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2020-2021学年江西省赣州市高三（上）12月月考数学（文）试卷北师大版
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这是一份2020-2021学年江西省赣州市高三（上）12月月考数学（文）试卷北师大版，共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 已知A=x∈Z|lg2x−2≤2，B=x|−x2+4x−3<0，则A∩B=( )
A.{x|x<1或3C.4,5,6D.x|3
2. 命题“∃x∈R,x2+2x+2≤0”的否定是( )
A.∀x∈R,x2+2x+2>0B.∀x∈R,x2+2x+2≤0
C.∃x∈R,x2+2x+2>0D.∃x∈R,x2+2x+2≥0
3. 已知a=20.6，b=0.60.2，c=lg0.60.2，则( )
A.a>b>cB.a>c>bC.c>b>aD.c>a>b
4. 已知sinθ+20∘=15，则sin2θ−50∘的值为( )
A.−2325B.2325C.4625D.25
5. 已知在矩形ABCD中，AB=4，AD=2，若E，F分别为AB，BC的中点，则DE→⋅DF→=( )
A.8B.10C.12D.14
6. 已知等差数列an的前n项和为Sn，若S4=a7+1,a4+a7=4，则a10=（ ）
A.133B.4C.113D.143
7. 已知a，b，c为△ABC的三个内角A，B，C的对边，向量m→=(3,−1)，n→=(csA,sinA)．若m→⊥n→，且acsB+bcsA=csinC，则角A，B的大小分别为( )
A.π6，π3B.2π3，π6C.π3，π6D.π3，π3
8. 函数y=ln|x|x的图象大致为( )
A.B.
C.D.
9. 已知变量x，y满足 x≥1，x−y−2≤0，4x+y−8≤0， 则z=3−2x+y 的最小值是( )
A.181B.127C.19D.9
10. 已知a，b为正实数，直线y=x−a与曲线y=lnx+b相切，则1a+2b的最小值是( )
A.42B.22C.3+42D.3+22
11. 设函数fx=13x3−4x+13，函数gx=x2−2bx+1，若对于∀x1∈1,2，∃x2∈0,1，使fx1≥gx2成立，则实数b的取值范围是( )
A.72,+∞B.58,+∞C.−∞,72D.−∞,58
12. 记函数fx=lnx+1+1−x的定义域为A，函数gx=ex−e−x+sinx+1，若不等式g2x+a+gx2−1>2对x∈A恒成立，则a的取值范围为( )
A.[2,+∞)B.2,+∞C.−2,+∞D.[−2,+∞)
二、填空题
已知平面向量 a→=(2, −2)，b→=(−1, m)，若a→⊥b→，则|b→|=________．
在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a，b，c成等差数列，B=30∘，△ABC的面积为32，则b=________．
已知函数fx=x3+ax2+bx−a2−7a在x=1处取得极大值10，则ab的值为________.
已知函数fx=xlnx−2x，x>0，x2+54x，x≤0的图象上有且仅有两个不同的点关于直线y=−2的对称点在kx−y−3=0的图象上，则实数k的取值范围是________．
三、解答题
已知向量m→=csx,3sinx，n→=csx,csx且函数fx=m→⋅n→.
(1)求函数fx在x∈−π2,0时的值域；
(2)设α是第一象限角，且fα2+π6=1110，求 sinα+π4cs2π+2α 的值．
已知公差不为零的等差数列an中，a3=7，又a2，a4，a9成等比数列．
(1)求数列an的通项公式；
(2)设bn=1anan+1，求数列bn的前n项和Sn.
在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知acsC+3asinC−b−c=0.
(1)求A的值；
(2)若a=2，△ABC的面积为3，求b，c的值．
已知函数fx=2x3−3x2−12x+m.
(1)若m=1，求曲线y=fx在1,f1处的切线方程；
(2)若函数fx有3个零点，求实数m的取值范围．
已知数列an中，a1=1且a1+a2+⋯+an=an+1−1．数列bn中，b1=1且bn=nn−1bn−1(n>1，n∈N∗).
(1)求数列an和bn的通项公式；
(2)设cn=an⋅bn，求数列cn的前n项和为Tn，并求使得Tn≥16m2−5m恒成立的最大正整数m的值．
已知函数f(x)=12x2−alnx−a(1≤x≤e)，g(x)=ex−x−1，其中a∈R，e为自然对数的底数.
(1)求函数f(x)的最小值；
(2)若对于任意的x1∈[0, 1]，都存在唯一的x2∈[1, e]，使得g(x1)=f(x2)，求实数a的取值范围．
参考答案与试题解析
2020-2021学年江西省赣州市高三（上）12月月考数学（文）试卷
一、选择题
1.
【答案】
C
【考点】
交集及其运算
一元二次不等式的解法
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：∵A=x∈Z|2B=x|−x2+4x−3<0={x|x<1或x>3}，
∴A∩B={4,5,6}.
故选C.
2.
【答案】
A
【考点】
全称命题与特称命题
命题的否定
【解析】
利用特称命题的否定应该是全称命题进行求解即可.
【解答】
解：特称命题的否定是全称命题，
命题“∃∈R,x2+2x+2≤0”的否定是∀x∈R,x2+2x+2>0.
故选A.
3.
【答案】
D
【考点】
指数式、对数式的综合比较
【解析】
利用指数函数、对数函数的单调性直接求解．
【解答】
解：∵2=21>a=20.6>20=1，
b=0.60.2<0.60=1，
c=lg0.60.2>，
∴c>a>b．
故选D．
4.
【答案】
A
【考点】
诱导公式
二倍角的余弦公式
【解析】
利用诱导公式和二倍角公式求解即可.
【解答】
解：∵ sinθ+20∘=15，
∴ sin2θ−50∘=sin2θ+40∘−90∘
=−cs2θ+40∘
=2sin2θ+20∘−1
=2×125−1
=−2325.
故选A.
5.
【答案】
B
【考点】
平面向量数量积的性质及其运算
平面向量数量积的性质及其运算律
平面向量在解析几何中的应用
【解析】
根据题意，利用平面向量的线性运算即可直接求解．
【解答】
解：如图，
因为DA→⊥DC→，AE→⊥CF→，
所以DA→⋅DC→=AE→⋅CF→=0，
所以DE→⋅DF→
=(DA→+AE→)⋅(DC→+CF→)
=DA→⋅DC→+DA→⋅CF→+AE→⋅DC→+AE→⋅CF→
=0+2×1×cs0+2×4×cs0+0
=10．
故选B.
6.
【答案】
C
【考点】
等差数列的前n项和
等差数列的通项公式
【解析】
利用等差数列的通项公式求和公式即可判断出结论．
【解答】
解：设等差数列首项为a1，公差为d．
∴4a1+6d=a1+6d+1a1+3d+a1+6d=4．
∴a1=13d=1027．
∴a10=a1+9d=113．
故选C．
7.
【答案】
C
【考点】
正弦定理
弦切互化
两角和与差的正弦公式
向量的数量积判断向量的共线与垂直
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：因为m→⊥n→，
所以3csA−sinA=0，
即tanA=3，
因为A∈(0,π)，
所以A=π3．
因为acsB+bcsA=csinC，
由正弦定理可得sinAcsB+sinBcsA=sin2C，
即sinAcsB+sinBcsA
=sinA+B=sinC=sin2C，
因为C∈(0,π)，
所以C=π2，
所以B=π−A−C=π−π3−π2=π6．
故选C.
8.
【答案】
C
【考点】
函数的图象
函数奇偶性的判断
【解析】
利用函数的奇偶性和特殊值排除即可求解.
【解答】
解：设fx=ln|x|x，
则f−x=ln|−x|−x=ln|x|−x=−fx，
∴ fx是奇函数，排除A，B；
当x趋近于+∞时，y>0，故排除D.
故选C.
9.
【答案】
A
【考点】
简单线性规划
求线性目标函数的最值
【解析】
首先画出可行域，设t=−2x+y，并令t=0，作出初始目标函数y=−2x表示的直线，根据图象判断目标函数的最大值.
【解答】
解：作出可行域如图所示：
易得A(1,4)，B2,0，C1,−1，
令t=−2x+y，即y=2x+t，
当直线y=2x+t过点B时，
此时直线y=2x+t在y轴上的截距最小，t取得最小值，
将B2,0代入t=−2x+y可得，
tmin=−2×2+0=−4，
此时z=3−2x+y 有最小值，
最小值为zmin=3−4=181.
故选A.
10.
【答案】
D
【考点】
基本不等式在最值问题中的应用
利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】
求函数的导数，由已知切线的方程，可得切线的斜率，求得切线的坐标，可得a+b=1，再由乘1法和基本不等式，即可得到所求最小值．
【解答】
解：根据y=ln(x+b)得y′=1x+b,
由切线的方程y=x−a可得切线的斜率为1，
可得切点的横坐标为1−b，
∴ 切点为(1−b,0)，
代入y=x−a，得a+b=1，
∵ a，b为正实数，
∴ 1a+2b=a+b1a+2b
=3+ba+2ab≥3+22，
当且仅当ba=2ab，a+b=1，
即a=2−1，b=2−2时取等号，
故1a+2b的最小值为3+22.
故选D．
11.
【答案】
A
【考点】
函数恒成立问题
利用导数研究不等式恒成立问题
利用导数研究函数的最值
【解析】
先利用导数求得函数fx在区间1,2上的最小值，再分b≤0，b≥1，及0【解答】
解：若对于∀x1∈1,2，∃x2∈0,1，使fx1≥gx2成立，
只需fx1min≥gx2min.
因为fx=13x3−4x+13，
所以f′(x)=x2−4，
当x∈1,2时，f′x≤0，
所以fx在1,2上单调递减，
所以函数fx在x=2处取得最小值f(2)=−5，
因为gx=x2−2bx+1
=x−b2+1−b2，
当b≤0时，gx在[0,1]上单调递增，
在x=0处gx取得最小值，g(x)min=g0=1，
因为对于∀x1∈1,2，∃x2∈0,1，
使f(x1)≥gx2成立，所以−5≥1，不成立；
当b≥1时，gx在[0,1]上单调递减，
在x=1处取得最小值，g(x)min=g1=2−2b，
因为对于∀x1∈1,2，∃x2∈0,1，
使f(x1)≥gx2成立，所以−5≥2−2b，
解得b≥72，此时b≥72；
当0在x=1处取得最小值，g(x)min=gb=1−b2，
因为对于∀x1∈1,2，∃x2∈0,1，
使f(x1)≥gx2成立，所以−5≥1−b2，
解得b≤−6或b≥6，此时无解；
综上，实数b的取值范围是[72,+∞)．
故选A.
12.
【答案】
A
【考点】
函数奇偶性的性质
函数的定义域及其求法
不等式恒成立问题
奇偶性与单调性的综合
函数单调性的性质
【解析】
本题考查函数的性质，先求解出定义域．
【解答】
解：x+1>0，1−x≥0，
解得−1∴ A=−1,1，
令mx=ex−e−x+sinx，
则m−x=e−x−ex+sin(−x)
=−(ex−e−x+sinx)=−m(x)，
∴ mx是R上的奇函数，
又m′(x)=ex+e−x+csx≥2+csx>0显然恒成立，
∴ m(x)是增函数，
∴g2x+a+gx2−1
=m2x+a+mx2−1+2>2，
∴m2x+a+mx2−1>0，
∴m2x+a>−m(x2−1)，
由m(x)是R上的奇函数且为增函数，
∴m2x+a>m(1−x2)，
∴2x+a>1−x2，
∴a>−x2−2x+1=−x+12+2，
当x∈−1,1时，−x+12+2<2，
∴a≥2.
故选A.
二、填空题
【答案】
2
【考点】
数量积判断两个平面向量的垂直关系
向量的模
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：∵ a→⊥b→，
∴ a→⋅b→=2×(−1)+(−2)×m=0，
解得m=−1，
∴ b→=(−1,−1)，
∴ |b→|=(−1)2+(−1)2=2．
故答案为：2.
【答案】
3+1
【考点】
等差中项
数列与三角函数的综合
余弦定理
正弦定理
【解析】
由a，b，c成等差数列可得2b=a+c结合B=30∘而要求b故不能采用正弦定理而采用余弦定理即csB=a2+c2−b22ac=32
再利用面积公式可得12acsinB=32然后代入化简即可求值．
【解答】
解：∵ a，b，c成等差数列，
∴ 2b=a+c①.
又∵ △ABC的面积为32，
∴ 12acsinB=32②，
∴ ac=6.
又∵ csB=a2+c2−b22ac=32③，
∴ 由①②③知，
(a+c)2−2ac−b22ac=3b2−1212=32，
∴ b2=4+23=(3+1)2.
又∵ b>0，
∴ b=3+1.
故答案为：3+1.
【答案】
−23
【考点】
利用导数研究函数的极值
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：函数f(x)=x3+ax2+bx−a2−7a，
所以f′(x)=3x2+2ax+b，
因为x=1时，f(x)取得极大值10，
所以f′(1)=3+2a+b=0，f(1)=1+b−a2−6a=10，
解得a=−2，b=1或a=−6，b=9，
经检验当a=−2，b=1时f(x)取得极小值，舍去．
所以a=−6，b=9．
所以ab=−69=−23.
故答案为：−23.
【答案】
(−∞,34)∪(1,+∞)
【考点】
利用导数研究函数的单调性
分段函数的应用
利用导数研究函数的极值
函数的零点与方程根的关系
【解析】
本题考查了函数的性质的判断与应用．
【解答】
解：直线kx−y−3=0关于直线y=−2对称的直线l的方程为kx−−4−y−3=0，
即kx+y+1=0，对应的函数为y=−kx−1，
所以，直线l与函数y=fx的图象有两个交点，
对于一次函数y=−kx−1，
当x=0时，y=−1，且f0=0，
则直线l与函数y=fx的图象交点的横坐标不可能为0．
当x≠0时，令−kx−1=fx，可得−k=fx+1x，
此时，令gx=fx+1x，
则g(x)=lnx+1x−2，x>0，x+1x+54，x<0，
当x>0时，g′x=1x−1x2=x−1x2，
当0当x>1时，g′x>0，
此时，函数y=gx在区间0,1上单调递减，在区间1,+∞上单调递增，
函数y=gx的极小值为g1=−1；
当x<0时，g′x=1−1x2=x2−1x2，
当x<−1时，g′x>0，
当−1此时，函数y=gx在区间−∞,−1上单调递增，在区间−1,0上单调递减，
函数y=gx的极大值为g−1=−34，
作出函数y=−k和函数y=gx的图象如图所示：
由图象可知，当−k<−1或−k>−34时，
即当k<34或k>1时，直线y=−k与函数y=gx的图象有两个交点．
综上，实数k的取值范围是(−∞,34)∪(1,+∞)．
故答案为：(−∞,34)∪(1,+∞)．
三、解答题
【答案】
解：(1)由fx=m→⋅n→=cs2x+3sinxcsx，
fx=12cs2x+32sin2x+12
=sin2x+π6+12.
∵−π2≤x≤0，
∴−5π6≤2x+π6≤π6，
∴ sin2x+π6∈−1,12，
则fx的值域为−12,1 .
(2)∵ fα2+π6=1110，
∴ sin2α2+π6+π6+12=1110，
则sinα+π2=35，即csα=35.
又α为第一象限的角，则sinα=45，
sinα+π4cs(2π+2α)=22(sinα+csα)cs2α
=22(sinα+csα)cs2α−sin2α，
则 sinα+π4cs2π+2α=22csα−sinα=−522 .
【考点】
平面向量数量积
正弦函数的定义域和值域
两角和与差的正弦公式
三角函数的恒等变换及化简求值
诱导公式
【解析】
（1）由fx=m→⋅n→=cs2x+3sinxcsx，fx=12cs2x+32sin2x+12−sin2x+π6+12,∵π2≤x≤0,∴−5π6≤2x+π6≤π6，
∴ sin2x+π6∈−1,12，则fx的值域为−12,1 .
（2）∵ fα2+π6=1110，∴ sin2α2+π6+π6+12=1110，
则sinα+π2−35即csα−35，又α为第一象限的角，则sinα=45，
sinα+π4cs(2π+2α)=22(sinα+csα)cs2α=22(sinα+csα)cs2α−sin2α，
则 sinα+π4cs2π+2α=22csα−sinα=−522 .
【解答】
解：(1)由fx=m→⋅n→=cs2x+3sinxcsx，
fx=12cs2x+32sin2x+12
=sin2x+π6+12.
∵−π2≤x≤0，
∴−5π6≤2x+π6≤π6，
∴ sin2x+π6∈−1,12，
则fx的值域为−12,1 .
(2)∵ fα2+π6=1110，
∴ sin2α2+π6+π6+12=1110，
则sinα+π2=35，即csα=35.
又α为第一象限的角，则sinα=45，
sinα+π4cs(2π+2α)=22(sinα+csα)cs2α
=22(sinα+csα)cs2α−sin2α，
则 sinα+π4cs2π+2α=22csα−sinα=−522 .
【答案】
解：(1)在公差d不为零的等差数列an中，
a3=7，又a2，a4，a9成等比数列，
可得a1+2d=7，
a42=a2a9，
即a1+2d=7，a1+3d2=a1+da1+8d，
解得a1=1，d=3，
则an=a1+n−1d
=1+3n−1
=3n−2.
(2)bn=1anan+1
=13n−23n+1
=1313n−2−13n+1，
所以前n项和Sn=b1+b2+⋯+bn
=13×(11−14)+13×(14−17)+⋯+
13×13n−2−13n+1
=13×(1−14+14−17+⋯+13n−2−13n+1)
=13×(1−13n+1)
=n3n+1．
【考点】
等差数列的通项公式
数列的求和
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)在公差d不为零的等差数列an中，
a3=7，又a2，a4，a9成等比数列，
可得a1+2d=7，
a42=a2a9，
即a1+2d=7，a1+3d2=a1+da1+8d，
解得a1=1，d=3，
则an=a1+n−1d
=1+3n−1
=3n−2.
(2)bn=1anan+1
=13n−23n+1
=1313n−2−13n+1，
所以前n项和Sn=b1+b2+⋯+bn
=13×(11−14)+13×(14−17)+⋯+
13×13n−2−13n+1
=13×(1−14+14−17+⋯+13n−2−13n+1)
=13×(1−13n+1)
=n3n+1．
【答案】
解：(1)∵ acsC+3asinC−b−c=0，
∴ sinAcsC+3sinAsinC−sinB−sinC=0，
又∵ sinB+sinC=sin(A+C)+sinC，
∴ sinAcsC+3sinAsinC
=sinAcsC+sinCcsA+sinC，
∵ sinC≠0，
∴ 3sinA−csA=1，
∴ sin(A−π6)=12，
∵ A∈(0,π)，
∴ A−π6∈(−π6,5π6)，
∴ A−π6=π6，
∴ A=π3.
(2)由S△ABC=12bcsinA=3⇔bc=4，
由余弦定理可得，
a2=b2+c2−2bccsA
=(b+c)2−2bc−2bccsA，
即4=(b+c)2−3bc=(b+c)2−12，
∴ b+c=4，
解得：b=c=2．
【考点】
正弦定理
两角和与差的正弦公式
余弦定理
三角形的面积公式
【解析】
(1)由正弦定理及两角和的正弦公式可得sinAcsC+3sinAsinC=sinB+sinC=sin(A+C)+sinC=sinAcsC+sinCcsA+sinC，整理可求A．
(2)由(1)所求A及S=12bcsinA可求bc，然后由余弦定理，a2=b2+c2−2bccsA=(b+c)2−2bc−2bccsA可求b+c，进而可求b，c．
【解答】
解：(1)∵ acsC+3asinC−b−c=0，
∴ sinAcsC+3sinAsinC−sinB−sinC=0，
又∵ sinB+sinC=sin(A+C)+sinC，
∴ sinAcsC+3sinAsinC
=sinAcsC+sinCcsA+sinC，
∵ sinC≠0，
∴ 3sinA−csA=1，
∴ sin(A−π6)=12，
∵ A∈(0,π)，
∴ A−π6∈(−π6,5π6)，
∴ A−π6=π6，
∴ A=π3.
(2)由S△ABC=12bcsinA=3⇔bc=4，
由余弦定理可得，
a2=b2+c2−2bccsA
=(b+c)2−2bc−2bccsA，
即4=(b+c)2−3bc=(b+c)2−12，
∴ b+c=4，
解得：b=c=2．
【答案】
解：(1)fx=2x3−3x2−12x+m，
f′x=6x2−6x−12，
故f′1=−12，
又当m=1时，
f1=2×13−3×12−12×1+1=−12，
故所求的切线方程为y+12=−12x−1，
即y=−12x．
(2)f′x=6x2−6x−12
=6x2−x−2
=6x+1x−2，
令f′x=0，得x=−1或x=2，
故当x∈−∞,−1时，f′x>0，
当x∈−1,2时，f′x<0，
当x∈2,+∞时，f′x>0，
故当x=−1时，函数fx有极大值，
f−1=2×−13−3×(−1)2−12×−1+m
=m+7，
当x=2时，函数fx有极小值，
f2=2×23−3×22−12×2+m
=m−20，
若函数fx有3个零点，实数m满足m+7>0，m−20<0，
解得−7即实数m的取值范围为−7,20．
【考点】
利用导数研究曲线上某点切线方程
利用导数研究函数的极值
利用导数研究函数的单调性
利用导数研究与函数零点有关的问题
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)fx=2x3−3x2−12x+m，
f′x=6x2−6x−12，
故f′1=−12，
又当m=1时，
f1=2×13−3×12−12×1+1=−12，
故所求的切线方程为y+12=−12x−1，
即y=−12x．
(2)f′x=6x2−6x−12
=6x2−x−2
=6x+1x−2，
令f′x=0，得x=−1或x=2，
故当x∈−∞,−1时，f′x>0，
当x∈−1,2时，f′x<0，
当x∈2,+∞时，f′x>0，
故当x=−1时，函数fx有极大值，
f−1=2×−13−3×(−1)2−12×−1+m
=m+7，
当x=2时，函数fx有极小值，
f2=2×23−3×22−12×2+m
=m−20，
若函数fx有3个零点，实数m满足m+7>0，m−20<0，
解得−7即实数m的取值范围为−7,20．
【答案】
解：(1)因为a1+a2+⋯+an=an+1−1，
当n≥2时，a1+a2+⋯+an−1=an−1，
两式相减得an+1=2an(n≥2)，
当n=1时，a2=a1+1=2，
所以a2=2a1；
所以数列an是首项为1，公比为2的等比数列，
则an=2n−1．
数列bn中，b1=1，
满足bn=nn−1bn−1(n>1，n∈N∗)，
即bnbn−1=nn−1，
bn−1bn−2=n−1n−2，
bn−2bn−3=n−2n−3，
⋯
b3b2=32，
b2b1=21，
等式左右两边分别相乘可得bnb1=n1，
而b1=1，
所以bn=n．
(2)cn=an⋅bn，
由(1)可得cn=n⋅2n−1，数列cn的前n项和为Tn．
则Tn=1+2×21+3×22+⋯+
n−2×2n−3+n−1×2n−2+n×2n−1，
2Tn=1×21+2×22+3×23+⋯+
n−2×2n−2+n−1×2n−1+n×2n，
两式相减可得−Tn=1+21+22+23+⋯+
2n−2+2n−1−n×2n
=1−2n1−2−n×2n
=2n−1−n×2n，
所以Tn=n−1×2n+1，
因为Tn=n−1×2n+1为递增数列，
所以Tn=n−1×2n+1≥T1=1，
故Tn>16m2−5m恒成立，只需1≥16m2−5m，
变形可得m+1m−6≤0，
所以−1≤m≤6，即最大正整数m值为6．
【考点】
数列递推式
数列的求和
不等式恒成立问题
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)因为a1+a2+⋯+an=an+1−1，
当n≥2时，a1+a2+⋯+an−1=an−1，
两式相减得an+1=2an(n≥2)，
当n=1时，a2=a1+1=2，
所以a2=2a1；
所以数列an是首项为1，公比为2的等比数列，
则an=2n−1．
数列bn中，b1=1，
满足bn=nn−1bn−1(n>1，n∈N∗)，
即bnbn−1=nn−1，
bn−1bn−2=n−1n−2，
bn−2bn−3=n−2n−3，
⋯
b3b2=32，
b2b1=21，
等式左右两边分别相乘可得bnb1=n1，
而b1=1，
所以bn=n．
(2)cn=an⋅bn，
由(1)可得cn=n⋅2n−1，数列cn的前n项和为Tn．
则Tn=1+2×21+3×22+⋯+
n−2×2n−3+n−1×2n−2+n×2n−1，
2Tn=1×21+2×22+3×23+⋯+
n−2×2n−2+n−1×2n−1+n×2n，
两式相减可得−Tn=1+21+22+23+⋯+
2n−2+2n−1−n×2n
=1−2n1−2−n×2n
=2n−1−n×2n，
所以Tn=n−1×2n+1，
因为Tn=n−1×2n+1为递增数列，
所以Tn=n−1×2n+1≥T1=1，
故Tn>16m2−5m恒成立，只需1≥16m2−5m，
变形可得m+1m−6≤0，
所以−1≤m≤6，即最大正整数m值为6．
【答案】
解：(1)f(x)=12x2−alnx−a(1≤x≤e)，
f′(x)=x−ax=x2−ax，x∈[1, e]，x2∈[1,e2]，
当a≤1时，f′(x)≥0恒成立，
所以f(x)在[1, e]上单调递增，
f(x)min=f(1)=12−a．
当a≥e2时，f′(x)≤0恒成立，
所以f(x)在[1, e]上单调递减，
f(x)min=f(e)=e22−2a.
当1令f′(x)<0，则x∈[1,a)，f(x)在[1,a)上单调递减，
令f′(x)>0，则x∈(a,e]，f(x)在(a,e]上单调递增，
所以f(x)min=f(a)=−a2−a2lna.
综上，当a≤1时，f(x)min=12−a，
当1当a≥e2时，f(x)min=e22−2a．
(2)g(x)=ex−x−1，x∈[0,1]，
因为g′(x)=ex−1≥0当且仅当x=0时，导数值为0，
x∈[0, 1]时，g′(x)≥0，所以g(x)在[0,1]上单调递增，
g(0)=0，g(1)=e−2，
g(x)的值域为[0, e−2]．
结合(1)可得，
(i)当a≤1时，f(x)在[1, e]上单调递增，
又f(1)=12−a，
f(e)=e22−2a，
所以12−a≤0，e22−2a≥e−2，
即12≤a≤1．
(ii)当a≥e2时，
因为f(x)在[1, e]上单调递减，且f(x)≤f(1)=12−a<0，
所以不符合题意，舍去．
(iii)当1f(x)在[1,a)上单调递减，f(x)在(a,e]上单调递增，
且f(1)=12−a<0，
f(a)=−12a−a2lna<0，
所以只需f(e)=e22−2a≥e−2，
解得1综上所述，实数a的取值范围是12≤a≤e24−e2+1．
【考点】
利用导数研究函数的最值
函数的值域及其求法
函数恒成立问题
【解析】
（I）求出f′(x)=x2−ax，通过10．a≤1时，20．a≥e2时，30.1(II)求出g′(x)＝ex−1，判断函数的单调性，通过(i)当a≤1时，(ii)当1【解答】
解：(1)f(x)=12x2−alnx−a(1≤x≤e)，
f′(x)=x−ax=x2−ax，x∈[1, e]，x2∈[1,e2]，
当a≤1时，f′(x)≥0恒成立，
所以f(x)在[1, e]上单调递增，
f(x)min=f(1)=12−a．
当a≥e2时，f′(x)≤0恒成立，
所以f(x)在[1, e]上单调递减，
f(x)min=f(e)=e22−2a.
当1令f′(x)<0，则x∈[1,a)，f(x)在[1,a)上单调递减，
令f′(x)>0，则x∈(a,e]，f(x)在(a,e]上单调递增，
所以f(x)min=f(a)=−a2−a2lna.
综上，当a≤1时，f(x)min=12−a，
当1当a≥e2时，f(x)min=e22−2a．
(2)g(x)=ex−x−1，x∈[0,1]，
因为g′(x)=ex−1≥0当且仅当x=0时，导数值为0，
x∈[0, 1]时，g′(x)≥0，所以g(x)在[0,1]上单调递增，
g(0)=0，g(1)=e−2，
g(x)的值域为[0, e−2]．
结合(1)可得，
(i)当a≤1时，f(x)在[1, e]上单调递增，
又f(1)=12−a，
f(e)=e22−2a，
所以12−a≤0，e22−2a≥e−2，
即12≤a≤1．
(ii)当a≥e2时，
因为f(x)在[1, e]上单调递减，且f(x)≤f(1)=12−a<0，
所以不符合题意，舍去．
(iii)当1f(x)在[1,a)上单调递减，f(x)在(a,e]上单调递增，
且f(1)=12−a<0，
f(a)=−12a−a2lna<0，
所以只需f(e)=e22−2a≥e−2，
解得1综上所述，实数a的取值范围是12≤a≤e24−e2+1．
1. 已知A=x∈Z|lg2x−2≤2，B=x|−x2+4x−3<0，则A∩B=( )
A.{x|x<1或3
2. 命题“∃x∈R,x2+2x+2≤0”的否定是( )
A.∀x∈R,x2+2x+2>0B.∀x∈R,x2+2x+2≤0
C.∃x∈R,x2+2x+2>0D.∃x∈R,x2+2x+2≥0
3. 已知a=20.6，b=0.60.2，c=lg0.60.2，则( )
A.a>b>cB.a>c>bC.c>b>aD.c>a>b
4. 已知sinθ+20∘=15，则sin2θ−50∘的值为( )
A.−2325B.2325C.4625D.25
5. 已知在矩形ABCD中，AB=4，AD=2，若E，F分别为AB，BC的中点，则DE→⋅DF→=( )
A.8B.10C.12D.14
6. 已知等差数列an的前n项和为Sn，若S4=a7+1,a4+a7=4，则a10=（ ）
A.133B.4C.113D.143
7. 已知a，b，c为△ABC的三个内角A，B，C的对边，向量m→=(3,−1)，n→=(csA,sinA)．若m→⊥n→，且acsB+bcsA=csinC，则角A，B的大小分别为( )
A.π6，π3B.2π3，π6C.π3，π6D.π3，π3
8. 函数y=ln|x|x的图象大致为( )
A.B.
C.D.
9. 已知变量x，y满足 x≥1，x−y−2≤0，4x+y−8≤0， 则z=3−2x+y 的最小值是( )
A.181B.127C.19D.9
10. 已知a，b为正实数，直线y=x−a与曲线y=lnx+b相切，则1a+2b的最小值是( )
A.42B.22C.3+42D.3+22
11. 设函数fx=13x3−4x+13，函数gx=x2−2bx+1，若对于∀x1∈1,2，∃x2∈0,1，使fx1≥gx2成立，则实数b的取值范围是( )
A.72,+∞B.58,+∞C.−∞,72D.−∞,58
12. 记函数fx=lnx+1+1−x的定义域为A，函数gx=ex−e−x+sinx+1，若不等式g2x+a+gx2−1>2对x∈A恒成立，则a的取值范围为( )
A.[2,+∞)B.2,+∞C.−2,+∞D.[−2,+∞)
二、填空题
已知平面向量 a→=(2, −2)，b→=(−1, m)，若a→⊥b→，则|b→|=________．
在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a，b，c成等差数列，B=30∘，△ABC的面积为32，则b=________．
已知函数fx=x3+ax2+bx−a2−7a在x=1处取得极大值10，则ab的值为________.
已知函数fx=xlnx−2x，x>0，x2+54x，x≤0的图象上有且仅有两个不同的点关于直线y=−2的对称点在kx−y−3=0的图象上，则实数k的取值范围是________．
三、解答题
已知向量m→=csx,3sinx，n→=csx,csx且函数fx=m→⋅n→.
(1)求函数fx在x∈−π2,0时的值域；
(2)设α是第一象限角，且fα2+π6=1110，求 sinα+π4cs2π+2α 的值．
已知公差不为零的等差数列an中，a3=7，又a2，a4，a9成等比数列．
(1)求数列an的通项公式；
(2)设bn=1anan+1，求数列bn的前n项和Sn.
在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知acsC+3asinC−b−c=0.
(1)求A的值；
(2)若a=2，△ABC的面积为3，求b，c的值．
已知函数fx=2x3−3x2−12x+m.
(1)若m=1，求曲线y=fx在1,f1处的切线方程；
(2)若函数fx有3个零点，求实数m的取值范围．
已知数列an中，a1=1且a1+a2+⋯+an=an+1−1．数列bn中，b1=1且bn=nn−1bn−1(n>1，n∈N∗).
(1)求数列an和bn的通项公式；
(2)设cn=an⋅bn，求数列cn的前n项和为Tn，并求使得Tn≥16m2−5m恒成立的最大正整数m的值．
已知函数f(x)=12x2−alnx−a(1≤x≤e)，g(x)=ex−x−1，其中a∈R，e为自然对数的底数.
(1)求函数f(x)的最小值；
(2)若对于任意的x1∈[0, 1]，都存在唯一的x2∈[1, e]，使得g(x1)=f(x2)，求实数a的取值范围．
参考答案与试题解析
2020-2021学年江西省赣州市高三（上）12月月考数学（文）试卷
一、选择题
1.
【答案】
C
【考点】
交集及其运算
一元二次不等式的解法
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：∵A=x∈Z|2
∴A∩B={4,5,6}.
故选C.
2.
【答案】
A
【考点】
全称命题与特称命题
命题的否定
【解析】
利用特称命题的否定应该是全称命题进行求解即可.
【解答】
解：特称命题的否定是全称命题，
命题“∃∈R,x2+2x+2≤0”的否定是∀x∈R,x2+2x+2>0.
故选A.
3.
【答案】
D
【考点】
指数式、对数式的综合比较
【解析】
利用指数函数、对数函数的单调性直接求解．
【解答】
解：∵2=21>a=20.6>20=1，
b=0.60.2<0.60=1，
c=lg0.60.2>，
∴c>a>b．
故选D．
4.
【答案】
A
【考点】
诱导公式
二倍角的余弦公式
【解析】
利用诱导公式和二倍角公式求解即可.
【解答】
解：∵ sinθ+20∘=15，
∴ sin2θ−50∘=sin2θ+40∘−90∘
=−cs2θ+40∘
=2sin2θ+20∘−1
=2×125−1
=−2325.
故选A.
5.
【答案】
B
【考点】
平面向量数量积的性质及其运算
平面向量数量积的性质及其运算律
平面向量在解析几何中的应用
【解析】
根据题意，利用平面向量的线性运算即可直接求解．
【解答】
解：如图，
因为DA→⊥DC→，AE→⊥CF→，
所以DA→⋅DC→=AE→⋅CF→=0，
所以DE→⋅DF→
=(DA→+AE→)⋅(DC→+CF→)
=DA→⋅DC→+DA→⋅CF→+AE→⋅DC→+AE→⋅CF→
=0+2×1×cs0+2×4×cs0+0
=10．
故选B.
6.
【答案】
C
【考点】
等差数列的前n项和
等差数列的通项公式
【解析】
利用等差数列的通项公式求和公式即可判断出结论．
【解答】
解：设等差数列首项为a1，公差为d．
∴4a1+6d=a1+6d+1a1+3d+a1+6d=4．
∴a1=13d=1027．
∴a10=a1+9d=113．
故选C．
7.
【答案】
C
【考点】
正弦定理
弦切互化
两角和与差的正弦公式
向量的数量积判断向量的共线与垂直
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：因为m→⊥n→，
所以3csA−sinA=0，
即tanA=3，
因为A∈(0,π)，
所以A=π3．
因为acsB+bcsA=csinC，
由正弦定理可得sinAcsB+sinBcsA=sin2C，
即sinAcsB+sinBcsA
=sinA+B=sinC=sin2C，
因为C∈(0,π)，
所以C=π2，
所以B=π−A−C=π−π3−π2=π6．
故选C.
8.
【答案】
C
【考点】
函数的图象
函数奇偶性的判断
【解析】
利用函数的奇偶性和特殊值排除即可求解.
【解答】
解：设fx=ln|x|x，
则f−x=ln|−x|−x=ln|x|−x=−fx，
∴ fx是奇函数，排除A，B；
当x趋近于+∞时，y>0，故排除D.
故选C.
9.
【答案】
A
【考点】
简单线性规划
求线性目标函数的最值
【解析】
首先画出可行域，设t=−2x+y，并令t=0，作出初始目标函数y=−2x表示的直线，根据图象判断目标函数的最大值.
【解答】
解：作出可行域如图所示：
易得A(1,4)，B2,0，C1,−1，
令t=−2x+y，即y=2x+t，
当直线y=2x+t过点B时，
此时直线y=2x+t在y轴上的截距最小，t取得最小值，
将B2,0代入t=−2x+y可得，
tmin=−2×2+0=−4，
此时z=3−2x+y 有最小值，
最小值为zmin=3−4=181.
故选A.
10.
【答案】
D
【考点】
基本不等式在最值问题中的应用
利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】
求函数的导数，由已知切线的方程，可得切线的斜率，求得切线的坐标，可得a+b=1，再由乘1法和基本不等式，即可得到所求最小值．
【解答】
解：根据y=ln(x+b)得y′=1x+b,
由切线的方程y=x−a可得切线的斜率为1，
可得切点的横坐标为1−b，
∴ 切点为(1−b,0)，
代入y=x−a，得a+b=1，
∵ a，b为正实数，
∴ 1a+2b=a+b1a+2b
=3+ba+2ab≥3+22，
当且仅当ba=2ab，a+b=1，
即a=2−1，b=2−2时取等号，
故1a+2b的最小值为3+22.
故选D．
11.
【答案】
A
【考点】
函数恒成立问题
利用导数研究不等式恒成立问题
利用导数研究函数的最值
【解析】
先利用导数求得函数fx在区间1,2上的最小值，再分b≤0，b≥1，及0
解：若对于∀x1∈1,2，∃x2∈0,1，使fx1≥gx2成立，
只需fx1min≥gx2min.
因为fx=13x3−4x+13，
所以f′(x)=x2−4，
当x∈1,2时，f′x≤0，
所以fx在1,2上单调递减，
所以函数fx在x=2处取得最小值f(2)=−5，
因为gx=x2−2bx+1
=x−b2+1−b2，
当b≤0时，gx在[0,1]上单调递增，
在x=0处gx取得最小值，g(x)min=g0=1，
因为对于∀x1∈1,2，∃x2∈0,1，
使f(x1)≥gx2成立，所以−5≥1，不成立；
当b≥1时，gx在[0,1]上单调递减，
在x=1处取得最小值，g(x)min=g1=2−2b，
因为对于∀x1∈1,2，∃x2∈0,1，
使f(x1)≥gx2成立，所以−5≥2−2b，
解得b≥72，此时b≥72；
当0
因为对于∀x1∈1,2，∃x2∈0,1，
使f(x1)≥gx2成立，所以−5≥1−b2，
解得b≤−6或b≥6，此时无解；
综上，实数b的取值范围是[72,+∞)．
故选A.
12.
【答案】
A
【考点】
函数奇偶性的性质
函数的定义域及其求法
不等式恒成立问题
奇偶性与单调性的综合
函数单调性的性质
【解析】
本题考查函数的性质，先求解出定义域．
【解答】
解：x+1>0，1−x≥0，
解得−1
令mx=ex−e−x+sinx，
则m−x=e−x−ex+sin(−x)
=−(ex−e−x+sinx)=−m(x)，
∴ mx是R上的奇函数，
又m′(x)=ex+e−x+csx≥2+csx>0显然恒成立，
∴ m(x)是增函数，
∴g2x+a+gx2−1
=m2x+a+mx2−1+2>2，
∴m2x+a+mx2−1>0，
∴m2x+a>−m(x2−1)，
由m(x)是R上的奇函数且为增函数，
∴m2x+a>m(1−x2)，
∴2x+a>1−x2，
∴a>−x2−2x+1=−x+12+2，
当x∈−1,1时，−x+12+2<2，
∴a≥2.
故选A.
二、填空题
【答案】
2
【考点】
数量积判断两个平面向量的垂直关系
向量的模
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：∵ a→⊥b→，
∴ a→⋅b→=2×(−1)+(−2)×m=0，
解得m=−1，
∴ b→=(−1,−1)，
∴ |b→|=(−1)2+(−1)2=2．
故答案为：2.
【答案】
3+1
【考点】
等差中项
数列与三角函数的综合
余弦定理
正弦定理
【解析】
由a，b，c成等差数列可得2b=a+c结合B=30∘而要求b故不能采用正弦定理而采用余弦定理即csB=a2+c2−b22ac=32
再利用面积公式可得12acsinB=32然后代入化简即可求值．
【解答】
解：∵ a，b，c成等差数列，
∴ 2b=a+c①.
又∵ △ABC的面积为32，
∴ 12acsinB=32②，
∴ ac=6.
又∵ csB=a2+c2−b22ac=32③，
∴ 由①②③知，
(a+c)2−2ac−b22ac=3b2−1212=32，
∴ b2=4+23=(3+1)2.
又∵ b>0，
∴ b=3+1.
故答案为：3+1.
【答案】
−23
【考点】
利用导数研究函数的极值
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：函数f(x)=x3+ax2+bx−a2−7a，
所以f′(x)=3x2+2ax+b，
因为x=1时，f(x)取得极大值10，
所以f′(1)=3+2a+b=0，f(1)=1+b−a2−6a=10，
解得a=−2，b=1或a=−6，b=9，
经检验当a=−2，b=1时f(x)取得极小值，舍去．
所以a=−6，b=9．
所以ab=−69=−23.
故答案为：−23.
【答案】
(−∞,34)∪(1,+∞)
【考点】
利用导数研究函数的单调性
分段函数的应用
利用导数研究函数的极值
函数的零点与方程根的关系
【解析】
本题考查了函数的性质的判断与应用．
【解答】
解：直线kx−y−3=0关于直线y=−2对称的直线l的方程为kx−−4−y−3=0，
即kx+y+1=0，对应的函数为y=−kx−1，
所以，直线l与函数y=fx的图象有两个交点，
对于一次函数y=−kx−1，
当x=0时，y=−1，且f0=0，
则直线l与函数y=fx的图象交点的横坐标不可能为0．
当x≠0时，令−kx−1=fx，可得−k=fx+1x，
此时，令gx=fx+1x，
则g(x)=lnx+1x−2，x>0，x+1x+54，x<0，
当x>0时，g′x=1x−1x2=x−1x2，
当0
此时，函数y=gx在区间0,1上单调递减，在区间1,+∞上单调递增，
函数y=gx的极小值为g1=−1；
当x<0时，g′x=1−1x2=x2−1x2，
当x<−1时，g′x>0，
当−1
函数y=gx的极大值为g−1=−34，
作出函数y=−k和函数y=gx的图象如图所示：
由图象可知，当−k<−1或−k>−34时，
即当k<34或k>1时，直线y=−k与函数y=gx的图象有两个交点．
综上，实数k的取值范围是(−∞,34)∪(1,+∞)．
故答案为：(−∞,34)∪(1,+∞)．
三、解答题
【答案】
解：(1)由fx=m→⋅n→=cs2x+3sinxcsx，
fx=12cs2x+32sin2x+12
=sin2x+π6+12.
∵−π2≤x≤0，
∴−5π6≤2x+π6≤π6，
∴ sin2x+π6∈−1,12，
则fx的值域为−12,1 .
(2)∵ fα2+π6=1110，
∴ sin2α2+π6+π6+12=1110，
则sinα+π2=35，即csα=35.
又α为第一象限的角，则sinα=45，
sinα+π4cs(2π+2α)=22(sinα+csα)cs2α
=22(sinα+csα)cs2α−sin2α，
则 sinα+π4cs2π+2α=22csα−sinα=−522 .
【考点】
平面向量数量积
正弦函数的定义域和值域
两角和与差的正弦公式
三角函数的恒等变换及化简求值
诱导公式
【解析】
（1）由fx=m→⋅n→=cs2x+3sinxcsx，fx=12cs2x+32sin2x+12−sin2x+π6+12,∵π2≤x≤0,∴−5π6≤2x+π6≤π6，
∴ sin2x+π6∈−1,12，则fx的值域为−12,1 .
（2）∵ fα2+π6=1110，∴ sin2α2+π6+π6+12=1110，
则sinα+π2−35即csα−35，又α为第一象限的角，则sinα=45，
sinα+π4cs(2π+2α)=22(sinα+csα)cs2α=22(sinα+csα)cs2α−sin2α，
则 sinα+π4cs2π+2α=22csα−sinα=−522 .
【解答】
解：(1)由fx=m→⋅n→=cs2x+3sinxcsx，
fx=12cs2x+32sin2x+12
=sin2x+π6+12.
∵−π2≤x≤0，
∴−5π6≤2x+π6≤π6，
∴ sin2x+π6∈−1,12，
则fx的值域为−12,1 .
(2)∵ fα2+π6=1110，
∴ sin2α2+π6+π6+12=1110，
则sinα+π2=35，即csα=35.
又α为第一象限的角，则sinα=45，
sinα+π4cs(2π+2α)=22(sinα+csα)cs2α
=22(sinα+csα)cs2α−sin2α，
则 sinα+π4cs2π+2α=22csα−sinα=−522 .
【答案】
解：(1)在公差d不为零的等差数列an中，
a3=7，又a2，a4，a9成等比数列，
可得a1+2d=7，
a42=a2a9，
即a1+2d=7，a1+3d2=a1+da1+8d，
解得a1=1，d=3，
则an=a1+n−1d
=1+3n−1
=3n−2.
(2)bn=1anan+1
=13n−23n+1
=1313n−2−13n+1，
所以前n项和Sn=b1+b2+⋯+bn
=13×(11−14)+13×(14−17)+⋯+
13×13n−2−13n+1
=13×(1−14+14−17+⋯+13n−2−13n+1)
=13×(1−13n+1)
=n3n+1．
【考点】
等差数列的通项公式
数列的求和
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)在公差d不为零的等差数列an中，
a3=7，又a2，a4，a9成等比数列，
可得a1+2d=7，
a42=a2a9，
即a1+2d=7，a1+3d2=a1+da1+8d，
解得a1=1，d=3，
则an=a1+n−1d
=1+3n−1
=3n−2.
(2)bn=1anan+1
=13n−23n+1
=1313n−2−13n+1，
所以前n项和Sn=b1+b2+⋯+bn
=13×(11−14)+13×(14−17)+⋯+
13×13n−2−13n+1
=13×(1−14+14−17+⋯+13n−2−13n+1)
=13×(1−13n+1)
=n3n+1．
【答案】
解：(1)∵ acsC+3asinC−b−c=0，
∴ sinAcsC+3sinAsinC−sinB−sinC=0，
又∵ sinB+sinC=sin(A+C)+sinC，
∴ sinAcsC+3sinAsinC
=sinAcsC+sinCcsA+sinC，
∵ sinC≠0，
∴ 3sinA−csA=1，
∴ sin(A−π6)=12，
∵ A∈(0,π)，
∴ A−π6∈(−π6,5π6)，
∴ A−π6=π6，
∴ A=π3.
(2)由S△ABC=12bcsinA=3⇔bc=4，
由余弦定理可得，
a2=b2+c2−2bccsA
=(b+c)2−2bc−2bccsA，
即4=(b+c)2−3bc=(b+c)2−12，
∴ b+c=4，
解得：b=c=2．
【考点】
正弦定理
两角和与差的正弦公式
余弦定理
三角形的面积公式
【解析】
(1)由正弦定理及两角和的正弦公式可得sinAcsC+3sinAsinC=sinB+sinC=sin(A+C)+sinC=sinAcsC+sinCcsA+sinC，整理可求A．
(2)由(1)所求A及S=12bcsinA可求bc，然后由余弦定理，a2=b2+c2−2bccsA=(b+c)2−2bc−2bccsA可求b+c，进而可求b，c．
【解答】
解：(1)∵ acsC+3asinC−b−c=0，
∴ sinAcsC+3sinAsinC−sinB−sinC=0，
又∵ sinB+sinC=sin(A+C)+sinC，
∴ sinAcsC+3sinAsinC
=sinAcsC+sinCcsA+sinC，
∵ sinC≠0，
∴ 3sinA−csA=1，
∴ sin(A−π6)=12，
∵ A∈(0,π)，
∴ A−π6∈(−π6,5π6)，
∴ A−π6=π6，
∴ A=π3.
(2)由S△ABC=12bcsinA=3⇔bc=4，
由余弦定理可得，
a2=b2+c2−2bccsA
=(b+c)2−2bc−2bccsA，
即4=(b+c)2−3bc=(b+c)2−12，
∴ b+c=4，
解得：b=c=2．
【答案】
解：(1)fx=2x3−3x2−12x+m，
f′x=6x2−6x−12，
故f′1=−12，
又当m=1时，
f1=2×13−3×12−12×1+1=−12，
故所求的切线方程为y+12=−12x−1，
即y=−12x．
(2)f′x=6x2−6x−12
=6x2−x−2
=6x+1x−2，
令f′x=0，得x=−1或x=2，
故当x∈−∞,−1时，f′x>0，
当x∈−1,2时，f′x<0，
当x∈2,+∞时，f′x>0，
故当x=−1时，函数fx有极大值，
f−1=2×−13−3×(−1)2−12×−1+m
=m+7，
当x=2时，函数fx有极小值，
f2=2×23−3×22−12×2+m
=m−20，
若函数fx有3个零点，实数m满足m+7>0，m−20<0，
解得−7
【考点】
利用导数研究曲线上某点切线方程
利用导数研究函数的极值
利用导数研究函数的单调性
利用导数研究与函数零点有关的问题
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)fx=2x3−3x2−12x+m，
f′x=6x2−6x−12，
故f′1=−12，
又当m=1时，
f1=2×13−3×12−12×1+1=−12，
故所求的切线方程为y+12=−12x−1，
即y=−12x．
(2)f′x=6x2−6x−12
=6x2−x−2
=6x+1x−2，
令f′x=0，得x=−1或x=2，
故当x∈−∞,−1时，f′x>0，
当x∈−1,2时，f′x<0，
当x∈2,+∞时，f′x>0，
故当x=−1时，函数fx有极大值，
f−1=2×−13−3×(−1)2−12×−1+m
=m+7，
当x=2时，函数fx有极小值，
f2=2×23−3×22−12×2+m
=m−20，
若函数fx有3个零点，实数m满足m+7>0，m−20<0，
解得−7
【答案】
解：(1)因为a1+a2+⋯+an=an+1−1，
当n≥2时，a1+a2+⋯+an−1=an−1，
两式相减得an+1=2an(n≥2)，
当n=1时，a2=a1+1=2，
所以a2=2a1；
所以数列an是首项为1，公比为2的等比数列，
则an=2n−1．
数列bn中，b1=1，
满足bn=nn−1bn−1(n>1，n∈N∗)，
即bnbn−1=nn−1，
bn−1bn−2=n−1n−2，
bn−2bn−3=n−2n−3，
⋯
b3b2=32，
b2b1=21，
等式左右两边分别相乘可得bnb1=n1，
而b1=1，
所以bn=n．
(2)cn=an⋅bn，
由(1)可得cn=n⋅2n−1，数列cn的前n项和为Tn．
则Tn=1+2×21+3×22+⋯+
n−2×2n−3+n−1×2n−2+n×2n−1，
2Tn=1×21+2×22+3×23+⋯+
n−2×2n−2+n−1×2n−1+n×2n，
两式相减可得−Tn=1+21+22+23+⋯+
2n−2+2n−1−n×2n
=1−2n1−2−n×2n
=2n−1−n×2n，
所以Tn=n−1×2n+1，
因为Tn=n−1×2n+1为递增数列，
所以Tn=n−1×2n+1≥T1=1，
故Tn>16m2−5m恒成立，只需1≥16m2−5m，
变形可得m+1m−6≤0，
所以−1≤m≤6，即最大正整数m值为6．
【考点】
数列递推式
数列的求和
不等式恒成立问题
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)因为a1+a2+⋯+an=an+1−1，
当n≥2时，a1+a2+⋯+an−1=an−1，
两式相减得an+1=2an(n≥2)，
当n=1时，a2=a1+1=2，
所以a2=2a1；
所以数列an是首项为1，公比为2的等比数列，
则an=2n−1．
数列bn中，b1=1，
满足bn=nn−1bn−1(n>1，n∈N∗)，
即bnbn−1=nn−1，
bn−1bn−2=n−1n−2，
bn−2bn−3=n−2n−3，
⋯
b3b2=32，
b2b1=21，
等式左右两边分别相乘可得bnb1=n1，
而b1=1，
所以bn=n．
(2)cn=an⋅bn，
由(1)可得cn=n⋅2n−1，数列cn的前n项和为Tn．
则Tn=1+2×21+3×22+⋯+
n−2×2n−3+n−1×2n−2+n×2n−1，
2Tn=1×21+2×22+3×23+⋯+
n−2×2n−2+n−1×2n−1+n×2n，
两式相减可得−Tn=1+21+22+23+⋯+
2n−2+2n−1−n×2n
=1−2n1−2−n×2n
=2n−1−n×2n，
所以Tn=n−1×2n+1，
因为Tn=n−1×2n+1为递增数列，
所以Tn=n−1×2n+1≥T1=1，
故Tn>16m2−5m恒成立，只需1≥16m2−5m，
变形可得m+1m−6≤0，
所以−1≤m≤6，即最大正整数m值为6．
【答案】
解：(1)f(x)=12x2−alnx−a(1≤x≤e)，
f′(x)=x−ax=x2−ax，x∈[1, e]，x2∈[1,e2]，
当a≤1时，f′(x)≥0恒成立，
所以f(x)在[1, e]上单调递增，
f(x)min=f(1)=12−a．
当a≥e2时，f′(x)≤0恒成立，
所以f(x)在[1, e]上单调递减，
f(x)min=f(e)=e22−2a.
当1
令f′(x)>0，则x∈(a,e]，f(x)在(a,e]上单调递增，
所以f(x)min=f(a)=−a2−a2lna.
综上，当a≤1时，f(x)min=12−a，
当1
(2)g(x)=ex−x−1，x∈[0,1]，
因为g′(x)=ex−1≥0当且仅当x=0时，导数值为0，
x∈[0, 1]时，g′(x)≥0，所以g(x)在[0,1]上单调递增，
g(0)=0，g(1)=e−2，
g(x)的值域为[0, e−2]．
结合(1)可得，
(i)当a≤1时，f(x)在[1, e]上单调递增，
又f(1)=12−a，
f(e)=e22−2a，
所以12−a≤0，e22−2a≥e−2，
即12≤a≤1．
(ii)当a≥e2时，
因为f(x)在[1, e]上单调递减，且f(x)≤f(1)=12−a<0，
所以不符合题意，舍去．
(iii)当1
且f(1)=12−a<0，
f(a)=−12a−a2lna<0，
所以只需f(e)=e22−2a≥e−2，
解得1
【考点】
利用导数研究函数的最值
函数的值域及其求法
函数恒成立问题
【解析】
（I）求出f′(x)=x2−ax，通过10．a≤1时，20．a≥e2时，30.1
解：(1)f(x)=12x2−alnx−a(1≤x≤e)，
f′(x)=x−ax=x2−ax，x∈[1, e]，x2∈[1,e2]，
当a≤1时，f′(x)≥0恒成立，
所以f(x)在[1, e]上单调递增，
f(x)min=f(1)=12−a．
当a≥e2时，f′(x)≤0恒成立，
所以f(x)在[1, e]上单调递减，
f(x)min=f(e)=e22−2a.
当1
令f′(x)>0，则x∈(a,e]，f(x)在(a,e]上单调递增，
所以f(x)min=f(a)=−a2−a2lna.
综上，当a≤1时，f(x)min=12−a，
当1
(2)g(x)=ex−x−1，x∈[0,1]，
因为g′(x)=ex−1≥0当且仅当x=0时，导数值为0，
x∈[0, 1]时，g′(x)≥0，所以g(x)在[0,1]上单调递增，
g(0)=0，g(1)=e−2，
g(x)的值域为[0, e−2]．
结合(1)可得，
(i)当a≤1时，f(x)在[1, e]上单调递增，
又f(1)=12−a，
f(e)=e22−2a，
所以12−a≤0，e22−2a≥e−2，
即12≤a≤1．
(ii)当a≥e2时，
因为f(x)在[1, e]上单调递减，且f(x)≤f(1)=12−a<0，
所以不符合题意，舍去．
(iii)当1
且f(1)=12−a<0，
f(a)=−12a−a2lna<0，
所以只需f(e)=e22−2a≥e−2，
解得1
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