2022届高三统考数学（文科）人教版一轮复习课时作业：13 变化率与导数、导数的计算

这是一份2022届高三统考数学（文科）人教版一轮复习课时作业：13 变化率与导数、导数的计算，共6页。

[基础达标]
一、选择题
1．[2021·江西九江统考]f(x)＝x(2019＋lnx)，若f′(x0)＝2020，则x0＝( )
A．e2B．1
C．ln2D．e
2．下列求导过程不正确的选项是( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))′＝eq \f(1,x2)
B．(eq \r(x))′＝eq \f(1,2\r(x))
C．(xa)′＝axa－1
D．(lgax)′＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(lnx,lna)))′＝eq \f(1,xlna)
3．已知直线y＝－x＋m是曲线y＝x2－3lnx的一条切线，则m的值为( )
A．0B．2
C．1D．3
4．已知函数f(x)在R上可导，其部分图象如图所示，设eq \f(f(2)－f(1),2－1)＝a，则下列不等式正确的是( )
A．f′(1)C．f′(2)5．[2021·广东省七校联合体高三联考试题]已知函数f(x)＝xlnx＋a的图象在点(1，f(1))处的切线经过原点，则实数a＝( )
A．1B．0
C.eq \f(1,e)D．－1
二、填空题
6．[2021·南昌市NCS模拟考试]曲线f(x)＝(x2＋x)lnx在点(1，f(1))处的切线方程为________________________________________________________________________．
7．[2021·江西南昌模拟]设函数f(x)在(0，＋∞)内可导，其导函数为f′(x)，且f(lnx)＝x＋lnx，则f′(1)＝________.
8．[2021·福建龙岩质检]若曲线f(x)＝xsinx＋1在x＝eq \f(π,2)处的切线与直线ax＋2y＋1＝0相互垂直，则实数a＝________.
三、解答题
9．求下列函数的导数：
(1)y＝(3x3－4x)(2x＋1)；
(2)y＝eq \f(x＋csx,x＋sinx)；
(3)y＝eq \f(ln(2x＋3),x2＋1).
10.已知函数f(x)＝x3－4x2＋5x－4.
(1)求曲线f(x)在点(2，f(2))处的切线方程；
(2)求经过点A(2，－2)的曲线f(x)的切线方程．
[能力挑战]
11．[2021·广州市普通高中毕业班综合测试]已知点P(x0，y0)是曲线C：y＝x3－x2＋1上的点，曲线C在点P处的切线与直线y＝8x－11平行，则( )
A．x0＝2
B．x0＝－eq \f(4,3)
C．x0＝2或x0＝－eq \f(4,3)
D．x0＝－2或x0＝eq \f(4,3)
12．[2021·合肥市高三教学质量检测]已知f(x)为奇函数，当x<0时，f(x)＝e－x－ex2(e是自然对数的底数)，则曲线y＝f(x)在x＝1处的切线方程是( )
A．y＝－ex＋e
B．y＝ex＋e
C．y＝ex－e
D．y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2e－\f(1,e)))x－2e＋eq \f(1,e)
13．如图，y＝f(x)是可导函数，直线l：y＝kx＋2是曲线y＝f(x)在x＝3处的切线，令g(x)＝xf(x)，则曲线g(x)在x＝3处的切线方程为________．
课时作业13
1．解析：f′(x)＝2 019＋ln x＋x×eq \f(1,x)＝2 020＋ln x，故由f′(x0)＝2 020，得2 020＋ln x0＝2 020，则ln x0＝0，解得x0＝1.故选B项．
答案：B
2．解析：根据题意，依次分析选项：
对于A，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))′＝(x－1)′＝－eq \f(1,x2)，A错误；对于B，(eq \r(x))′＝(xeq \f(1,2))′＝eq \f(1,2)×x－eq \f(1,2)＝eq \f(1,2\r(x))，B正确；对于C，(xa)′＝axa－1，C正确；对于D，(lgax)′＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(ln x,ln a)))′＝eq \f(1,xln a)，D正确；故选A.
答案：A
3．解析：因为直线y＝－x＋m是曲线y＝x2－3ln x的切线，所以令y′＝2x－eq \f(3,x)＝－1，得x＝1或x＝－eq \f(3,2)(舍去)，即切点为(1,1)，又切点(1,1)在直线y＝－x＋m上，所以m＝2，故选B.
答案：B
4．解析：由图象可知，在(0，＋∞)上，函数f(x)为增函数，且曲线切线的斜率越来越大，∵eq \f(f(2)－f(1),2－1)＝a，∴易知f′(1)答案：B
5．解析：f′(x)＝ln x＋1，∴f′(1)＝1，∴切线方程为y＝x－1＋a，故0＝0－1＋a，解得a＝1，故选A.
答案：A
6．解析：由题意得f′(x)＝(2x＋1)ln x＋x＋1，则f′(1)＝2，又f(1)＝0，所以所求的切线方程为y＝2(x－1)，即2x－y－2＝0.
答案：2x－y－2＝0
7．解析：因为f(ln x)＝x＋ln x，所以f(x)＝x＋ex，所以f′(x)＝1＋ex，所以f′(1)＝1＋e1＝1＋e.
答案：1＋e
8．解析：因为f′(x)＝sin x＋xcs x，所以f′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)))＝sineq \f(π,2)＋eq \f(π,2)·cseq \f(π,2)＝1.又直线ax＋2y＋1＝0的斜率为－eq \f(a,2)，所以1×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(a,2)))＝－1，解得a＝2.
答案：2
9．解析：(1)解法一：因为y＝(3x3－4x)(2x＋1)＝6x4＋3x3－8x2－4x，所以y′＝24x3＋9x2－16x－4.
解法二：y′＝(3x3－4x)′(2x＋1)＋(3x3－4x)(2x＋1)′＝(9x2－4)(2x＋1)＋(3x3－4x)·2＝24x3＋9x2－16x－4.
(2)y′＝
eq \f((x＋cs x)′(x＋sin x)－(x＋cs x)(x＋sin x)′,(x＋sin x)2)
＝eq \f((1－sin x)(x＋sin x)－(x＋cs x)(1＋cs x),(x＋sin x)2)
＝eq \f(－xcs x－xsin x＋sin x－cs x－1,(x＋sin x)2).
(3)y′＝
eq \f([ln(2x＋3)]′(x2＋1)－ln(2x＋3)(x2＋1)′,(x2＋1)2)
＝eq \f(\f((2x＋3)′,2x＋3)·(x2＋1)－2xln(2x＋3),(x2＋1)2)
＝eq \f(2(x2＋1)－2x(2x＋3)ln(2x＋3),(2x＋3)(x2＋1)2).
10．解析：(1)因为f′(x)＝3x2－8x＋5，所以f′(2)＝1，又f(2)＝－2，
所以曲线在点(2，f(2))处的切线方程为y＋2＝x－2，
即x－y－4＝0.
(2)设曲线与经过点A(2，－2)的切线相切于点P(x0，xeq \\al(3,0)－4xeq \\al(2,0)＋5x0－4)，因为f′(x0)＝3xeq \\al(2,0)－8x0＋5，
所以切线方程为y－(－2)＝(3xeq \\al(2,0)－8x0＋5)(x－2)，
又切线过点P(x0，xeq \\al(3,0)－4xeq \\al(2,0)＋5x0－4)，
所以xeq \\al(3,0)－4xeq \\al(2,0)＋5x0－2＝(3xeq \\al(2,0)－8x0＋5)(x0－2)，
整理得(x0－2)2(x0－1)＝0，解得x0＝2或1，
所以经过A(2，－2)的曲线f(x)的切线方程为x－y－4＝0或y＋2＝0.
11．解析：因为曲线C在点P处的切线与直线y＝8x－11平行，所以曲线C在点P处的切线的斜率为8.由y＝x3－x2＋1求导得y′＝3x2－2x，令y′|x＝x0＝3xeq \\al(2,0)－2x0＝8，解得x0＝2或x0＝－eq \f(4,3).当x0＝2时，y0＝23－22＋1＝5，此时切线的方程为y－5＝8(x－2)，即y＝8x－11，与直线y＝8x－11重合，故x0＝2不符合题意．经验证可知x0＝－eq \f(4,3)符合题意，故选B.
答案：B
12．解析：设x>0，则－x<0，所以f(－x)＝ex－ex2，因为f(x)为奇函数，所以f(x)＝－f(－x)＝－ex＋ex2，所以f′(x)＝－ex＋2ex，所以f′(1)＝e，f(1)＝0，所以曲线y＝f(x)在x＝1处的切线方程为y＝e(x－1)，即y＝ex－e.
答案：C
13．解析：由题图可知曲线y＝f(x)在x＝3处的切线斜率等于－eq \f(1,3)，即f′(3)＝－eq \f(1,3).
又g(x)＝xf(x)，所以g′(x)＝f(x)＋xf′(x)，
g′(3)＝f(3)＋3f′(3)，由题图可知f(3)＝1，
所以g(3)＝3f(3)＝3，g′(3)＝1＋3×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)))＝0，则曲线g(x)在x＝3处的切线方程为y－3＝0.
答案：y－3＝0