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2020-2021学年江西省赣州市高三（上）期末考试数学（文）试卷北师大版
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这是一份2020-2021学年江西省赣州市高三（上）期末考试数学（文）试卷北师大版，共11页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 已知R为实数集，集合A=x|y=lgx+3， B=x|x≥2，则∁RA∪B=( )
A.{x|x<−3}B.x|x>−3C.x|x≤−3D.x|−3
2. 已知复数z=a+i1+ia∈R是纯虚数，则|z|的值为( )
A.1B.2C.12D.−1
3. 对具有线性相关关系的变量x，y，有一组观测数据xi,yii=1,2,⋯,8，其回归直线方程是y=−4x+a，且x1+x2+⋯+x8=2 ，y1+y2+⋯+y8=−32，则实数a的值为( )
A.−5B.−24C.5D.−3
4. 如图，正方形的边长为a，以A，C为圆心，正方形边长为半径分别作圆，在正方形内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是( )
A.2−π2B.2−π3C.π3−1D.π2−1
5. 已知等差数列an的前n项和为Sn，若2a4−a2=3，则S11=( )
A.30B.33C.36D.66
6. 已知函数fx的图像向左平移π6个单位后，得到函数gx=cs2x的图像，则函数fx的单调递增区间为( )
A.kπ−5π12,kπ+π12,k∈ZB.kπ+π6,kπ+2π3,k∈Z
C.kπ−π3,kπ+π6,k∈ZD.kπ−2π3,kπ−π6,k∈Z
7. 已知函数y=lgax−1+2a>0,a≠1恒过定点A，则过点B1,1且以A点为圆心的圆的方程为( )
A.x−12+y−22=1B.x−22+y−22=2
C.x+12+y−22=5D.(x−2)2+(y+2)2=10
8. 已知a=2sinπ6，b=tan7π62，c=lg3cs11π6，则a，b，c的大小为( )
A.a>b>cB.a>c>bC.b>a>cD.b>c>a
9. 设定义域为R的奇函数fx在0,+∞上为增函数，且f−4=0，则不等式f−x−fxx>0的解集是( )
A.−4,0∪4,+∞B.−∞,−4∪0,4
C.−4,0∪0,4D.−∞,−4∪4,+∞
10. 我们学过用角度制与弧度制度量角，最近，有学者提出“面度制”去度量角，因为在半径不同的同心圆中，同样的圆心角所对扇形的面积与半径平方之比是常数，从而称这个常数为该角的面度数，这种用面度作为单位来度量角的单位制，叫做面度制．在面度制下，角θ的面度数为π3，则角θ的余弦值为( )
A.−32B.−12C.12D.32
11. 如图是某四面体ABCD水平放置时的三视图（图中网格纸的小正方形的边长为1，则四面体ABCD外接球的体积为( )
A.500π3B.100π3C.125π6D.20π
12. 若F1，F2是双曲线y2a2−x2b2=1a>0,b>0 与椭圆x216+y225=1的共同焦点，点P是两曲线的一个交点，且△PF1F2为等腰三角形，则该双曲线的渐近线方程是( )
A.y=±22xB.y=±24xC.y=±73xD.y=±377x
二、填空题
已知向量a→=m,−1，b→=−2,−m+1，若a→⊥a→+b→，则m=________.
若曲线y=xlnx+1在x=1处的切线与直线2ax−a−1y+3=0垂直，则a=________.
已知不等式 x−y≤03x−y−2≥0x+y−6≤0 表示的平面区域为D，若存在x,y∈D，使得不等式x−2y−t≥0成立，则实数t的最大值为________.
已知数列an的首项a1=2，前n项和为Sn，且Sn+Sn+1=2n+1−1n∈N∗，则S11=________.
三、解答题
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且acsB=2c−bcsA.
(1)求A；
(2)已知b=3，若AB→+AC→=2AM→且 |AM→|=132，求△ABC的面积．
如图，一简单组合体的一个面ABC内接于圆O，AB是圆O的直径，矩形BCDE所在的平面垂直于圆O所在的平面．
(1)证明：平面ADE⊥平面ADC；
(2)若AB=2，AC=1，∠EAB=45∘ ，试求该简单组合体的体积．
2021届高考体检工作即将开展，为了了解高三学生的视力情况，某校医务室提前对本校的高三学生视力情况进行调查，在高三年级1000名学生中随机抽取了100名学生的体检数据，并得到如图的频率分布直方图．
(1)若直方图中前四组的频数依次成等比数列，试估计全年级高三学生视力的中位数（精确到0.01）；
(2)该校医务室发现，学习成绩突出的学生，近视的比较多，为了研究学生的视力与学习成绩是否有关系，对抽取的100名学生名次在1∼100名和101∼1000名的学生的体检数据进行了统计，得到如表中的数据，根据表中的数据，能否在犯错的概率不超过0.05的前提下认为视力与学习成绩有关系？
(3)在(2)中调查的不近视的学生中按照分层抽样抽取了6人，进一步调查他们良好的护眼习惯，求在这6人中任取2人，至少有1人的年级名次在1∼100名的概率．
K2=nad−bc2a+bc+da+cb+d，其中n=a+b+c+d.
已知函数fx=exx−k1x+lnx，其中k为常数， e=2.71828⋯为自然对数的底数．
(1)若k=e2，求函数fx的极值；
(2)若函数fx在区间1,2上单调，求k的取值范围．
如图，已知抛物线M:x2=2pyp>0的焦点为F0,1，过焦点F作直线交抛物线于A，B两点，在A，B两点处的切线相交于N，再分别过A，B两点作准线的垂线，垂足分别为C，D．
(1)求证：点N在定直线上；
(2)是否存在点N，使得△BDN的面积是△ACN的面积和△ABN的面积的等差中项，若存在，请求出点N的坐标，若不存在，请说明理由．
在直角坐标系xOy中，已知过点Pm,0的直线l的参数方程是x=m+22t,y=22t, （t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=2csθ．
(1)求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；
(2)若直线l和曲线C交于A，B两点，且|PA|⋅|PB|=1，求实数m的值．
参考答案与试题解析
2020-2021学年江西省赣州市高三（上）期末考试数学（文）试卷
一、选择题
1.
【答案】
C
【考点】
交、并、补集的混合运算
【解析】
化简集合A，再利用集合的运算求解即可.
【解答】
解：∵ 集合A=x|y=lgx+3 ={x|x>−3}，
B=x|x≥2，
∴ A∪B={x|x>−3}，
则∁RA∪B= x|x≤−3 .
故选C.
2.
【答案】
A
【考点】
复数代数形式的乘除运算
复数的模
【解析】
设a+i1+i=bi，其中b∈R，b≠0，则a+i=−b+bi，解得a=−1，b=1．再由复数模的计算公式求解．
【解答】
解：设a+i1+i=bi，其中b∈R，b≠0，
则a+i=−b+bi，
解得b=1，a=−1，
∴z=i，
则|z|=1.
故选A.
3.
【答案】
D
【考点】
求解线性回归方程
【解析】
利用回归直线方程为y=−4x+a经过样本中心值(14，−4)，求解即可.
【解答】
解：∵ x¯=18(x1+x2+…+x8)=14，
y¯=18(y1+y2+…+y8)=−4，
∴ 回归直线方程为y=−4x+a经过(14,−4)，
∴ −4=−4×14+a，
解得a=−3.
故选D.
4.
【答案】
D
【考点】
几何概型计算（与长度、角度、面积、体积有关的几何概型）
【解析】
将阴影部分拆分成两个小弓形，从而可求解出阴影部分面积，根据几何概型求得所求概率．
【解答】
解：阴影部分可拆分为面积相等的两部分，
则阴影部分面积S阴影部分=2×(14πa2−12a2)=12πa2−a2，
正方形面积S=a2，
∴ 所求概率P=S阴影部分S=π2−1，
故选D．
5.
【答案】
B
【考点】
等差数列的前n项和
等差中项
【解析】
利用等差数列通项得到a1+5d=a6=3，再利用等差数列性质与求和即可得到答案.
【解答】
解：设等差数列an的公差为d.
∵ 2a4−a2=3，
∴ 2(a1+3d)−(a1+d)=3，
即a1+5d=a6=3，
∴ S11=11×a1+a112=11a6=33.
故选B.
6.
【答案】
C
【考点】
余弦函数的单调性
函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】
注意三角函数单调性
【解答】
解：将函数g(x)=cs2x的图像向右平移π6个单位得到
fx=cs2x−π6=cs2x−π3.
又∵ 余弦函数的单调递增区间为 −π+2kπ,2kπ,k∈Z，
∴ −π+2kπ≤2x−π3≤2kπ，
即−2π3+2kπ≤2x≤π3+2kπ ，
∴ −π3+kπ≤x≤π6+kπk∈Z
∴fx 的单调递增区间为 −π3+kπ,π6+kπ(k∈Z)．
故选C．
7.
【答案】
B
【考点】
点与圆的位置关系
对数及其运算
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：因为 y=lgax−1+2a>0,a≠1，且lga1=0，
则y=lgax−1恒过2,0，
所以y=lgax−1+2恒过(2,2)，
所以A(2,2).
设圆的半径为r，则以定点(2,2)为圆心的圆方程为
(x−2)2+(y−2)2=r2 ,
因为该圆还过点B(1,1)，
所以r2=2，
则过点B1,1且以A点为圆心的圆的方程为
(x−2)2+(y−2)2=2 .
故选B．
8.
【答案】
A
【考点】
根式与分数指数幂的互化及其化简运算
诱导公式
指数式、对数式的综合比较
【解析】
分别对条件中的三个数化简，
判断出它们的值的大致范围即可.
【解答】
解：∵a=2sinπ6=212=2>1，
b=tan7π62=−tanπ62=−332=13，
c=lg3cs11π6=lg3csπ6=lg332<0，
∴a>b>c.
故选A.
9.
【答案】
C
【考点】
函数奇偶性的性质
函数单调性的性质
【解析】
根据函数为奇函数，将原不等式作等价转换为xfx<0；
再根据已知条件判断函数在−∞,0上的单调性，最后可
结合草图写出解集.
【解答】
解：∵函数fx为R上的奇函数，
∴ fx=−f−x，
∴f−x−fxx>0⇔−2fxx>0⇔xfx<0.
又fx在0,+∞上为增函数，
∴fx在−∞,0上也是增函数.
∵ f−4=0，
∴f4=0.
当x<0时，由xfx<0解得：−4当x>0时，由xfx<0解得：0综合得，原不等式的解集为：−4,0∪0,4.
故选C.
10.
【答案】
B
【考点】
扇形面积公式
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：设圆心角为θ,
∵ 扇形面积公式S扇=12|θ|r2，
∴面度数=S扇r2=12|θ|r2r2=12|θ|=π3，
∴θ=2π3，
∴ csθ=cs2π3=−12 .
故选B．
11.
【答案】
C
【考点】
由三视图求外接球问题
球的表面积和体积
【解析】
根据图形可知底面三角形接圆直径为4，高为3的侧棱垂直于底面，得出外接球直径为5，从而求出外接球的体积．
【解答】
解：由三视图得底面三角形外接圆的直径为4.
∵高为3的侧棱垂直于底面，
∴外接球半径为(32)2+22=52，
∴外接球的体积为4π3×523=125π6．
故选C.
12.
【答案】
B
【考点】
双曲线的渐近线
圆锥曲线的综合问题
【解析】
本题考查椭圆和双曲线的定义及其标准方程以及它们的几何性质．
【解答】
解：∵椭圆x216+y225=1 ，
∴ 焦点坐标为(0,±3) ，
∵ 双曲线与椭圆有共同的焦点，
∴c=3.
设P为两曲线在第一象限的交点，
∵ 在椭圆中△PF1F2为等腰三角形，
∴|PF2|=|F1F2|=6，
∴|PF1|=2a−|F2P|=10−6=4，
∴ 双曲线中， 2a=||PF1|−|PF2||=|4−6|=2 ，
∴a=1，
代入a2+b2=9，得b=22（b>0），
∴该双曲线的渐近线方程是
y=±abx=±122x=±24x.
故选B．
二、填空题
【答案】
0或1
【考点】
向量的数量积判断向量的共线与垂直
平面向量的坐标运算
【解析】
先求出a→+b→=(m−2,−m)，再利用两向量垂直，两向量数量积为零，列方程求解即可.
【解答】
解：因为向量a→=m,−1，b→=−2,−m+1，
所以a→+b→=(m−2,−m).
因为a→⊥a→+b→，
所以m(m−2)+m=0，
解得m=0或m=1.
故答案为：0或1.
【答案】
13
【考点】
利用导数研究曲线上某点切线方程
两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系
【解析】
先求出曲线y=xlnx+1在x=1处的切线斜率为1，再利用两直线垂直的斜率关系得到2aa−1=−1，解方程即可.
【解答】
解：因为曲线y=xlnx+1，
则y′=1+lnx，
所以曲线y=xlnx+1在x=1处的切线斜率为1.
因为曲线y=xlnx+1在x=1处的切线与
直线2ax−a−1y+3=0垂直，
所以直线2ax−a−1y+3=0的斜率为−1，
即2aa−1=−1，
解得a=13.
故答案为：13.
【答案】
−1
【考点】
简单线性规划
求线性目标函数的最值
【解析】
本题考查了线性归划求解z=ax+by的最值问题，考查数形结合思想．
【解答】
解：如图，阴影部分为D.
令z=x−2y，
∴y=x2−z2 ，
结合图象可知，过点 1,1 的y轴截距最小，
z值最大，此时z=−1 ，
∴tmax=−1 .
故答案为：−1．
【答案】
1366或写成46+23
【考点】
数列的求和
数列递推式
【解析】
由题意可得n∈N∗,Sn+Sn+1=2n+1−1,Sn+1+Sn+2=2n+2−1.两式相减，得Sn+2−Sn+1=2n+2−2n+1=2n+1，然后累加即可求出.
【解答】
解：因为对一切n∈N∗，Sn+Sn+1=2n+1−1，
所以Sn+1+Sn+2=2n+2−1,
两式相减，得Sn+2−Sn=2n+2−2n+1=2n+1，
于是S11−S9=210，
S9−S7=28，
S7−S5=26，
S5−S3=24，
S3−S1=22，
累加，得S11−S1=210+28+26+24+22
=22(1−210)1−4=212−43，
又S1=a1=2，
所以S11=212−43+2=46+23=1366.
故答案为：1366或写成46+23.
三、解答题
【答案】
解：(1)因为acsB=2c−bcsA，
由正弦定理得sinAcsB=2sinC−sinBcsA，
即sinAcsB+sinBcsA=2sinCcsA，即sin(A+B)=2sinCcsA，
所以sinC=2sinCcsA．
因为在△ABC中sinC≠0，
所以csA=12．
因为0所以A=π3．
(2)由AB→+AC→=2AM→两边平方得
AB→2+AC→2+2AB→⋅AC→=4AM→2.
因为b=3，|AM→|=132，
所以9+c2+2×3×12⋅c=4×1322，
即c2+3c−4=0，
解得c=1或c=−4（舍去），
所以△ABC的面积为
S=12bccsA=12×3×1×32=334．
【考点】
正弦定理
平面向量数量积
解三角形
【解析】
无
无
【解答】
解：(1)因为acsB=2c−bcsA，
由正弦定理得sinAcsB=2sinC−sinBcsA，
即sinAcsB+sinBcsA=2sinCcsA，即sin(A+B)=2sinCcsA，
所以sinC=2sinCcsA．
因为在△ABC中sinC≠0，
所以csA=12．
因为0所以A=π3．
(2)由AB→+AC→=2AM→两边平方得
AB→2+AC→2+2AB→⋅AC→=4AM→2.
因为b=3，|AM→|=132，
所以9+c2+2×3×12⋅c=4×1322，
即c2+3c−4=0，
解得c=1或c=−4（舍去），
所以△ABC的面积为
S=12bccsA=12×3×1×32=334．
【答案】
(1)证明：因为△ABC内接于圆O，且AB为直径，
所以BC⊥AC.
在矩形BCDE中，BC⊥DC且AC与DC相交于点C，
所以BC⊥平面ADC.
而BC//ED，
所以ED⊥平面ADC，
因此平面ADE⊥平面ADC.
(2)解：由题知EB⊥BC，平面BCDE⊥平面ABC，
且平面BCDE∩平面ABC=BC，
所以EB⊥平面ABC，
所以EB⊥AB .
又因为∠EAB=45∘，
所以EB=AB=2.
同理AC⊥平面BCDE，
在Rt△ABC中，BC=22−12=3，
所以矩形BCDE的面积为23，
因此该简单组合体的体积V=13×23×1=233.
【考点】
平面与平面垂直的判定
直线与平面垂直的判定
平面与平面垂直的性质
组合几何体的面积、体积问题
【解析】
无
无
【解答】
(1)证明：因为△ABC内接于圆O，且AB为直径，
所以BC⊥AC.
在矩形BCDE中，BC⊥DC且AC与DC相交于点C，
所以BC⊥平面ADC.
而BC//ED，
所以ED⊥平面ADC，
因此平面ADE⊥平面ADC.
(2)解：由题知EB⊥BC，平面BCDE⊥平面ABC，
且平面BCDE∩平面ABC=BC，
所以EB⊥平面ABC，
所以EB⊥AB .
又因为∠EAB=45∘，
所以EB=AB=2.
同理AC⊥平面BCDE，
在Rt△ABC中，BC=22−12=3，
所以矩形BCDE的面积为23，
因此该简单组合体的体积V=13×23×1=233.
【答案】
解：(1)由图可知，第三组和第六组的频数为
100×0.8×0.2=16（人），
第五组的频数为100×1.2×0.2=24（人），
所以前四组的频数和为100−24+16=60（人）.
而前四组的频数依次成等比数列，
故第一组的频数为4人，第二组的频数为8人，
第四组的频数为32人，
所以中位数落在第四组，设为x，
因此有x−−4+8+1632
（或1.6(x−4.6)=0.22），
解得x=4.7375，
所以中位数是4.74．
(2)因为K2=100×40×20−30×10250×50×70×30，
所以K2=10021≈4.762，
所以K2>3.841，
因此在犯错的概率不超过0.05的前提下认为视力与学习成绩有关系．
(3)依题意按照分层抽样在不近视的学生中抽取的6人中，
年级名次在1∼100名和101∼1000名的分别有2人和4人，
从6人中任意抽取2人的基本事件共15个，
至少有1人来自于1∼100名的基本事件有9个，
所以至少有1人的年级名次在1∼100名的概率为
P=915=35．
【考点】
众数、中位数、平均数
独立性检验的应用
分层抽样方法
古典概型及其概率计算公式
【解析】
无
无
无
【解答】
解：(1)由图可知，第三组和第六组的频数为
100×0.8×0.2=16（人），
第五组的频数为100×1.2×0.2=24（人），
所以前四组的频数和为100−24+16=60（人）.
而前四组的频数依次成等比数列，
故第一组的频数为4人，第二组的频数为8人，
第四组的频数为32人，
所以中位数落在第四组，设为x，
因此有x−−4+8+1632
（或1.6(x−4.6)=0.22），
解得x=4.7375，
所以中位数是4.74．
(2)因为K2=100×40×20−30×10250×50×70×30，
所以K2=10021≈4.762，
所以K2>3.841，
因此在犯错的概率不超过0.05的前提下认为视力与学习成绩有关系．
(3)依题意按照分层抽样在不近视的学生中抽取的6人中，
年级名次在1∼100名和101∼1000名的分别有2人和4人，
从6人中任意抽取2人的基本事件共15个，
至少有1人来自于1∼100名的基本事件有9个，
所以至少有1人的年级名次在1∼100名的概率为
P=915=35．
【答案】
解：(1)f′x=x−1exx2−k−1x2+1x
=x−1exx2−k⋅x−1x2，
即f′x=x−1ex−kx2.
当k=e2时，f′x=x−1ex−e2x2，
令f′x≥0得0即fx在(0,1]和[2,+∞)上单调递增，
在1,2上单调递减，
所以fx的极小值为f2=−e2ln2，
极大值为f1=e−e2．
(2)由于f′x=x−1ex−kx2，x∈1,2，
因为函数fx在区间1,2上单调，
所以f′x≥0或f′x≤0在区间(1,2)上恒成立，
即ex−k≥0或ex−k≤0在区间1,2上恒成立，
因此k≤e或k≥e2，
所以k的取值范围为−∞,e∪e2,+∞．
【考点】
利用导数研究函数的极值
利用导数研究函数的单调性
函数恒成立问题
【解析】
无
无
【解答】
解：(1)f′x=x−1exx2−k−1x2+1x
=x−1exx2−k⋅x−1x2，
即f′x=x−1ex−kx2.
当k=e2时，f′x=x−1ex−e2x2，
令f′x≥0得0即fx在(0,1]和[2,+∞)上单调递增，
在1,2上单调递减，
所以fx的极小值为f2=−e2ln2，
极大值为f1=e−e2．
(2)由于f′x=x−1ex−kx2，x∈1,2，
因为函数fx在区间1,2上单调，
所以f′x≥0或f′x≤0在区间(1,2)上恒成立，
即ex−k≥0或ex−k≤0在区间1,2上恒成立，
因此k≤e或k≥e2，
所以k的取值范围为−∞,e∪e2,+∞．
【答案】
解：(1)由题知p=2，
所以M：x2=4y.
设直线AB：y=kx+1，Ax1,y1，Bx2,y2，
联立y=kx+1,x2=4y,得x2−4kx−4=0，
所以x1+x2=4k,x1x2=−4.
对y=x24求导得y′=x2，
所以直线AN的斜率为kAN=x12，
所以直线AN：y−y1=x12x−x1,
即AN：y=x12x−x124①，
同理直线BN：y=x22x−x224②，
联立①和②得x=x1+x22=2k,y=x1x24=−1,
所以点N的坐标为2k,−1，即点N在定直线y=−1上.
(2)由(1)知点N为CD的中点，
取AB的中点E，则EN=AC+BD2.
由题知AC+BD=AB，
所以AB=2EN，
所以S△ABN=S△AEN+S△BEN
=EN⋅CN2+EN⋅DN2
=2×EN⋅CN2=AB⋅CN2，
而S△ACN=AC⋅CN2=AF⋅CN2，
S△BDN=BD⋅DN2=BF⋅CN2.
若存在点N满足题意，
则2S△BDN=S△ACN+S△ABN，
即2BF=AF+AB，
所以BF=2AF，即x2=−2x1③.
又因为x1+x2=4k,x1x2=−4,④
将③代入④解得k=±24，
由(1)知N2k,−1，即N±22,−1，
经检验，存在N±22,−1满足题意.
【考点】
直线的点斜式方程
抛物线的标准方程
利用导数研究曲线上某点切线方程
抛物线的应用
等差中项
【解析】
无
无
【解答】
解：(1)由题知p=2，
所以M：x2=4y.
设直线AB：y=kx+1，Ax1,y1，Bx2,y2，
联立y=kx+1,x2=4y,得x2−4kx−4=0，
所以x1+x2=4k,x1x2=−4.
对y=x24求导得y′=x2，
所以直线AN的斜率为kAN=x12，
所以直线AN：y−y1=x12x−x1,
即AN：y=x12x−x124①，
同理直线BN：y=x22x−x224②，
联立①和②得x=x1+x22=2k,y=x1x24=−1,
所以点N的坐标为2k,−1，即点N在定直线y=−1上.
(2)由(1)知点N为CD的中点，
取AB的中点E，则EN=AC+BD2.
由题知AC+BD=AB，
所以AB=2EN，
所以S△ABN=S△AEN+S△BEN
=EN⋅CN2+EN⋅DN2
=2×EN⋅CN2=AB⋅CN2，
而S△ACN=AC⋅CN2=AF⋅CN2，
S△BDN=BD⋅DN2=BF⋅CN2.
若存在点N满足题意，
则2S△BDN=S△ACN+S△ABN，
即2BF=AF+AB，
所以BF=2AF，即x2=−2x1③.
又因为x1+x2=4k,x1x2=−4,④
将③代入④解得k=±24，
由(1)知N2k,−1，即N±22,−1，
经检验，存在N±22,−1满足题意.
【答案】
解：(1)由 x=m+22t,y=22t, 得x−m=y，
即x−y−m=0.
由ρ=2csθ得ρ2=2ρcsθ，
则曲线C的直角坐标方程为x2+y2=2x，
即x2−2x+y2=0.
(2)将 x=m+22t,y=22t, 代入x2−2x+y2=0，
得t2+2m−2t+m2−2m=0.
由Δ=2m−22−4m2−2m>0，
得1−2设点A，B对应的参数分别为t1，t2，
则t1⋅t2=m2−2m.
因为|PA|⋅|PB|=|t1⋅t2|=|m2−2m|=1，
所以m2−2m=±1.
当m2−2m=1时，m=1±2（舍），
当m2−2m=−1时，m=1.
所以综上m=1.
【考点】
圆的极坐标方程与直角坐标方程的互化
直线一般参数方程化为标准参数方程
直线的参数方程
【解析】
暂无
暂无
【解答】
解：(1)由 x=m+22t,y=22t, 得x−m=y，
即x−y−m=0.
由ρ=2csθ得ρ2=2ρcsθ，
则曲线C的直角坐标方程为x2+y2=2x，
即x2−2x+y2=0.
(2)将 x=m+22t,y=22t, 代入x2−2x+y2=0，
得t2+2m−2t+m2−2m=0.
由Δ=2m−22−4m2−2m>0，
得1−2设点A，B对应的参数分别为t1，t2，
则t1⋅t2=m2−2m.
因为|PA|⋅|PB|=|t1⋅t2|=|m2−2m|=1，
所以m2−2m=±1.
当m2−2m=1时，m=1±2（舍），
当m2−2m=−1时，m=1.
所以综上m=1.PK2≥k
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
k
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
1. 已知R为实数集，集合A=x|y=lgx+3， B=x|x≥2，则∁RA∪B=( )
A.{x|x<−3}B.x|x>−3C.x|x≤−3D.x|−3
2. 已知复数z=a+i1+ia∈R是纯虚数，则|z|的值为( )
A.1B.2C.12D.−1
3. 对具有线性相关关系的变量x，y，有一组观测数据xi,yii=1,2,⋯,8，其回归直线方程是y=−4x+a，且x1+x2+⋯+x8=2 ，y1+y2+⋯+y8=−32，则实数a的值为( )
A.−5B.−24C.5D.−3
4. 如图，正方形的边长为a，以A，C为圆心，正方形边长为半径分别作圆，在正方形内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是( )
A.2−π2B.2−π3C.π3−1D.π2−1
5. 已知等差数列an的前n项和为Sn，若2a4−a2=3，则S11=( )
A.30B.33C.36D.66
6. 已知函数fx的图像向左平移π6个单位后，得到函数gx=cs2x的图像，则函数fx的单调递增区间为( )
A.kπ−5π12,kπ+π12,k∈ZB.kπ+π6,kπ+2π3,k∈Z
C.kπ−π3,kπ+π6,k∈ZD.kπ−2π3,kπ−π6,k∈Z
7. 已知函数y=lgax−1+2a>0,a≠1恒过定点A，则过点B1,1且以A点为圆心的圆的方程为( )
A.x−12+y−22=1B.x−22+y−22=2
C.x+12+y−22=5D.(x−2)2+(y+2)2=10
8. 已知a=2sinπ6，b=tan7π62，c=lg3cs11π6，则a，b，c的大小为( )
A.a>b>cB.a>c>bC.b>a>cD.b>c>a
9. 设定义域为R的奇函数fx在0,+∞上为增函数，且f−4=0，则不等式f−x−fxx>0的解集是( )
A.−4,0∪4,+∞B.−∞,−4∪0,4
C.−4,0∪0,4D.−∞,−4∪4,+∞
10. 我们学过用角度制与弧度制度量角，最近，有学者提出“面度制”去度量角，因为在半径不同的同心圆中，同样的圆心角所对扇形的面积与半径平方之比是常数，从而称这个常数为该角的面度数，这种用面度作为单位来度量角的单位制，叫做面度制．在面度制下，角θ的面度数为π3，则角θ的余弦值为( )
A.−32B.−12C.12D.32
11. 如图是某四面体ABCD水平放置时的三视图（图中网格纸的小正方形的边长为1，则四面体ABCD外接球的体积为( )
A.500π3B.100π3C.125π6D.20π
12. 若F1，F2是双曲线y2a2−x2b2=1a>0,b>0 与椭圆x216+y225=1的共同焦点，点P是两曲线的一个交点，且△PF1F2为等腰三角形，则该双曲线的渐近线方程是( )
A.y=±22xB.y=±24xC.y=±73xD.y=±377x
二、填空题
已知向量a→=m,−1，b→=−2,−m+1，若a→⊥a→+b→，则m=________.
若曲线y=xlnx+1在x=1处的切线与直线2ax−a−1y+3=0垂直，则a=________.
已知不等式 x−y≤03x−y−2≥0x+y−6≤0 表示的平面区域为D，若存在x,y∈D，使得不等式x−2y−t≥0成立，则实数t的最大值为________.
已知数列an的首项a1=2，前n项和为Sn，且Sn+Sn+1=2n+1−1n∈N∗，则S11=________.
三、解答题
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且acsB=2c−bcsA.
(1)求A；
(2)已知b=3，若AB→+AC→=2AM→且 |AM→|=132，求△ABC的面积．
如图，一简单组合体的一个面ABC内接于圆O，AB是圆O的直径，矩形BCDE所在的平面垂直于圆O所在的平面．
(1)证明：平面ADE⊥平面ADC；
(2)若AB=2，AC=1，∠EAB=45∘ ，试求该简单组合体的体积．
2021届高考体检工作即将开展，为了了解高三学生的视力情况，某校医务室提前对本校的高三学生视力情况进行调查，在高三年级1000名学生中随机抽取了100名学生的体检数据，并得到如图的频率分布直方图．
(1)若直方图中前四组的频数依次成等比数列，试估计全年级高三学生视力的中位数（精确到0.01）；
(2)该校医务室发现，学习成绩突出的学生，近视的比较多，为了研究学生的视力与学习成绩是否有关系，对抽取的100名学生名次在1∼100名和101∼1000名的学生的体检数据进行了统计，得到如表中的数据，根据表中的数据，能否在犯错的概率不超过0.05的前提下认为视力与学习成绩有关系？
(3)在(2)中调查的不近视的学生中按照分层抽样抽取了6人，进一步调查他们良好的护眼习惯，求在这6人中任取2人，至少有1人的年级名次在1∼100名的概率．
K2=nad−bc2a+bc+da+cb+d，其中n=a+b+c+d.
已知函数fx=exx−k1x+lnx，其中k为常数， e=2.71828⋯为自然对数的底数．
(1)若k=e2，求函数fx的极值；
(2)若函数fx在区间1,2上单调，求k的取值范围．
如图，已知抛物线M:x2=2pyp>0的焦点为F0,1，过焦点F作直线交抛物线于A，B两点，在A，B两点处的切线相交于N，再分别过A，B两点作准线的垂线，垂足分别为C，D．
(1)求证：点N在定直线上；
(2)是否存在点N，使得△BDN的面积是△ACN的面积和△ABN的面积的等差中项，若存在，请求出点N的坐标，若不存在，请说明理由．
在直角坐标系xOy中，已知过点Pm,0的直线l的参数方程是x=m+22t,y=22t, （t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=2csθ．
(1)求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；
(2)若直线l和曲线C交于A，B两点，且|PA|⋅|PB|=1，求实数m的值．
参考答案与试题解析
2020-2021学年江西省赣州市高三（上）期末考试数学（文）试卷
一、选择题
1.
【答案】
C
【考点】
交、并、补集的混合运算
【解析】
化简集合A，再利用集合的运算求解即可.
【解答】
解：∵ 集合A=x|y=lgx+3 ={x|x>−3}，
B=x|x≥2，
∴ A∪B={x|x>−3}，
则∁RA∪B= x|x≤−3 .
故选C.
2.
【答案】
A
【考点】
复数代数形式的乘除运算
复数的模
【解析】
设a+i1+i=bi，其中b∈R，b≠0，则a+i=−b+bi，解得a=−1，b=1．再由复数模的计算公式求解．
【解答】
解：设a+i1+i=bi，其中b∈R，b≠0，
则a+i=−b+bi，
解得b=1，a=−1，
∴z=i，
则|z|=1.
故选A.
3.
【答案】
D
【考点】
求解线性回归方程
【解析】
利用回归直线方程为y=−4x+a经过样本中心值(14，−4)，求解即可.
【解答】
解：∵ x¯=18(x1+x2+…+x8)=14，
y¯=18(y1+y2+…+y8)=−4，
∴ 回归直线方程为y=−4x+a经过(14,−4)，
∴ −4=−4×14+a，
解得a=−3.
故选D.
4.
【答案】
D
【考点】
几何概型计算（与长度、角度、面积、体积有关的几何概型）
【解析】
将阴影部分拆分成两个小弓形，从而可求解出阴影部分面积，根据几何概型求得所求概率．
【解答】
解：阴影部分可拆分为面积相等的两部分，
则阴影部分面积S阴影部分=2×(14πa2−12a2)=12πa2−a2，
正方形面积S=a2，
∴ 所求概率P=S阴影部分S=π2−1，
故选D．
5.
【答案】
B
【考点】
等差数列的前n项和
等差中项
【解析】
利用等差数列通项得到a1+5d=a6=3，再利用等差数列性质与求和即可得到答案.
【解答】
解：设等差数列an的公差为d.
∵ 2a4−a2=3，
∴ 2(a1+3d)−(a1+d)=3，
即a1+5d=a6=3，
∴ S11=11×a1+a112=11a6=33.
故选B.
6.
【答案】
C
【考点】
余弦函数的单调性
函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】
注意三角函数单调性
【解答】
解：将函数g(x)=cs2x的图像向右平移π6个单位得到
fx=cs2x−π6=cs2x−π3.
又∵ 余弦函数的单调递增区间为 −π+2kπ,2kπ,k∈Z，
∴ −π+2kπ≤2x−π3≤2kπ，
即−2π3+2kπ≤2x≤π3+2kπ ，
∴ −π3+kπ≤x≤π6+kπk∈Z
∴fx 的单调递增区间为 −π3+kπ,π6+kπ(k∈Z)．
故选C．
7.
【答案】
B
【考点】
点与圆的位置关系
对数及其运算
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：因为 y=lgax−1+2a>0,a≠1，且lga1=0，
则y=lgax−1恒过2,0，
所以y=lgax−1+2恒过(2,2)，
所以A(2,2).
设圆的半径为r，则以定点(2,2)为圆心的圆方程为
(x−2)2+(y−2)2=r2 ,
因为该圆还过点B(1,1)，
所以r2=2，
则过点B1,1且以A点为圆心的圆的方程为
(x−2)2+(y−2)2=2 .
故选B．
8.
【答案】
A
【考点】
根式与分数指数幂的互化及其化简运算
诱导公式
指数式、对数式的综合比较
【解析】
分别对条件中的三个数化简，
判断出它们的值的大致范围即可.
【解答】
解：∵a=2sinπ6=212=2>1，
b=tan7π62=−tanπ62=−332=13，
c=lg3cs11π6=lg3csπ6=lg332<0，
∴a>b>c.
故选A.
9.
【答案】
C
【考点】
函数奇偶性的性质
函数单调性的性质
【解析】
根据函数为奇函数，将原不等式作等价转换为xfx<0；
再根据已知条件判断函数在−∞,0上的单调性，最后可
结合草图写出解集.
【解答】
解：∵函数fx为R上的奇函数，
∴ fx=−f−x，
∴f−x−fxx>0⇔−2fxx>0⇔xfx<0.
又fx在0,+∞上为增函数，
∴fx在−∞,0上也是增函数.
∵ f−4=0，
∴f4=0.
当x<0时，由xfx<0解得：−4
故选C.
10.
【答案】
B
【考点】
扇形面积公式
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：设圆心角为θ,
∵ 扇形面积公式S扇=12|θ|r2，
∴面度数=S扇r2=12|θ|r2r2=12|θ|=π3，
∴θ=2π3，
∴ csθ=cs2π3=−12 .
故选B．
11.
【答案】
C
【考点】
由三视图求外接球问题
球的表面积和体积
【解析】
根据图形可知底面三角形接圆直径为4，高为3的侧棱垂直于底面，得出外接球直径为5，从而求出外接球的体积．
【解答】
解：由三视图得底面三角形外接圆的直径为4.
∵高为3的侧棱垂直于底面，
∴外接球半径为(32)2+22=52，
∴外接球的体积为4π3×523=125π6．
故选C.
12.
【答案】
B
【考点】
双曲线的渐近线
圆锥曲线的综合问题
【解析】
本题考查椭圆和双曲线的定义及其标准方程以及它们的几何性质．
【解答】
解：∵椭圆x216+y225=1 ，
∴ 焦点坐标为(0,±3) ，
∵ 双曲线与椭圆有共同的焦点，
∴c=3.
设P为两曲线在第一象限的交点，
∵ 在椭圆中△PF1F2为等腰三角形，
∴|PF2|=|F1F2|=6，
∴|PF1|=2a−|F2P|=10−6=4，
∴ 双曲线中， 2a=||PF1|−|PF2||=|4−6|=2 ，
∴a=1，
代入a2+b2=9，得b=22（b>0），
∴该双曲线的渐近线方程是
y=±abx=±122x=±24x.
故选B．
二、填空题
【答案】
0或1
【考点】
向量的数量积判断向量的共线与垂直
平面向量的坐标运算
【解析】
先求出a→+b→=(m−2,−m)，再利用两向量垂直，两向量数量积为零，列方程求解即可.
【解答】
解：因为向量a→=m,−1，b→=−2,−m+1，
所以a→+b→=(m−2,−m).
因为a→⊥a→+b→，
所以m(m−2)+m=0，
解得m=0或m=1.
故答案为：0或1.
【答案】
13
【考点】
利用导数研究曲线上某点切线方程
两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系
【解析】
先求出曲线y=xlnx+1在x=1处的切线斜率为1，再利用两直线垂直的斜率关系得到2aa−1=−1，解方程即可.
【解答】
解：因为曲线y=xlnx+1，
则y′=1+lnx，
所以曲线y=xlnx+1在x=1处的切线斜率为1.
因为曲线y=xlnx+1在x=1处的切线与
直线2ax−a−1y+3=0垂直，
所以直线2ax−a−1y+3=0的斜率为−1，
即2aa−1=−1，
解得a=13.
故答案为：13.
【答案】
−1
【考点】
简单线性规划
求线性目标函数的最值
【解析】
本题考查了线性归划求解z=ax+by的最值问题，考查数形结合思想．
【解答】
解：如图，阴影部分为D.
令z=x−2y，
∴y=x2−z2 ，
结合图象可知，过点 1,1 的y轴截距最小，
z值最大，此时z=−1 ，
∴tmax=−1 .
故答案为：−1．
【答案】
1366或写成46+23
【考点】
数列的求和
数列递推式
【解析】
由题意可得n∈N∗,Sn+Sn+1=2n+1−1,Sn+1+Sn+2=2n+2−1.两式相减，得Sn+2−Sn+1=2n+2−2n+1=2n+1，然后累加即可求出.
【解答】
解：因为对一切n∈N∗，Sn+Sn+1=2n+1−1，
所以Sn+1+Sn+2=2n+2−1,
两式相减，得Sn+2−Sn=2n+2−2n+1=2n+1，
于是S11−S9=210，
S9−S7=28，
S7−S5=26，
S5−S3=24，
S3−S1=22，
累加，得S11−S1=210+28+26+24+22
=22(1−210)1−4=212−43，
又S1=a1=2，
所以S11=212−43+2=46+23=1366.
故答案为：1366或写成46+23.
三、解答题
【答案】
解：(1)因为acsB=2c−bcsA，
由正弦定理得sinAcsB=2sinC−sinBcsA，
即sinAcsB+sinBcsA=2sinCcsA，即sin(A+B)=2sinCcsA，
所以sinC=2sinCcsA．
因为在△ABC中sinC≠0，
所以csA=12．
因为0
(2)由AB→+AC→=2AM→两边平方得
AB→2+AC→2+2AB→⋅AC→=4AM→2.
因为b=3，|AM→|=132，
所以9+c2+2×3×12⋅c=4×1322，
即c2+3c−4=0，
解得c=1或c=−4（舍去），
所以△ABC的面积为
S=12bccsA=12×3×1×32=334．
【考点】
正弦定理
平面向量数量积
解三角形
【解析】
无
无
【解答】
解：(1)因为acsB=2c−bcsA，
由正弦定理得sinAcsB=2sinC−sinBcsA，
即sinAcsB+sinBcsA=2sinCcsA，即sin(A+B)=2sinCcsA，
所以sinC=2sinCcsA．
因为在△ABC中sinC≠0，
所以csA=12．
因为0
(2)由AB→+AC→=2AM→两边平方得
AB→2+AC→2+2AB→⋅AC→=4AM→2.
因为b=3，|AM→|=132，
所以9+c2+2×3×12⋅c=4×1322，
即c2+3c−4=0，
解得c=1或c=−4（舍去），
所以△ABC的面积为
S=12bccsA=12×3×1×32=334．
【答案】
(1)证明：因为△ABC内接于圆O，且AB为直径，
所以BC⊥AC.
在矩形BCDE中，BC⊥DC且AC与DC相交于点C，
所以BC⊥平面ADC.
而BC//ED，
所以ED⊥平面ADC，
因此平面ADE⊥平面ADC.
(2)解：由题知EB⊥BC，平面BCDE⊥平面ABC，
且平面BCDE∩平面ABC=BC，
所以EB⊥平面ABC，
所以EB⊥AB .
又因为∠EAB=45∘，
所以EB=AB=2.
同理AC⊥平面BCDE，
在Rt△ABC中，BC=22−12=3，
所以矩形BCDE的面积为23，
因此该简单组合体的体积V=13×23×1=233.
【考点】
平面与平面垂直的判定
直线与平面垂直的判定
平面与平面垂直的性质
组合几何体的面积、体积问题
【解析】
无
无
【解答】
(1)证明：因为△ABC内接于圆O，且AB为直径，
所以BC⊥AC.
在矩形BCDE中，BC⊥DC且AC与DC相交于点C，
所以BC⊥平面ADC.
而BC//ED，
所以ED⊥平面ADC，
因此平面ADE⊥平面ADC.
(2)解：由题知EB⊥BC，平面BCDE⊥平面ABC，
且平面BCDE∩平面ABC=BC，
所以EB⊥平面ABC，
所以EB⊥AB .
又因为∠EAB=45∘，
所以EB=AB=2.
同理AC⊥平面BCDE，
在Rt△ABC中，BC=22−12=3，
所以矩形BCDE的面积为23，
因此该简单组合体的体积V=13×23×1=233.
【答案】
解：(1)由图可知，第三组和第六组的频数为
100×0.8×0.2=16（人），
第五组的频数为100×1.2×0.2=24（人），
所以前四组的频数和为100−24+16=60（人）.
而前四组的频数依次成等比数列，
故第一组的频数为4人，第二组的频数为8人，
第四组的频数为32人，
所以中位数落在第四组，设为x，
因此有x−−4+8+1632
（或1.6(x−4.6)=0.22），
解得x=4.7375，
所以中位数是4.74．
(2)因为K2=100×40×20−30×10250×50×70×30，
所以K2=10021≈4.762，
所以K2>3.841，
因此在犯错的概率不超过0.05的前提下认为视力与学习成绩有关系．
(3)依题意按照分层抽样在不近视的学生中抽取的6人中，
年级名次在1∼100名和101∼1000名的分别有2人和4人，
从6人中任意抽取2人的基本事件共15个，
至少有1人来自于1∼100名的基本事件有9个，
所以至少有1人的年级名次在1∼100名的概率为
P=915=35．
【考点】
众数、中位数、平均数
独立性检验的应用
分层抽样方法
古典概型及其概率计算公式
【解析】
无
无
无
【解答】
解：(1)由图可知，第三组和第六组的频数为
100×0.8×0.2=16（人），
第五组的频数为100×1.2×0.2=24（人），
所以前四组的频数和为100−24+16=60（人）.
而前四组的频数依次成等比数列，
故第一组的频数为4人，第二组的频数为8人，
第四组的频数为32人，
所以中位数落在第四组，设为x，
因此有x−−4+8+1632
（或1.6(x−4.6)=0.22），
解得x=4.7375，
所以中位数是4.74．
(2)因为K2=100×40×20−30×10250×50×70×30，
所以K2=10021≈4.762，
所以K2>3.841，
因此在犯错的概率不超过0.05的前提下认为视力与学习成绩有关系．
(3)依题意按照分层抽样在不近视的学生中抽取的6人中，
年级名次在1∼100名和101∼1000名的分别有2人和4人，
从6人中任意抽取2人的基本事件共15个，
至少有1人来自于1∼100名的基本事件有9个，
所以至少有1人的年级名次在1∼100名的概率为
P=915=35．
【答案】
解：(1)f′x=x−1exx2−k−1x2+1x
=x−1exx2−k⋅x−1x2，
即f′x=x−1ex−kx2.
当k=e2时，f′x=x−1ex−e2x2，
令f′x≥0得0
在1,2上单调递减，
所以fx的极小值为f2=−e2ln2，
极大值为f1=e−e2．
(2)由于f′x=x−1ex−kx2，x∈1,2，
因为函数fx在区间1,2上单调，
所以f′x≥0或f′x≤0在区间(1,2)上恒成立，
即ex−k≥0或ex−k≤0在区间1,2上恒成立，
因此k≤e或k≥e2，
所以k的取值范围为−∞,e∪e2,+∞．
【考点】
利用导数研究函数的极值
利用导数研究函数的单调性
函数恒成立问题
【解析】
无
无
【解答】
解：(1)f′x=x−1exx2−k−1x2+1x
=x−1exx2−k⋅x−1x2，
即f′x=x−1ex−kx2.
当k=e2时，f′x=x−1ex−e2x2，
令f′x≥0得0
在1,2上单调递减，
所以fx的极小值为f2=−e2ln2，
极大值为f1=e−e2．
(2)由于f′x=x−1ex−kx2，x∈1,2，
因为函数fx在区间1,2上单调，
所以f′x≥0或f′x≤0在区间(1,2)上恒成立，
即ex−k≥0或ex−k≤0在区间1,2上恒成立，
因此k≤e或k≥e2，
所以k的取值范围为−∞,e∪e2,+∞．
【答案】
解：(1)由题知p=2，
所以M：x2=4y.
设直线AB：y=kx+1，Ax1,y1，Bx2,y2，
联立y=kx+1,x2=4y,得x2−4kx−4=0，
所以x1+x2=4k,x1x2=−4.
对y=x24求导得y′=x2，
所以直线AN的斜率为kAN=x12，
所以直线AN：y−y1=x12x−x1,
即AN：y=x12x−x124①，
同理直线BN：y=x22x−x224②，
联立①和②得x=x1+x22=2k,y=x1x24=−1,
所以点N的坐标为2k,−1，即点N在定直线y=−1上.
(2)由(1)知点N为CD的中点，
取AB的中点E，则EN=AC+BD2.
由题知AC+BD=AB，
所以AB=2EN，
所以S△ABN=S△AEN+S△BEN
=EN⋅CN2+EN⋅DN2
=2×EN⋅CN2=AB⋅CN2，
而S△ACN=AC⋅CN2=AF⋅CN2，
S△BDN=BD⋅DN2=BF⋅CN2.
若存在点N满足题意，
则2S△BDN=S△ACN+S△ABN，
即2BF=AF+AB，
所以BF=2AF，即x2=−2x1③.
又因为x1+x2=4k,x1x2=−4,④
将③代入④解得k=±24，
由(1)知N2k,−1，即N±22,−1，
经检验，存在N±22,−1满足题意.
【考点】
直线的点斜式方程
抛物线的标准方程
利用导数研究曲线上某点切线方程
抛物线的应用
等差中项
【解析】
无
无
【解答】
解：(1)由题知p=2，
所以M：x2=4y.
设直线AB：y=kx+1，Ax1,y1，Bx2,y2，
联立y=kx+1,x2=4y,得x2−4kx−4=0，
所以x1+x2=4k,x1x2=−4.
对y=x24求导得y′=x2，
所以直线AN的斜率为kAN=x12，
所以直线AN：y−y1=x12x−x1,
即AN：y=x12x−x124①，
同理直线BN：y=x22x−x224②，
联立①和②得x=x1+x22=2k,y=x1x24=−1,
所以点N的坐标为2k,−1，即点N在定直线y=−1上.
(2)由(1)知点N为CD的中点，
取AB的中点E，则EN=AC+BD2.
由题知AC+BD=AB，
所以AB=2EN，
所以S△ABN=S△AEN+S△BEN
=EN⋅CN2+EN⋅DN2
=2×EN⋅CN2=AB⋅CN2，
而S△ACN=AC⋅CN2=AF⋅CN2，
S△BDN=BD⋅DN2=BF⋅CN2.
若存在点N满足题意，
则2S△BDN=S△ACN+S△ABN，
即2BF=AF+AB，
所以BF=2AF，即x2=−2x1③.
又因为x1+x2=4k,x1x2=−4,④
将③代入④解得k=±24，
由(1)知N2k,−1，即N±22,−1，
经检验，存在N±22,−1满足题意.
【答案】
解：(1)由 x=m+22t,y=22t, 得x−m=y，
即x−y−m=0.
由ρ=2csθ得ρ2=2ρcsθ，
则曲线C的直角坐标方程为x2+y2=2x，
即x2−2x+y2=0.
(2)将 x=m+22t,y=22t, 代入x2−2x+y2=0，
得t2+2m−2t+m2−2m=0.
由Δ=2m−22−4m2−2m>0，
得1−2
则t1⋅t2=m2−2m.
因为|PA|⋅|PB|=|t1⋅t2|=|m2−2m|=1，
所以m2−2m=±1.
当m2−2m=1时，m=1±2（舍），
当m2−2m=−1时，m=1.
所以综上m=1.
【考点】
圆的极坐标方程与直角坐标方程的互化
直线一般参数方程化为标准参数方程
直线的参数方程
【解析】
暂无
暂无
【解答】
解：(1)由 x=m+22t,y=22t, 得x−m=y，
即x−y−m=0.
由ρ=2csθ得ρ2=2ρcsθ，
则曲线C的直角坐标方程为x2+y2=2x，
即x2−2x+y2=0.
(2)将 x=m+22t,y=22t, 代入x2−2x+y2=0，
得t2+2m−2t+m2−2m=0.
由Δ=2m−22−4m2−2m>0，
得1−2
则t1⋅t2=m2−2m.
因为|PA|⋅|PB|=|t1⋅t2|=|m2−2m|=1，
所以m2−2m=±1.
当m2−2m=1时，m=1±2（舍），
当m2−2m=−1时，m=1.
所以综上m=1.PK2≥k
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
k
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
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