绝对值号是解题的关键，也是本题的突破口．
【变式5-3】（2018春•荔湾区校级期中）已知a=2b2-4+4-b2b-2+3b，则a+b的立方根是 ．
【分析】根据二次根式的被开方数是非负数求得b＝﹣2，继而求得a的值，代入求值即可．
【答案】解：由题意，得b2＝4且b﹣2≠0．
所以b＝﹣2，
所以a＝﹣6．
所以a+b＝﹣8．
所以3-8=-2．
故答案是：﹣2．
【点睛】考查了二次根式的意义和性质．概念：式子a（a≥0）叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
【考点6 二次根式的性质与化简】
【方法点拨】掌握二次根式的性质是关键：① (a≥0)； ② (a≥0)； ③ (a
取全体实数)。
【例6】（2019春•昌江区校级期中）把根号外的因式移到根号内：(a-1)11-a= ．
【分析】根据条件可以得到1﹣a＞0，原式可以化成＝﹣（1﹣a）11-a，然后根据二次根式的乘法法则即可求解．
【答案】解：原式＝﹣（1﹣a）11-a=-(1-a)2•11-a=-(1-a)2⋅11-a=-1-a．
故答案是：-1-a．
【点睛】本题考查了二次根式的化简，正确理解题目中的隐含条件：1﹣a＞0是关键．
【变式6-1】（2018春•宜兴市期中）已知xy＞0，则化简代数式x-yx2的结果是 ．
【分析】首先判断出x，y的符号，再利用二次根式的性质化简求出答案．
【答案】解：∵xy＞0，且-yx2有意义，
∴x＜0，y＜0，
∴x-yx2=x•-y-x=--y．
故答案为：--y．
【点睛】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确掌握二次根式的性质是解题关键．
【变式6-2】（2018春•肥城市期中）若4x2-4x+1=1﹣2x，则x的取值范围是 ．
【分析】已知等式变形后，利用二次根式性质及绝对值的代数意义判断即可求出x的范围．
【答案】解：已知等式变形得：(2x-1)2=|2x﹣1|＝1﹣2x，
∴2x﹣1≤0，
解得：x≤12．
故答案为：x≤12．
【点睛】此题考查了二次根式的性质与化简，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
【变式6-3】（2018秋•杞县期中）实数a、b、c在数轴上的对应点的位置如图，化简：
a2+|a+b|+(c-a)2-|b-c|= ．
【分析】根据图可得出c＞0＞b＞a，再去绝对值和根号即可．
【答案】解：由题得，c＞0＞b＞a，
∴a2+|a+b|+(c-a)2-|b-c|
＝﹣a﹣a﹣b+c﹣a+b﹣c
＝﹣3a．
故答案为﹣3a．
【点睛】本题考查了二次根式的性质化简以及绝对值、数轴，是基础知识要熟练掌握．
【考点7 实数的运算】
【例7】（2019春•老河口市期中）计算：
（1）(-2)2×(-2)2+3(-4)3×(-12)2-327
（2）|2-3|+|1-2|+3(3-13)
【分析】（1）直接利用立方根以及二次根式的性质化简得出答案；
（2）直接利用绝对值的性质以及二次根式的性质计算得出答案．
【答案】解：（1）原式=2×2+(-4)×14-3
＝4﹣1﹣3
＝0；
（2）原式=3-2+2-1+3-1
=3+1．
【点睛】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
【变式7-1】（2019春•费县期中）（1）计算：（1）(-2)2×14+|3-8|+2×(-1)2019
（2）解方程：3（x﹣2）2＝27
【分析】（1）直接利用二次根式以及立方根的性质分别化简进而得出答案；
（2）直接利用平方根的性质计算得出答案．
【答案】解：（1）原式＝4×12+2+-2
＝4-2；
（2）3（x﹣2）2＝27
（x﹣2）2＝9，
则x﹣2＝±3，
解得：x＝﹣1或5．
【点睛】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
【变式7-2】（2019春•阆中市期中）计算
（1）4-327-|3-8|+318-(-2)2；
（2）3(13-3)-|2-2|．
【分析】（1）直接利用立方根以及算术平方根的定义分别化简得出答案；
（2）直接利用绝对值的性质以及二次根式的乘法运算法则计算得出答案．
【答案】解：（1）原式＝2﹣3﹣2+12-2
＝﹣412；
（2）原式＝1﹣3﹣（2-2）
＝﹣4+2．
【点睛】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
【变式7-3】（2019春•泰山区期中）计算：
（1）32-20+50-80
（2）313÷116×225
（3）239x+7x2-3x1x-3218x
（4）(2-3)2(5+26)．
【分析】（1）先把二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；
（2）根据二次根式的乘除法则运算；
（3）先把二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；
（4）先利用完全平方公式计算，然后利用平方差公式计算．
【答案】解：（1）原式＝42-25+52-45
＝92-65；
（2）原式=103×67×125
=4217；
（3）原式＝2x+72x2-3x-92x2
=-x-2x；
（4）原式＝（2+3﹣26）（5+26）
＝25﹣24
＝1．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
【考点8 平方根与立方根的性质应用】
【方法点拨】理解平方根、算术平方根、立方根的定义是关键：
（1）一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么这个正数x叫做a的算术平方根。
（2）一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根或二次方根。
（3）一般地，如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根。
【例8】（2019春•中山市期中）已知一个正数m的平方根是2a﹣1与2﹣a，a+b+2立方根是2，求m+b的平方根．
【分析】首先根据：一个正数的平方根是2a﹣1和2﹣a，可得：（2a﹣1）+（2﹣a）＝0，据此求出a和m的值；然后根据a+b+2的立方根是2，可得：a+b+2＝23＝8，据此求出b的值；最后求出m+b的平方根即可．
【答案】解：∵2a﹣1与2﹣a是正数m的平方根
∴（2a﹣1）+（2﹣a）＝0，
∴a＝﹣1；
∴m＝（﹣1）2＝1；
∵a+b+2立方根是2，
∴a+b+2＝8，
∴b＝7；
∴m+b＝1+7＝8．
所以m+b的平方根是±22．
【点睛】此题主要考查了平方根的性质和应用，以及立方根的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：一个数的立方根只有一个，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0．
【变式8-1】（2019春•乐陵市期中）已知一个正数的平方根是2a﹣3和5﹣a，b的立方根是﹣2，求2a﹣b的平方根．
【分析】首先根据：一个正数的平方根是2a﹣3和5﹣a，可得：（2a﹣3）+（5﹣a）＝0，据此求出a的值是多少；然后根据：b的立方根是﹣2，可得：b＝（﹣2）3＝﹣8，据此求出2a﹣b的平方根是多少即可．
【答案】解：∵一个正数的平方根是2a﹣3和5﹣a，
∴（2a﹣3）+（5﹣a）＝0，
∴a+2＝0，
解得a＝﹣2；
∵b的立方根是﹣2，
∴b＝（﹣2）3＝﹣8，
∴2a﹣b
＝2×（﹣2）﹣（﹣8）
＝﹣4+8
＝4
2a﹣b的平方根是：±4=±2．
【点睛】此题主要考查了平方根的性质和应用，以及立方根的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：一个数的立方根只有一个，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0．
【变式8-2】（2018春•孝南区期中）已知正数x的两个不同的平方根分别是2a﹣1和a﹣5，且x﹣y﹣3的立方根为3．
（1）填空：x＝ ，y＝ ，a＝ ；
（2）求x﹣y+3a的平方根．
【分析】（1）根据一个正数的两个平方根互为相反数，可得a的值，再根据平方根的意义，可得x，根据立方根的意义，可得y，
（2）根据平方根的意义，可得答案．
【答案】解：（1）由正数x的两个不同的平方根分别是2a﹣1和a﹣5，得
2a﹣1+a﹣5＝0，
解得a＝2，
由平方根的意义，得
x＝（2a﹣1）2＝9；
x﹣y﹣3的立方根为3，
得x﹣y﹣3＝33，
解得y＝﹣21，
故答案为：9，﹣21，2；
（2）x﹣y+3a＝9﹣（﹣21）+3×2＝36，
x﹣y+3a的平方根是±36=±6．
【点睛】本题考查了立方根、平方根，利用立方根的意义、平方根的意义是解题关键．
【变式8-3】（2018春•鄂城区期中）已知A=m-4m+3是m+3的算术平方根B=2m-4n+3n-2是n﹣2的立方根，试求：
（1）m和n的值；
（2）A﹣B的值．
【分析】根据算术平方根和立方根的定义得出方程组，求出m、n，再求出A、B，即可得出答案．
【答案】解：（1）∵A=m-4m+3是m+3的算术平方根，B=2m-4n+3n-2是n﹣2的立方根，
∴m﹣4＝2，2m﹣4n+3＝3，
解得：m＝6，n＝3，
（2）∵m＝6，n＝3，
∴A=9=3，B=31=1，
∴A﹣B＝3﹣1＝2．
【点睛】本题考查了算术平方根和立方根的定义，能根据算术平方根和立方根的定义求出m、n的值是解此题的关键．
【考点9 二次根式的化简求值】
【例9】（2019春•芜湖期中）已知x=12+1，y=12-1，分别求下列代数式的值；
（1）x2+y2；
（2）yx+xy．
【分析】（1）先将x、y进行分母有理化，得到x=2-1，y=2+1，再求出x﹣y与xy的值，然后根据完全平方公式得出x2+y2＝（x﹣y）2+2xy，再整体代入即可；
（2）将所求式子变形为x2+y2xy，再整体代入即可．
【答案】解：（1）∵x=12+1=2-1，y=12-1=2+1，
∴x﹣y＝﹣2，xy＝2﹣1＝1，
∴x2+y2＝（x﹣y）2+2xy＝（﹣2）2+2×1＝6；
（2）∵x2+y2＝6，xy＝1，
∴原式=x2+y2xy=61=6．
【点睛】本题考查二次根式的化简求值，分母有理化，解题的关键是运用完全平方公式以及整体思想，本题属于基础题型．
【变式9-1】（2018秋•通川区校级期中）已知x=13-22，y=13+22，求：（1）x2y﹣xy2的值；（2）x2﹣xy+y2的值．
【分析】先将x和y的值分母有理化后，计算xy和x+y的值，再分别代入（1）和（2）问代入计算即可．
【答案】解：∵x=13-22=3+22(3-22)(3+22)=3+22，y=13+22=3-22(3+22)(3-22)=3﹣22，
∴xy=13-22⋅13+22=1，x+y＝3+22+3﹣22=6，
∴（1）x2y﹣xy2，
＝xy（x﹣y），
＝1×[(3+22)-(3-22)]，
＝42；
（2）x2﹣xy+y2，
＝（x+y）2﹣3xy，
＝62﹣3×1，
＝36﹣3，
＝33．
【点睛】本题主要考查了二次根式的化简求值，在解答时应先化简x和y的值，并利用提公因式法和完全平方公式将所求式子进行变形是关键．
【变式9-2】（2018秋•雁塔区校级期中）已知：x=6+56-5，y=6-56+5．求下列代数式x2﹣3xy+y2的值．
【分析】先将x，y分母有理化，再将其代入到原式＝（x﹣y）2﹣xy，计算可得．
【答案】解：x=6+56-5=(6+5)2(6+5)(6-5)=6+2×6×5+56-5=11+230，
y=6-56+5=(6-5)2(6+5)(6-5)=6-2×6×5+56-5=11﹣230，
∴原式＝（x﹣y）2﹣xy
＝（11+230-11+230）2﹣（11+230）×（11﹣230）
＝（430）2﹣（121﹣120）
＝480﹣1
＝479．
【点睛】本题主要考查二次根式的化简求值，解题的关键是熟练掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则．
【变式9-3】（2018春•芜湖期中）已知M=x+yx-y-2xyxy-yx，N=3x-2yx+y+y-x．甲、乙两个同学在y=x-8+8-x+18的条件下分别计算了M和N的值．甲说M的值比N大，乙说N的值比M大．请你判断他们谁的结论是正确的，并说明理由．
【分析】先由题意计算出xy的值，再将xy的值分别代入M、N，求出结果，再进行比较即可．
【答案】解：乙的结论正确．（1分）
理由：由y=x-8+8-x+18，可得x＝8，y＝18．（3分）
因此M=x+yx-y-2xyx-y=(x-y)2x-y=x-y=8-18=-2．（6分）
N=38-21826+10=62-6226+10=0．（9分）
∴M＜N，
即N的值比M大．（10分）
【点睛】本题考查了二次根式的化简求值，解题的关键是根据二次根是有意义的条件，被开方数大于等于0，求得x、y的值．
【考点10 二次根式分母有理化】
【例10】（2019春•瑶海区期中）阅读理解材料：把分母中的根号化掉叫做分母有理化，例如：
①25=255⋅5=255；②12-1=1×(2+1)(2-1)(2+1)=2+1(2)2-12=2+1等运算都是分母有理化．根据上述材料，
（1）化简：13-2
（2）计算：12+1+13+2+14+3+⋯+110+9．
【分析】（1）原式分母有理化，计算即可得到结果；
（2）原式各自分母有理化化简后，合并即可得到结果．
【答案】解：（1）原式=3+2(3-2)(3+2)=3+2；
（2）原式=2-1+3-2+⋯+10-9=10-1．
【点睛】此题考查了分母有理化，正确选择两个二次根式，使它们的积符合平方差公式是解答问题的关键．
【变式10-1】（2019秋•唐河县期中）阅读下列材料，然后回答问题：
在进行二次根式运算时，我们有时会碰上如23、23+1这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：23=2×33×3=233；23+1=2(3-1)(3+1)(3-1)=2(3-1)(3)2-1=3-1．
以上这种化简过程叫做分母有理化．
23+1还可以用以下方法化简：23+1=3-13+1=(3)2-13+1=(3+1)(3-1)3+1=3-1．
请任用其中一种方法化简：①215-3；②523+7．
【分析】①根据平方差公式分母有理化即可求解；
②把分子5变为12﹣7，再根据平方差公式分解因式，再约分计算即可求解．
【答案】解：①215-3
=2(15+3)(15-3)(15+3)
=15+33；
②523+7
=12-723+7
=(23+7)(23-7)23+7
＝23-7．
【点睛】本题主要考查了分母有理化，解题的关键是找准有理化因式．
【变式10-2】（2019春•金平区校级期中）观察下列等式：
第一个等式：a1=11+2=2-1
第二个等式：a2=12+3=3-2
第三个等式：a3=13+2=2-3
按上述规律，回答以下问题：
（1）请写出第四个等式：a4＝ ＝ ；
（2）利用以上规律计算：a1+a2+a3+…+a11；
（3）求（13+5+15+7）（7+3）的值．
【分析】（1）先根据所给的式子找出第一、第二、第三个式子的规律，进而可求出第四个等式；
（2）把所给式子相加，找出规律即可进行计算；
（3）根据所给规律探索可得出原式=12×（7-3）（7+3），再根据平方差公式易得结果．
【答案】解：（1）第四个等式：a4=12+5=5-2；
（2）a1+a2+a3+…+a11；
=2-1+3-2+2-3+⋯+23-11
＝23-1；
（3）（13+5+15+7）×（7+3）
=12×（7-3）（7+3）
=12×（7﹣3）
＝2．
故答案为：12+5，5-2．
【点睛】考查的是规律型：数字的变化类，是一道找规律的题目，关键是通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题，熟练掌握分数的拆分计算．
【变式10-3】（2019秋•东明县期中）阅读理解：【知识链接】
（1）有理化因式：两个含有根式的代数式相乘，如果它们的积不含有根式，那么这两个代数式相互叫做有理化因式．例如：2的有理化因式是2；1-x2+2的有理化因式是1+x2+2．
（2）分母有理化：分母有理化又称“有理化分母”，也就是把分母中的根号化去，指的是如果二次根式中分母有根号，那么通常在分子、分母上同乘以一个二次根式，达到化去分母中根号的目的．
【知识运用】
（1）填空：x的有理化因式是 ；a+b的有理化因式是 ；-m-1-m+1的有理化因式是 ．
（2）把下列各式的分母有理化：
①1x+y；②6+22-6．
【分析】（1）根据有理化因式定义可知，有理化因式的两个式子是平方差公式或是同一个二次根式；
（2）通过观察，发现：分母有理化的两个步骤：1、同乘分母的有理化因式；2、因式分解达到约分的目的．
【答案】解：（1）x的有理化因式是x；a+b的有理化因式是a-b；-m-1-m+1的有理化因式是-m-1+m+1．
故答案为：x；a-b；-m-1+m+1；
（2）①1x+y=x-y(x+y)(x-y)=x-yx2-y；
②6+22-6=(2+6)2(2-6)(2+6)=2+212+62-6=-8+434=-2-3．
【点睛】本题主要考查了分母有理化，解题的关键是根据材料能正确的进行分母有理化．
【考点1 无理数的概念】
【方法点拨】无限不循环小数又叫做无理数。在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一实质，归纳起来有三类：
（1）开方开不尽的数，如等；
（2）有特定意义的数，如圆周率，或化简后含有π的数，如等；
（3）有特定结构的数，如0.1010010001…等；
【例1】（2019春•博兴县期中）在3.14、12、227、-5、327、2π、0.2020020002这六个数中，无理数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】根据无理数的定义求解即可．
【答案】解：3.14、227、327、0.2020020002是有理数，
12、-5、2π是无理数，无理数的个数是3，
故选：C．
【点睛】此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如π，6，0.8080080008…（每两个8之间依次多1个0）等形式．
【变式1-1】（2018春•新罗区校级期中）下列说法中 ①无限小数都是无理数 ②无理数都是无限小数 ③﹣2是4的平方根 ④带根号的数都是无理数．其中正确的说法有（ ）
A．3个B．2个C．1个D．0个
【分析】分别根据无理数、有理数的定义即可判定选择项．
【答案】解：①无限不循环小数都是无理数，故①错误；
②无理数都是无限不循环小数，故②正确；
③﹣2是4的平方根，故③正确；
④带根号的数不一定都是无理数，故④错误；
故选：B．
【点睛】此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如π，0.8080080008…（每两个8之间依次多1个0）等形式．
【变式1-2】（2018秋•东台市期中）下列实数中，12、39、-17、π2、﹣3.14、0.1、3-27、0、0.3232232223…（相邻两个3之间依次增加一个2），无理数的个数是（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【分析】根据无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数，找出无理数的个数．
【答案】解：12=23，0.1=1010，3-27=-3，
则无理数有：12、39、π2、0.1、0.3232232223…，共5个．
故选：D．
【点睛】本题考查了无理数，解答本题的关键是掌握无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数．
【变式1-3】（2019秋•安宁区校级期中）在下列各数中是无理数的有（ ）
-(-5)2、36、17、0、﹣π、311、3.1415、15、2.010101…（相邻两个1之间有1个0）．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
【答案】解：﹣π、311、15是无理数，
故选：C．
【点睛】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．
【考点2 无理数的估算】
【方法点拨】无理数的估算，关键掌握二次根式的性质，能对根式进行估算.
【例2】（2018春•巫山县期中）估计13+12的值在（ ）
A．1到2之间B．2到3之间C．3到4之间D．4到5之间
【分析】直接利用13的取值范围进而计算得出答案．
【答案】解：∵3＜13＜4，
∴4＜13+1＜5，
∴13+12的值在2到3之间．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了估算无理数的大小，正确得出13的取值范是解题关键．
【变式2-1】（2019春•北流市期中）设n为正整数，且n＜83＜n+1，则n的值为（ ）
A．6B．7C．8D．9
【分析】首先得出81＜83＜100，得出83的取值范围，即可得出n的值．
【答案】解：∵81＜83＜100，
∴9＜83＜10，
又∵n为正整数，
∴n＝9．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了无理数的估算，熟练掌握二次根式的性质是解答本题的关键．
【变式2-2】（2019春•嘉陵区期中）已知a，b分别是6-13的整数部分和小数部分，则2a﹣b的值是（ ）
A．13-2B．2-13C．13D．9-13
【分析】先估算3＜13＜4，然后分别求出a＝2，b＝6-13-2＝4-13，再求解即可；
【答案】解：∵3＜13＜4，
∴6-13的整数部分是2，即a＝2，
6-13的小数部分是6-13-2＝4-13，即b＝4-13，
∴2a﹣b＝4﹣4+13=13；
故选：C．
【点睛】本题考查无理数的估算；熟练掌握无理数的估算方法是解题的关键．
【变式2-3】（2019春•郯城县期中）若a是10-1的整数部分，b是5+5的小数部分，则a（5-b）的值为（ ）
A．6B．4C．9D．35
【分析】先估算10和5的大小，然后求出a、b的值，代入所求式子计算即可．
【答案】解：∵2＜10-1＜3，
∴a＝2，
又∵7＜5+5＜8，
∴5+5的整数部分为7
∴b＝5+5-7=5-2；
∴a（5-b）＝2×（5-5+2）＝4．
故选：B．
【点睛】本题主要考查估算无理数的大小，解题的关键是求出无理数整数部分的值，属于基础题．
【考点3 实数的大小比较】
【方法点拨】实数大小比较常见方法有：倒数法、作差法、作商法、放缩法、两边平方法等等.
【例3】（2019秋•河北期中）已知a=7-5，b=5-3，c＝3-7，则a、b、c三个数的大小关系是（ ）
A．b＞c＞aB．b＞a＞cC．a＞b＞cD．c＞a＞b
【分析】首先求出a，b，c的倒数，进而比较它们的大小，进而得出a、b、c三个数的大小关系．
【答案】解：∵a=7-5，b=5-3，c＝3-7，
∴1a=17-5=7+52，
1b=15-3=5+32，
1c=13-7=3+72，
∵7＞3，
∴1a＞1b，
∵3＞5，
∴1a＜1c，
∴1c＞1a＞1b，
∴b＞a＞c．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了实数比较大小，正确求出a，b，c的倒数大小是解题关键．
【变式3-1】（2019春•洪山区期中）比较实数：2、5、37的大小，正确的是（ ）
A．37＜2＜5B．2＜37＜5C．5＜37＜2D．2＜5＜37
【分析】应用放缩法，判断出2、5、37的大小关系即可．
【答案】解：∵2=4＜5，
∴2＜5，
∵37＜38=2，
∴37＜2，
∴37＜2＜5．
故选：A．
【点睛】此题主要考查了实数大小比较的方法，要熟练掌握，注意放缩法的应用．
【变式3-2】（2019春•淮北期中）比较3-1与32的大小，结果是（ ）
A．前者大B．后者大C．一样大D．无法确定
【分析】首先用3-1减去32，判断出3-1与32的差的正负，然后根据3-1与32的差的正负情况，判断出3-1与32的大小关系即可．
【答案】解：∵3-1-32=32-1＜42-1＝1﹣1＝0，
∴3-1-32＜0，
∴3-1＜32，
∴比较3-1与32的大小，结果是后者大．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了实数大小比较，要熟练掌握，解答此题的关键是判断出3-1与32的差的正负．
【变式3-3】（2019秋•乐山校级期中）已知a=2-1，b=6-2，c=22-6，那么a、b、c的大小关系是（ ）
A．a＜b＜cB．c＜b＜aC．.b＜a＜cD．.c＜a＜b
【分析】利用作差法比较a和b、b和c、a和c的大小，再比较a、b、c三者的大小．
【答案】解：∵a﹣c=2-1﹣（22-6）
=6-（1+2）
≈2.449﹣2.414＞0，
∴a＞c；
∵a﹣b=2-1﹣（6-2）=2+1-6
≈2.414﹣2.449＜0，
∴a＜b，
∴c＜a＜b．
故选：D．
【点睛】此题主要考查了实数的大小的比较，其中比较两个实数的大小，可以采用作差法、取近似值法、比较n次方的方法等．
【考点4 二次根式相关概念】
【方法点拨】（1）二次根式的定义：一般地，形如(a≥0)的式子叫做二次根式。
最简二次根式满足的条件：①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。
同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式。 要判断几个根式是不是同类二次根式，须先化简根号里面的数，把非最简二次根式化成最简二次根式，然后判断。
【例4】（2018春•禹州市期中）下列各式：10，2a，b2-1，x2+y2，-3，4，m2+1中，一定是二次根式的个数是（ ）
A．3个B．4个C．5个D．7个
【分析】直接利用二次根式的定义分析得出答案．
【答案】解：10，2a，b2-1，x2+y2，-3，4，m2+1中，一定是二次根式的是：
10，x2+y2，4，m2+1共4个．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了二次根式的定义，正确把握相关定义是解题关键．
【变式4-1】（2019春•莱芜期中）二次根式：①9-x2；②(a+b)(a-b)；③a2-2a+1；④1x；⑤0.75中最简二次根式是（ ）
A．①②B．③④⑤C．②③D．只有④
【分析】判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．
【答案】解：③a2-2a+1=(a-1)2=|a﹣1|，被开方数含有开得尽方的因式，不是最简二次根式；
④1x=xx⋅x=xx，被开方数含有分母，不是最简二次根式；
⑤0.75=34=32，被开方数含有小数（分数），不是最简二次根式；
因此只有①②符合最简二次根式的条件．
故选：A．
【点睛】根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：
（1）被开方数不含分母；
（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式．
被开方数是多项式时，还需将被开方数进行因式分解，然后再观察判断．
【变式4-2】（2019春•泰兴市期中）如果12与最简二次根式7-2a是同类二次根式，那么a的值是（ ）
A．﹣2B．﹣1C．1D．2
【分析】根据最简二次根式与同类二次根式的定义列方程组求解．
【答案】解：12=23．
由题意，得
7﹣2a＝3，解得a＝2，
故选：D．
【点睛】此题主要考查了同类二次根式的定义，即：二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式．
【变式4-3】（2019春•定州市期中）与a3b不是同类二次根式的是（ ）
A．ab2B．baC．1abD．ba3
【分析】根据同类二次根式的意义，将题中的根式化简，找到被开方数相同者即可．
【答案】解：a3b=|a|ab
A、ab2=2ab2与|a|ab被开方数不同，不是同类二次根式；
B、ba=ab|a|与|a|ab被开方数相同，是同类二次根式；
C、1ab=abab与|a|ab被开方数相同，是同类二次根式；
D、ba3=aba2与|a|ab被开方数相同，是同类二次根式．
故选：A．
【点睛】此题主要考查了同类二次根式的定义，即化成最简二次根式后，被开方数相同，这样的二次根式叫做同类二次根式．
【考点5 二次根式有意义条件】
【方法点拨】二次根式有意义条件需满足被开方数大于等于0.
【例5】（2018秋•东营区校级期中）二次根式2-xx+3在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ．
【分析】直接利用二次根式的定义结合分式的定义分析得出答案．
【答案】解：∵二次根式2-xx+3在实数范围内有意义，
∴2﹣x≥0，且x+3≠0，
解得：x≤2且x≠﹣3．
故答案为：x≤2且x≠﹣3．
【点睛】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握二次根式的定义是解题关键．
【变式5-1】（2019春•杭锦后旗期中）已知y=x-1+1-x+3，则x﹣y＝ ．
【分析】根据二次根式有意义的条件确定出x的值，进而得出y的值，代入即可求解．
【答案】解：∵y=x-1+1-x+3，
∴x-1≥01-x≥0
解得：x＝1
∴y＝3
∴x﹣y＝﹣2
故答案为：﹣2
【点睛】本题考查考查二次根式有意义的条件，解题的关键是熟练运用二次根式的性质，本题属于基础题型．
【变式5-2】（2019春•黄石期中）已知实数a满足|2006﹣a|+a-2007=a，则a﹣20062＝ ．
【分析】根据被开方数大于等于0可以求出a≥2007，然后去掉绝对值号整理，再两边平方整理即可得解．
【答案】解：根据题意得，a﹣2007≥0，
解得a≥2007，
∴原式可化为：a﹣2006+a-2007=a，
即a-2007=2006，
两边平方得，a﹣2007＝20062，
∴a﹣20062＝2007．
故答案为：2007．
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，解法巧妙，先求出a的取值范围然后去掉绝对值号是解题的关键，也是本题的突破口．
【变式5-3】（2018春•荔湾区校级期中）已知a=2b2-4+4-b2b-2+3b，则a+b的立方根是 ．
【分析】根据二次根式的被开方数是非负数求得b＝﹣2，继而求得a的值，代入求值即可．
【答案】解：由题意，得b2＝4且b﹣2≠0．
所以b＝﹣2，
所以a＝﹣6．
所以a+b＝﹣8．
所以3-8=-2．
故答案是：﹣2．
【点睛】考查了二次根式的意义和性质．概念：式子a（a≥0）叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
【考点6 二次根式的性质与化简】
【方法点拨】掌握二次根式的性质是关键：① (a≥0)； ② (a≥0)； ③ (a
取全体实数)。
【例6】（2019春•昌江区校级期中）把根号外的因式移到根号内：(a-1)11-a= ．
【分析】根据条件可以得到1﹣a＞0，原式可以化成＝﹣（1﹣a）11-a，然后根据二次根式的乘法法则即可求解．
【答案】解：原式＝﹣（1﹣a）11-a=-(1-a)2•11-a=-(1-a)2⋅11-a=-1-a．
故答案是：-1-a．
【点睛】本题考查了二次根式的化简，正确理解题目中的隐含条件：1﹣a＞0是关键．
【变式6-1】（2018春•宜兴市期中）已知xy＞0，则化简代数式x-yx2的结果是 ．
【分析】首先判断出x，y的符号，再利用二次根式的性质化简求出答案．
【答案】解：∵xy＞0，且-yx2有意义，
∴x＜0，y＜0，
∴x-yx2=x•-y-x=--y．
故答案为：--y．
【点睛】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确掌握二次根式的性质是解题关键．
【变式6-2】（2018春•肥城市期中）若4x2-4x+1=1﹣2x，则x的取值范围是 ．
【分析】已知等式变形后，利用二次根式性质及绝对值的代数意义判断即可求出x的范围．
【答案】解：已知等式变形得：(2x-1)2=|2x﹣1|＝1﹣2x，
∴2x﹣1≤0，
解得：x≤12．
故答案为：x≤12．
【点睛】此题考查了二次根式的性质与化简，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
【变式6-3】（2018秋•杞县期中）实数a、b、c在数轴上的对应点的位置如图，化简：
a2+|a+b|+(c-a)2-|b-c|= ．
【分析】根据图可得出c＞0＞b＞a，再去绝对值和根号即可．
【答案】解：由题得，c＞0＞b＞a，
∴a2+|a+b|+(c-a)2-|b-c|
＝﹣a﹣a﹣b+c﹣a+b﹣c
＝﹣3a．
故答案为﹣3a．
【点睛】本题考查了二次根式的性质化简以及绝对值、数轴，是基础知识要熟练掌握．
【考点7 实数的运算】
【例7】（2019春•老河口市期中）计算：
（1）(-2)2×(-2)2+3(-4)3×(-12)2-327
（2）|2-3|+|1-2|+3(3-13)
【分析】（1）直接利用立方根以及二次根式的性质化简得出答案；
（2）直接利用绝对值的性质以及二次根式的性质计算得出答案．
【答案】解：（1）原式=2×2+(-4)×14-3
＝4﹣1﹣3
＝0；
（2）原式=3-2+2-1+3-1
=3+1．
【点睛】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
【变式7-1】（2019春•费县期中）（1）计算：（1）(-2)2×14+|3-8|+2×(-1)2019
（2）解方程：3（x﹣2）2＝27
【分析】（1）直接利用二次根式以及立方根的性质分别化简进而得出答案；
（2）直接利用平方根的性质计算得出答案．
【答案】解：（1）原式＝4×12+2+-2
＝4-2；
（2）3（x﹣2）2＝27
（x﹣2）2＝9，
则x﹣2＝±3，
解得：x＝﹣1或5．
【点睛】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
【变式7-2】（2019春•阆中市期中）计算
（1）4-327-|3-8|+318-(-2)2；
（2）3(13-3)-|2-2|．
【分析】（1）直接利用立方根以及算术平方根的定义分别化简得出答案；
（2）直接利用绝对值的性质以及二次根式的乘法运算法则计算得出答案．
【答案】解：（1）原式＝2﹣3﹣2+12-2
＝﹣412；
（2）原式＝1﹣3﹣（2-2）
＝﹣4+2．
【点睛】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
【变式7-3】（2019春•泰山区期中）计算：
（1）32-20+50-80
（2）313÷116×225
（3）239x+7x2-3x1x-3218x
（4）(2-3)2(5+26)．
【分析】（1）先把二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；
（2）根据二次根式的乘除法则运算；
（3）先把二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；
（4）先利用完全平方公式计算，然后利用平方差公式计算．
【答案】解：（1）原式＝42-25+52-45
＝92-65；
（2）原式=103×67×125
=4217；
（3）原式＝2x+72x2-3x-92x2
=-x-2x；
（4）原式＝（2+3﹣26）（5+26）
＝25﹣24
＝1．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
【考点8 平方根与立方根的性质应用】
【方法点拨】理解平方根、算术平方根、立方根的定义是关键：
（1）一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么这个正数x叫做a的算术平方根。
（2）一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根或二次方根。
（3）一般地，如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根。
【例8】（2019春•中山市期中）已知一个正数m的平方根是2a﹣1与2﹣a，a+b+2立方根是2，求m+b的平方根．
【分析】首先根据：一个正数的平方根是2a﹣1和2﹣a，可得：（2a﹣1）+（2﹣a）＝0，据此求出a和m的值；然后根据a+b+2的立方根是2，可得：a+b+2＝23＝8，据此求出b的值；最后求出m+b的平方根即可．
【答案】解：∵2a﹣1与2﹣a是正数m的平方根
∴（2a﹣1）+（2﹣a）＝0，
∴a＝﹣1；
∴m＝（﹣1）2＝1；
∵a+b+2立方根是2，
∴a+b+2＝8，
∴b＝7；
∴m+b＝1+7＝8．
所以m+b的平方根是±22．
【点睛】此题主要考查了平方根的性质和应用，以及立方根的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：一个数的立方根只有一个，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0．
【变式8-1】（2019春•乐陵市期中）已知一个正数的平方根是2a﹣3和5﹣a，b的立方根是﹣2，求2a﹣b的平方根．
【分析】首先根据：一个正数的平方根是2a﹣3和5﹣a，可得：（2a﹣3）+（5﹣a）＝0，据此求出a的值是多少；然后根据：b的立方根是﹣2，可得：b＝（﹣2）3＝﹣8，据此求出2a﹣b的平方根是多少即可．
【答案】解：∵一个正数的平方根是2a﹣3和5﹣a，
∴（2a﹣3）+（5﹣a）＝0，
∴a+2＝0，
解得a＝﹣2；
∵b的立方根是﹣2，
∴b＝（﹣2）3＝﹣8，
∴2a﹣b
＝2×（﹣2）﹣（﹣8）
＝﹣4+8
＝4
2a﹣b的平方根是：±4=±2．
【点睛】此题主要考查了平方根的性质和应用，以及立方根的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：一个数的立方根只有一个，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0．
【变式8-2】（2018春•孝南区期中）已知正数x的两个不同的平方根分别是2a﹣1和a﹣5，且x﹣y﹣3的立方根为3．
（1）填空：x＝ ，y＝ ，a＝ ；
（2）求x﹣y+3a的平方根．
【分析】（1）根据一个正数的两个平方根互为相反数，可得a的值，再根据平方根的意义，可得x，根据立方根的意义，可得y，
（2）根据平方根的意义，可得答案．
【答案】解：（1）由正数x的两个不同的平方根分别是2a﹣1和a﹣5，得
2a﹣1+a﹣5＝0，
解得a＝2，
由平方根的意义，得
x＝（2a﹣1）2＝9；
x﹣y﹣3的立方根为3，
得x﹣y﹣3＝33，
解得y＝﹣21，
故答案为：9，﹣21，2；
（2）x﹣y+3a＝9﹣（﹣21）+3×2＝36，
x﹣y+3a的平方根是±36=±6．
【点睛】本题考查了立方根、平方根，利用立方根的意义、平方根的意义是解题关键．
【变式8-3】（2018春•鄂城区期中）已知A=m-4m+3是m+3的算术平方根B=2m-4n+3n-2是n﹣2的立方根，试求：
（1）m和n的值；
（2）A﹣B的值．
【分析】根据算术平方根和立方根的定义得出方程组，求出m、n，再求出A、B，即可得出答案．
【答案】解：（1）∵A=m-4m+3是m+3的算术平方根，B=2m-4n+3n-2是n﹣2的立方根，
∴m﹣4＝2，2m﹣4n+3＝3，
解得：m＝6，n＝3，
（2）∵m＝6，n＝3，
∴A=9=3，B=31=1，
∴A﹣B＝3﹣1＝2．
【点睛】本题考查了算术平方根和立方根的定义，能根据算术平方根和立方根的定义求出m、n的值是解此题的关键．
【考点9 二次根式的化简求值】
【例9】（2019春•芜湖期中）已知x=12+1，y=12-1，分别求下列代数式的值；
（1）x2+y2；
（2）yx+xy．
【分析】（1）先将x、y进行分母有理化，得到x=2-1，y=2+1，再求出x﹣y与xy的值，然后根据完全平方公式得出x2+y2＝（x﹣y）2+2xy，再整体代入即可；
（2）将所求式子变形为x2+y2xy，再整体代入即可．
【答案】解：（1）∵x=12+1=2-1，y=12-1=2+1，
∴x﹣y＝﹣2，xy＝2﹣1＝1，
∴x2+y2＝（x﹣y）2+2xy＝（﹣2）2+2×1＝6；
（2）∵x2+y2＝6，xy＝1，
∴原式=x2+y2xy=61=6．
【点睛】本题考查二次根式的化简求值，分母有理化，解题的关键是运用完全平方公式以及整体思想，本题属于基础题型．
【变式9-1】（2018秋•通川区校级期中）已知x=13-22，y=13+22，求：（1）x2y﹣xy2的值；（2）x2﹣xy+y2的值．
【分析】先将x和y的值分母有理化后，计算xy和x+y的值，再分别代入（1）和（2）问代入计算即可．
【答案】解：∵x=13-22=3+22(3-22)(3+22)=3+22，y=13+22=3-22(3+22)(3-22)=3﹣22，
∴xy=13-22⋅13+22=1，x+y＝3+22+3﹣22=6，
∴（1）x2y﹣xy2，
＝xy（x﹣y），
＝1×[(3+22)-(3-22)]，
＝42；
（2）x2﹣xy+y2，
＝（x+y）2﹣3xy，
＝62﹣3×1，
＝36﹣3，
＝33．
【点睛】本题主要考查了二次根式的化简求值，在解答时应先化简x和y的值，并利用提公因式法和完全平方公式将所求式子进行变形是关键．
【变式9-2】（2018秋•雁塔区校级期中）已知：x=6+56-5，y=6-56+5．求下列代数式x2﹣3xy+y2的值．
【分析】先将x，y分母有理化，再将其代入到原式＝（x﹣y）2﹣xy，计算可得．
【答案】解：x=6+56-5=(6+5)2(6+5)(6-5)=6+2×6×5+56-5=11+230，
y=6-56+5=(6-5)2(6+5)(6-5)=6-2×6×5+56-5=11﹣230，
∴原式＝（x﹣y）2﹣xy
＝（11+230-11+230）2﹣（11+230）×（11﹣230）
＝（430）2﹣（121﹣120）
＝480﹣1
＝479．
【点睛】本题主要考查二次根式的化简求值，解题的关键是熟练掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则．
【变式9-3】（2018春•芜湖期中）已知M=x+yx-y-2xyxy-yx，N=3x-2yx+y+y-x．甲、乙两个同学在y=x-8+8-x+18的条件下分别计算了M和N的值．甲说M的值比N大，乙说N的值比M大．请你判断他们谁的结论是正确的，并说明理由．
【分析】先由题意计算出xy的值，再将xy的值分别代入M、N，求出结果，再进行比较即可．
【答案】解：乙的结论正确．（1分）
理由：由y=x-8+8-x+18，可得x＝8，y＝18．（3分）
因此M=x+yx-y-2xyx-y=(x-y)2x-y=x-y=8-18=-2．（6分）
N=38-21826+10=62-6226+10=0．（9分）
∴M＜N，
即N的值比M大．（10分）
【点睛】本题考查了二次根式的化简求值，解题的关键是根据二次根是有意义的条件，被开方数大于等于0，求得x、y的值．
【考点10 二次根式分母有理化】
【例10】（2019春•瑶海区期中）阅读理解材料：把分母中的根号化掉叫做分母有理化，例如：
①25=255⋅5=255；②12-1=1×(2+1)(2-1)(2+1)=2+1(2)2-12=2+1等运算都是分母有理化．根据上述材料，
（1）化简：13-2
（2）计算：12+1+13+2+14+3+⋯+110+9．
【分析】（1）原式分母有理化，计算即可得到结果；
（2）原式各自分母有理化化简后，合并即可得到结果．
【答案】解：（1）原式=3+2(3-2)(3+2)=3+2；
（2）原式=2-1+3-2+⋯+10-9=10-1．
【点睛】此题考查了分母有理化，正确选择两个二次根式，使它们的积符合平方差公式是解答问题的关键．
【变式10-1】（2019秋•唐河县期中）阅读下列材料，然后回答问题：
在进行二次根式运算时，我们有时会碰上如23、23+1这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：23=2×33×3=233；23+1=2(3-1)(3+1)(3-1)=2(3-1)(3)2-1=3-1．
以上这种化简过程叫做分母有理化．
23+1还可以用以下方法化简：23+1=3-13+1=(3)2-13+1=(3+1)(3-1)3+1=3-1．
请任用其中一种方法化简：①215-3；②523+7．
【分析】①根据平方差公式分母有理化即可求解；
②把分子5变为12﹣7，再根据平方差公式分解因式，再约分计算即可求解．
【答案】解：①215-3
=2(15+3)(15-3)(15+3)
=15+33；
②523+7
=12-723+7
=(23+7)(23-7)23+7
＝23-7．
【点睛】本题主要考查了分母有理化，解题的关键是找准有理化因式．
【变式10-2】（2019春•金平区校级期中）观察下列等式：
第一个等式：a1=11+2=2-1
第二个等式：a2=12+3=3-2
第三个等式：a3=13+2=2-3
按上述规律，回答以下问题：
（1）请写出第四个等式：a4＝ ＝ ；
（2）利用以上规律计算：a1+a2+a3+…+a11；
（3）求（13+5+15+7）（7+3）的值．
【分析】（1）先根据所给的式子找出第一、第二、第三个式子的规律，进而可求出第四个等式；
（2）把所给式子相加，找出规律即可进行计算；
（3）根据所给规律探索可得出原式=12×（7-3）（7+3），再根据平方差公式易得结果．
【答案】解：（1）第四个等式：a4=12+5=5-2；
（2）a1+a2+a3+…+a11；
=2-1+3-2+2-3+⋯+23-11
＝23-1；
（3）（13+5+15+7）×（7+3）
=12×（7-3）（7+3）
=12×（7﹣3）
＝2．
故答案为：12+5，5-2．
【点睛】考查的是规律型：数字的变化类，是一道找规律的题目，关键是通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题，熟练掌握分数的拆分计算．
【变式10-3】（2019秋•东明县期中）阅读理解：【知识链接】
（1）有理化因式：两个含有根式的代数式相乘，如果它们的积不含有根式，那么这两个代数式相互叫做有理化因式．例如：2的有理化因式是2；1-x2+2的有理化因式是1+x2+2．
（2）分母有理化：分母有理化又称“有理化分母”，也就是把分母中的根号化去，指的是如果二次根式中分母有根号，那么通常在分子、分母上同乘以一个二次根式，达到化去分母中根号的目的．
【知识运用】
（1）填空：x的有理化因式是 ；a+b的有理化因式是 ；-m-1-m+1的有理化因式是 ．
（2）把下列各式的分母有理化：
①1x+y；②6+22-6．
【分析】（1）根据有理化因式定义可知，有理化因式的两个式子是平方差公式或是同一个二次根式；
（2）通过观察，发现：分母有理化的两个步骤：1、同乘分母的有理化因式；2、因式分解达到约分的目的．
【答案】解：（1）x的有理化因式是x；a+b的有理化因式是a-b；-m-1-m+1的有理化因式是-m-1+m+1．
故答案为：x；a-b；-m-1+m+1；
（2）①1x+y=x-y(x+y)(x-y)=x-yx2-y；
②6+22-6=(2+6)2(2-6)(2+6)=2+212+62-6=-8+434=-2-3．
【点睛】本题主要考查了分母有理化，解题的关键是根据材料能正确的进行分母有理化．
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