2020-2021学年江西省赣州市高三（下）4月月考数学（理）试卷北师大版

这是一份2020-2021学年江西省赣州市高三（下）4月月考数学（理）试卷北师大版，共11页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 集合A=x|y=lg2x−1，B=x|x−a>0，且(∁RA)∩B=(0,1]，则a=( )
A.−1B.0C.1D.2

2. 已知m，n∈R，且mi1+2i=n+4i（其中i为虚数单位）则m+n=( )
A.−2B.−4C.2D.4

3. 某几何体的三视图如图所示，已知图中圆的半径都为1，则此几何体的体积为( )

A.π4B.π2C.3π4D.π

4. 已知F是抛物线C:y2=4x的焦点，若点Ax0,23在抛物线上，则|AF|=( )
A.3B.23C.4D.23+1

5. 根据下面给出的某地区2014年至2020年环境基础设施投资额（单位：亿元）的表格，以下结论中错误的是( )
A.该地区环境基础设施投资额逐年增加
B.2018年该地区环境基础设施投资增加额最大
C.2018年和2019年该地区环境基础设施投资总额比2014年至2017年的投资总额小
D.2020年该地区环境基础设施投资增加额相比2019年有所减少

6. 函数fx=5x−15x+1cs2x的图象为( )
A.
B.
C.
D.

7. 已知定义在R上的函数fx，则“fx的周期为2”是“fx=1fx+1”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件

8. x+2y+3z5的展开式中xy2z2的系数为( )
A.5B.30C.1080D.2160

9. 如图是公元前约400年古希腊数学家泰特托斯用来构造无理数2，3，5，⋯的图形之一，此图形中∠BAD的余弦值是( )

A.4−36B.4+36C.23−66D.23+66

10. 已知动直线l:xcsα+ysinα=1与圆C1:x2+y2=2相交于A，B两点，圆C2:x2+y2=1.下列说法：①l与C2有且只有一个公共点；②线段AB的长度为定值；③线段AB的中点轨迹为C2．其中正确的个数是( )
A.0B.1C.2D.3

11. 定义：若存在n个正数x1，x2，⋯，xn，使得f−xi=−fxii=1,2,⋯,n，则称函数y=fx为“n阶奇性函数”．若函数gx=mx+m, x≤0,xlnx, x>0是“2阶奇性函数”，则实数m的取值范围是( )
A.−∞,0B.0,1C.1,+∞D.0,1∪1,+∞

12. 已知函数fx=2sinωx+φ(ω>0，π20)的右焦点，过点F作渐近线的垂线FH（点H为垂足），并交双曲线的右支于点A，若A为线段FH的中点，则双曲线的离心率为________．

如图，在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，所有棱长均为a，且∠A1AB=∠A1AD=∠DAB=60∘，点E在棱A1D1上，且A1E=2ED1，平面α过点E且平行于平面A1DB，则平面α与平行六面体ABCD−A1B1C1D1各表面交线围成的多边形的面积是________．

三、解答题

已知正项数列an的前n项和为Sn，且Sn+1=Sn+an+2，a32=S1S5.
(1)求数列{an}的通项公式；

(2)设bn=a2n，求数列{bn}的前n项和Tn.

如图，已知四边形ABCD是菱形，∠BAD=60∘，AB=2，四边形BDEF是平行四边形，∠DBF=45∘，BF=22，FA=FC.

(1)求证：FD⊥平面ABCD；

(2)求二面角A−DE−B的余弦值．

在某学校某次射箭比赛中，随机抽取了100名学员的成绩（单位：环），并把所得数据制成了如下所示的频数分布表：

(1)求抽取的样本平均数x¯（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；

(2)已知这次比赛共有2000名学员参加，如果近似地认为这次成绩Z服从正态分布N(μ, σ2)（其中μ近似为样本平均数x¯，σ2近似为样本方差s2=1.61），且规定8.27环是及格线，那么在这2000名学员中，合格的有多少人？

(3)已知样本中成绩在[9, 10]中的6名学员中，有4名男生和2名女生，现从中任选3人代表学校参加全国比赛，记选出的男生人数为ξ，求ξ的分布列与期望Eξ．
（附：若Z∼N(μ, σ2)，则P(μ−σ4×1−0⇒2πω>4⇒082.7)=1−0.68262=0.1587，从而能求出在这2000名考生中，能进入复试人数．
（3）由已知得ξ的可能取值为1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列与期望E(ξ)．
【解答】
解：(1)由所得数据列成的频数分布表得，
样本平均数x¯=4.5×0.05+5.5×0.18+6.5×0.28+7.5×0.26
+8.5×0.17+9.5×0.06=7.
(2)由(1)知Z∼N(7, 1.61)，
∴ P(Z>8.27)=1−0.68272=0.15865，
∴ 在这2000名学员中，合格的有2000×0.15865≈317（人）．
(3)由已知得ξ的可能取值为1，2，3，
P(ξ=1)=C41C22C63=15，
P(ξ=2)=C42C21C63=35，
P(ξ=3)=C43C20C63=15，
∴ ξ的分布列为：
Eξ=1×15+2×35+3×15=2．
【答案】
解：(1)由题意知ca=32，可得ba=12，
当点P在短轴端点时，由△AOP∽△ABQ，
得BQ=2b，
又圆C的面积为π=πb2，
∴ b=1，a=2，
∴ 椭圆的标准方程为 x24+y2=1.
(2)设Px0,y0，则x024+y02=1⇒y02x02−4=−14，
即kPA⋅kPB=−14，
由题可知，A，B的坐标分别为−2,0，2,0，且AB=4，
∵ PB⊥QR，
∴ kPB⋅kQR=−1，
∴ kQAkQR=14，
令直线QR交x轴于点T，则QBAB⋅QBBT=14，
∴ AT=3BT，
又T为定点，
∴ S1S2=ATBT=3为定值．
【考点】
椭圆的标准方程
椭圆的定义和性质
椭圆的离心率
圆锥曲线中的定点与定值问题
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)由题意知ca=32，可得ba=12，
当点P在短轴端点时，由△AOP∽△ABQ，
得BQ=2b，
又圆C的面积为π=πb2，
∴ b=1，a=2，
∴ 椭圆的标准方程为 x24+y2=1.
(2)设Px0,y0，则x024+y02=1⇒y02x02−4=−14，
即kPA⋅kPB=−14，
由题可知，A，B的坐标分别为−2,0，2,0，且AB=4，
∵ PB⊥QR，
∴ kPB⋅kQR=−1，
∴ kQAkQR=14，
令直线QR交x轴于点T，则QBAB⋅QBBT=14，
∴ AT=3BT，
又T为定点，
∴ S1S2=ATBT=3为定值．
【答案】
解：(1)b=0，f(x)=xex+ax⇒f′(x)=(x+1)ex+a，
记g(x)=f′(x)，则g′(x)=(x+2)ex，
令g′(x)=0⇒x=−2，f′(−2)=a−1e2，
当xπ>2，ℎ″(x)>2+2csx≥0，
所以ℎ′(x)在[0,+∞)上单调递增，
①a−1≥0即a≥1时，ℎ′(x)≥ℎ′(0)=a−1≥0，ℎ(x)在[0,+∞)上单调递增，ℎ(x)≥ℎ(0)=0恒成立；
②a−1