初中数学人教版九年级下册第二十七章 相似综合与测试综合训练题

这是一份初中数学人教版九年级下册第二十七章 相似综合与测试综合训练题，共11页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列四条线段中，不是成比例线段的为( )
A.a=3，b=6，c=2，d=4
B.a=4，b=6，c=5，d=10
C.a=1，b=eq \r(2)，c=eq \r(6)，d=eq \r(3)
D.a=2，b=eq \r(5)，c=eq \r(15)，d=2eq \r(3)
2.下列各组图形中有可能不相似的是( )
A.各有一个角是45°的两个等腰三角形
B.各有一个角是60°的两个等腰三角形
C.各有一个角是105°的两个等腰三角形
D.两个等腰直角三角形
3.如图，在△ABC中，DE∥BC，eq \f(AD,AB)=eq \f(1,3)，BC=12，则DE的长是( )
A.3 B.4 C.5 D.6
4.如图，线段AB两个端点的坐标分别为A(4，4)，B(6，2)，以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩小为原来的eq \f(1,2)后得到线段CD，则端点C和D的坐标分别为( )
A.(2，2)，(3，2) B.(2，4)，(3，1) C.(2，2)，(3，1) D.(3，1)，(2，2)
5.如图，在Rt△ABC内有边长分别为a，b，c的三个正方形，则a，b，c满足的关系式是( )
A.b=a＋c B.b=ac C.b2=a2＋c2 D.b=2a=2c
6.下列说法：
①位似图形都相似；
②位似图形都是平移后再放大(或缩小)得到；
③直角三角形斜边上的中线与斜边的比为1:2；
④两个相似多边形的面积比为4:9，则周长的比为16:81.
其中正确的有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
7.如图，点A，B，C，D的坐标分别是(1，7)，(1，1)，(4，1)，(6，1)，以C，D，E为顶点的三角形与△ABC相似，则点E的坐标不可能是( )
A.(6，0) B.(6，3) C.(6，5) D.(4，2)
8.如图，已知D，E，F分别为等腰△ABC的边BC，CA，AB上的点，AB=AC，BD=2，CD=3，CE=4，AE=eq \f(3,2)，∠FDE=∠B，则AF的长为( )
A.5.5 B.4.5 C.4 D.3.5
9.如图，在平行四边形ABCD中，E是CD上的一点，DE：EC=2：3，连接AE，BE，BD，且AE，BD交于点F，则S△DEF：S△EBF：S△ABF=( )
A.2：5：25 B.4：9：25 C.2：3：5 D.4：10：25
10.如图，在△ABC中，CB=CA，∠ACB=90°，点D在边BC上(与B，C不重合)，四边形ADEF为正方形，过点F作FG⊥CA，交CA的延长线于点G，连接FB，交DE于点Q.
给出以下结论：①AC=FG；②S△FAB∶S四边形CBFG=1∶2；③∠ABC=∠ABF；④AD2=FQ·AC.
其中正确结论的个数是( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
二、填空题
11.比例尺为1∶4000 000的地图上，两城市间的图上距离为3 cm，则这两城市间的实际距离为________km.
12.如图，∠DAE=∠BAC=90°，请补充一个条件：_____________，使Rt△ABC∽Rt△ADE.
13.如图，在▱ABCD中，E在DC上，若DE：EC=1：2，则BF：BE=________.
14.如图，在△ABC中，D，E分别是AB和AC的中点，F是BC延长线上一点，DF平分CE于点G，CF=1，则BC=________，△ADE与△ABC的周长之比为________，△CFG与△BFD的面积之比为________.
15.如图，点D，E分别在AB，AC上，且∠ABC=∠AED.若DE=4，AE=5，BC=8，则AB的长为________.
16.如图，正方形OABC与正方形ODEF是位似图形，点O为位似中心，相似比为1∶eq \r(3)，点A的坐标为(0，1)，则点E的坐标是________.
17.如图，在Rt△ABC中，AB=BC，∠B=90°，AC=10eq \r(2).四边形BDEF是△ABC的内接正方形(点D，E，F在三角形的边上)，则此正方形的面积是________.
18.如图，身高为1.7 m的小明AB站在河的一岸，利用树的倒影去测量河对岸一棵树CD的高度，CD在水中的倒影为C′D，A，E，C′在一条线上.已知河BD的宽度为12 cm，BE=3 m，则树CD的高度为________.
19.如图，A，B，C，D依次为一直线上4个点，BC=2，△BCE为等边三角形，⊙O过A，D，E三点，且∠AOD=120°，设AB=x，CD=y，则y与x的函数关系式为________.
20.在平面直角坐标系中，A(4，0)，B(0，3)，在x轴上取一点C，使以B，O，C为顶点的三角形与△AOB相似，请写出符合条件的C点坐标：____________.
三、解答题
21.如图，在△ABC中，DE∥BC，DE=2，BC=3.求eq \f(AE,AC)的值.
22.如图，在△ABC中，AB=AC=8，BC=6，点D为BC上一点，BD=2.过点D作射线DE交AC于点E，使∠ADE=∠B.求线段EC的长度.
23.如图，△ABC的三个顶点的坐标分别为A(1，2)，B(3，1)，C(2，3)，以原点O为位似中心，将△ABC放大为原来的2倍得△A′B′C′.
(1)在图中第一象限内画出符合要求的△A′B′C′；(不要求写画法)
(2)计算△A′B′C′的面积.
24.如图，明珠大厦的顶部建有一直径为16 m的“明珠”，它的西面45 m处有一高16 m的小型建筑CD，人站在CD的西面附近无法看到“明珠”的外貌，如果向西走到点F处，可以开始看到“明珠”的顶端B；若想看到“明珠”的全貌，必须往西至少再走12 m.求大厦主体建筑的高度AE(不含顶部的“明珠”部分的高度).
25.如图，在矩形ABCD中，AB=12 cm，BC=6 cm，点P沿AB边从点A开始向点B以2 cm/s的速度移动，点Q沿DA边从点D开始向点A以1 cm/s的速度移动.如果P，Q同时出发，用t(s)表示移动的时间(0≤t≤6)，那么：
(1)当t为何值时，△QAP为等腰直角三角形？
(2)对四边形QAPC的面积，提出一个与计算结果有关的结论.
(3)当t为何值时，以点Q，A，P为顶点的三角形与△ABC相似？
26.如图，AB，AC分别是⊙O的直径和弦，点D为劣弧AC上一点，弦ED分别交⊙O于点E，交AB于点H，交AC于点F，过点C的切线交ED的延长线于点P.
(1)若PC=PF，求证：AB⊥DE；
(2)点D在劣弧AC的什么位置时，才能使AD2=DE·DF，为什么？
27.如图①，在Rt△ABC中，∠B=90°，BC=2AB=8，点D，E分别是边BC，AC的中点，连接DE. 将△EDC绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为α.
(1)当α=0°和α=180°时，求eq \f(AE,BD)的值.
(2)试判断当0°≤α＜360°时，eq \f(AE,BD)的大小有无变化？请仅就图②的情况给出证明.
(3)当△EDC旋转至A，D，E三点共线时，求线段BD的长.
答案
一、1.B 2.A 3.B 4.C 5.A 6.B 7.B 8.C 9.D
10.D 点拨：∵四边形ADEF为正方形，∴∠FAD=90°，AD=AF=EF，∴∠CAD＋∠FAG=90°.∵FG⊥CA，∴∠G=90°=∠ACB，∴∠DAC=∠AFG.在△FGA和△ACD中，eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(∠G＝∠C，,∠AFG＝∠DAC，,AF＝DA，))∴△FGA≌△ACD(AAS)，∴AC=FG，①正确；∵BC=AC，∴FG=BC.∵∠ACB=90°，FG⊥CA，∴FG∥BC，∴四边形CBFG是矩形，∴∠CBF=90°，S△FAB=eq \f(1,2)FB·FG=eq \f(1,2)S四边形CBFG，②正确；∵CA=CB，∠C=∠CBF=90°，∴∠ABC=∠ABF=45°，③正确；易知∠FQE=∠DQB=∠ADC，∠E=∠C=90°，∴△ACD∽△FEQ，∴AC∶AD=FE∶FQ，∴AD·FE=AD2=FQ·AC，④正确.
二、11.120
12.eq \f(AC,BC)=eq \f(AE,DE)(答案不唯一)
13.35 14.2；12；16
15.10 点拨：∵∠ABC=∠AED，∠BAC=∠EAD，∴△AED∽△ABC，∴eq \f(AE,AB)=eq \f(DE,CB)，∴eq \f(5,AB)=eq \f(4,8)，∴AB=10.
16.(eq \r(3)，eq \r(3))
17.25
18.5.1 m
19.y=eq \f(4,x)(x＞0)
20.(－4，0)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(9,4)，0))，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(9,4)，0))
三、21.解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC.
∴eq \f(AE,AC)=eq \f(DE,BC)=eq \f(2,3).
22.解：∵AB=AC，∴∠B=∠C.
∵∠ADC=∠B＋∠BAD，∠ADC=∠ADE＋∠CDE，而∠B=∠ADE，
∴∠BAD=∠CDE，
∴△ABD∽△DCE.
∴eq \f(AB,DC)=eq \f(BD,EC).
∵AB=8，BC=6，BD=2，
∴DC=BC－BD=4，
∴eq \f(8,4)=eq \f(2,EC)，∴EC=1.
23.解：(1)如图.
(2)S△A′B′C′=4×4－eq \f(1,2)×2×2－eq \f(1,2)×2×4－eq \f(1,2)×2×4=6.
(第23题)
24.解：设AE=h，∵CD∥AB，∴△FAB∽△FCD，∴eq \f(AF,CF)=eq \f(AB,CD)，
即eq \f(AF,AF－45)=eq \f(h＋16,16)，∴AF=eq \f(45（h＋16）,h).
同理易证△AGE∽△CGD，∴eq \f(AG,CG)=eq \f(AE,CD)，
即eq \f(AG,AG－45)=eq \f(h,16)，∴AG=eq \f(45h,h－16).
又∵AG－AF=12，∴eq \f(45h,h－16)－eq \f(45（h＋16）,h)=12.
整理得h2－16h－960=0，
∴h=40或h=－24(不合题意，舍去).
∴大厦主体建筑的高度AE为40 m.
25.解：(1)由题意知AP=2t，DQ=t，QA=6－t，当QA=AP时，
△QAP是等腰直角三角形，所以6－t=2t，解得t=2.
(2)四边形QAPC的面积=S△QAC＋S△APC=eq \f(1,2)AQ·AB＋eq \f(1,2)AP·BC=(36－6t)＋6t=36.在P，Q两点移动的过程中，四边形QAPC的面积始终保持不变.
(3)分两种情况：
①当eq \f(AQ,AB)=eq \f(AP,BC)时，△QAP∽△ABC，则eq \f(6－t,12)=eq \f(2t,6)，即t=1.2；
②当eq \f(QA,BC)=eq \f(AP,AB)时，△PAQ∽△ABC，则eq \f(6－t,6)=eq \f(2t,12)，即t=3.
所以当t=1.2或3时，以点Q，A，P为顶点的三角形与△ABC相似.
26.(1)证明：如图，连接OC.
∵PC=PF，∴∠PCF=∠PFC=∠AFH.
又∵PC是⊙O的切线，
∴∠PCF＋∠ACO=90°.
∵OC=OA，
∴∠ACO=∠CAO.
∴∠AFH＋∠CAO=90°.
∴∠FHA=90°.∴AB⊥DE.
(第26题)
(2)解：点D在eq \(AC,\s\up8(︵))的中点时，AD2=DE·DF.
理由如下：如图，连接AE，
∵点D是eq \(AC,\s\up8(︵))的中点，
∴eq \(DC,\s\up8(︵))=eq \(DA,\s\up8(︵))，
∴∠CAD=∠AED.
又∵∠ADE=∠FDA，
∴△ADF∽△EDA，
∴eq \f(AD,ED)=eq \f(DF,DA)，
∴AD2=DE·DF.
27.解：(1)当α=0°时，∵BC=2AB=8，∴AB=4.∵点D，E分别是边BC，AC的中点，∴BD=4，AE=EC=eq \f(1,2)AC.∵∠B=90°，∴AC=eq \r(82＋42)=4eq \r(5)，∴AE=CE=2eq \r(5)，∴eq \f(AE,BD)=eq \f(2\r(5),4)=eq \f(\r(5),2).当α=180°时，如图①，易得AC=4eq \r(5)，CE=2eq \r(5)，CD=4，∴eq \f(AE,BD)=eq \f(AC＋CE,BC＋CD)=eq \f(4\r(5)＋2\r(5),8＋4)=eq \f(\r(5),2).
(第27题)
(2)无变化.
证明：在题图①中，∵DE是△ABC的中位线，
∴DE∥AB，∴eq \f(CE,CA)=eq \f(CD,CB)，∠EDC=∠B=90°.
如题图②，∵△EDC在旋转过程中形状大小不变，
∴eq \f(CE,CA)=eq \f(CD,CB)仍然成立.
又∵∠ACE=∠BCD=α，∴△ACE∽△BCD，∴eq \f(AE,BD)=eq \f(AC,BC).
在Rt△ABC中，AC=eq \r(AB2＋BC2)=eq \r(42＋82)=4eq \r(5).
∴eq \f(AC,BC)=eq \f(4\r(5),8)=eq \f(\r(5),2)，∴eq \f(AE,BD)=eq \f(\r(5),2)，∴eq \f(AE,BD)的大小不变.
(3)当△EDC在BC上方，且A，D，E三点共线时，四边形ABCD为矩形，如图②，∴BD=AC=4eq \r(5)；当△EDC在BC下方，且A，E，D三点共线时，△ADC为直角三角形，如图③，由勾股定理可得AD=eq \r(AC2－CD2)=8.又易知DE=2，∴AE=6.∵eq \f(AE,BD)=eq \f(\r(5),2)，∴BD=eq \f(12\r(5),5).
综上，BD的长为4eq \r(5)或eq \f(12\r(5),5).