人教版九年级下册第二十七章 相似综合与测试课时训练

人教版数学九年级下册《相似》单元提优卷

一、选择题

1．观察下列每组图形，相似图形是(　　)

2．下列线段中，能成比例的是(　　)

A．3cm、6cm、8cm、9cm       B．3cm、5cm、6cm、9cm

C．3cm、6cm、7cm、9cm       D．3cm、6cm、9cm、18cm

3．已知△ABC∽△DEF，且AB∶DE＝1∶2，则△ABC的面积与△DEF的面积之比为(　　)

A．1∶2        B．1∶4          C．2∶1           D．4∶1

4．如图，在6×6的正方形网格中，连接两格点A，B，线段AB与网格线的交点为M，N，则AM∶MN∶NB为(　　)

A．3∶5∶4  B．1∶3∶2  C．1∶4∶2  D．3∶6∶5

5．如图，线段AB两个端点的坐标分别为A(4，4)，B(6，2)，以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩小为原来的后得到线段CD，则端点C和D的坐标分别为(　　)

A．(2，2)，(3，2)  B．(2，4)，(3，1)   C．(2，2)，(3，1)  D．(3，1)，(2，2)

6．如图，为测量河流的宽度，在河对岸选定一个目标点A，在近岸取点B、C、D，使得AB⊥BC，点E在BC上，并且点A、E、D在同一直线上．若测得BE＝15m，EC＝9m，CD＝16m，则河的宽度AB等于(　　)

A．35m        B.m            C.m           D.m

7．如图，在△ABC中，D、E分别为AB、AC边上的点，DE∥BC，点F为BC边上一点，连接AF交DE于点G，则下列结论中一定正确的是(　　)

A.＝         B.＝          C.＝     D.＝

8．如图，已知在等腰△ABC中，顶角∠A＝36°，BD是∠ABC的平分线，则的值为(　　)

A.            B.           C．1             D.

9．如图，正方形ABCD中，M为BC上一点，ME⊥AM，ME交AD的延长线于点E.若AB＝12，BM＝5，则DE的长为(　　)

A．18              B.             C.              D.

10．如图，CB＝CA，∠ACB＝90°，点D在边BC上(与B、C不重合)，四边形ADEF为正方形，过点F作FG⊥CA，交CA的延长线于点G，连接FB，交DE于点Q.

给出以下结论：①AC＝FG；②S△FAB∶S四边形CBFG＝1∶2；③∠ABC＝∠ABF；④AD2＝FQ·AC.

其中正确结论的个数是(　　)

A．1个  B．2个  C．3个  D．4个

二、填空题

11．如图，直线a∥b∥c，直线l1，l2与这三条平行线分别交于点A，B，C和点D，E，F.若AB∶BC＝1∶2，DE＝3，则EF的长为________．

12．如图，在△ABC中，D是AB边上的一点，连接CD，请添加一个适当的条件______________，使△ABC∽△ACD(只填一个即可)．

13．如图，在△ABC中，M、N分别为AC、BC的中点．若S△CMN＝1，则S四边形ABNM＝________．

14．《孙子算经》是我国古代重要的数学著作，成书于约一千五百年前，其中有道歌谣算题：“今有竿不知其长，量得影长一丈五尺，立一标杆，长一尺五寸，影长五寸，问杆长几何？”歌谣的意思是：有一根竹竿不知道有多长，量出它在太阳下的影子长一丈五，同时立一根一尺五的小标杆，它的影长五寸(提示：仗和尺是古代的长度单位，1丈＝10尺，1尺＝10寸)，可以求出竹竿的长为________尺．

15．如图，正方形OABC与正方形ODEF是位似图形，点O为位似中心，相似比为1∶，点A的坐标为(0，1)，则点E的坐标是________．

16．如图，在Rt△ABC中，AB＝BC，∠B＝90°，AC＝10.四边形BDEF是△ABC的内接正方形(点D、E、F在三角形的边上)，则此正方形的面积是________．

17．如图，菱形ABCD的边长为1，直线l过点C，交AB的延长线于M，交AD的延长线于N，则＋＝________．

18．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4.Rt△MPN中，∠MPN＝90°，

点P在AC上，PM交AB于点E，PN交BC于点F，当PE＝2PF时，AP＝________．

三、解答题

19．如图，在△ABC中，DE∥BC，DE＝2，BC＝3.求的值．

20．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E分别在BC，AB上，且∠BDE＝∠CAD.求证：△ADE∽△ABD.

21.如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点△ABC(顶点是网格线的交点)．

(1)将△ABC向上平移3个单位长度得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1；

(2)请画一个格点△A2B2C2，使△A2B2C2∽△ABC，且相似比不为1.

22.如图，△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB上一点，以CD为直径的⊙O交BC于点E，连接AE交CD于点P，交⊙O于点F，连接DF，∠CAE＝∠ADF.

(1)判断AB与⊙O的位置关系，并说明理由；

(2)若PF∶PC＝1∶2，AF＝5，求CP的长．

23．一天晚上，李明和张龙利用灯光下的影子来测量一路灯D的高度，如图，当李明走到点A处时，张龙测得李明直立身高AM与其影子长AE正好相等，接着李明沿AC方向继续向前走，走到点B处时，李明直立时身高BN的影子恰好是线段AB，并测得AB＝1.25m.已知李明直立时的身高为1.75m，求路灯CD的高．

24．如图，矩形OABC的顶点A、C分别在x轴和y轴上，点B的坐标为(2，3)，双曲线y＝(x>0)的图象经过BC上的点D与AB交于点E，连接DE，若E是AB的中点．

(1)求点D的坐标；

(2)点F是OC边上一点，若△FBC和△DEB相似，求点F的坐标．

25．如图①所示，在△ABC中，点O是AC上一点，过点O的直线与AB，BC的延长线分别相交于点M，N.

【问题引入】

(1)若点O是AC的中点，＝，求的值；

温馨提示：过点A作MN的平行线交BN的延长线于点G.

【探索研究】

(2)若点O是AC上任意一点(不与A，C重合)，求证：··＝1；

【拓展应用】

(3)如图②所示，点P是△ABC内任意一点，射线AP，BP，CP分别交BC，AC，AB于点D，E，F.若＝，＝，求的值．

参考答案

1．D　2.D　3.B　4.B　5.C　6.C　7.C

8．B　解析：∵等腰△ABC中，顶角∠A＝36°，∴∠ABC＝∠C＝72°.又∵BD是∠ABC的平分线，∴∠ABD＝∠DBC＝36°＝∠A.∵∠C＝∠C，∴△BDC∽△ABC，∴＝.设AD＝x，AB＝AC＝y，则CD＝y－x.∵∠A＝∠ABD＝36°，∴BD＝AD＝x，∠BDC＝72°＝∠C，∴BC＝BD＝x，∴＝.设＝k，则上式可以变化为－1＝k，解得k＝或(不符合题意，舍去)，∴的值为.

9．B　解析：∵四边形ABCD是正方形，AB＝12，BM＝5，∴AM＝13.∵AM⊥ME，∴∠E＋∠EAM＝90°.∵∠BAM＋∠EAM＝90°，∴∠E＝∠BAM.又∵∠B＝∠AME＝90°，∴△ABM∽△EMA，∴＝，∴AE＝.∴DE＝AE－AD＝－12＝.故选B.

10．D　解析：∵四边形ADEF为正方形，∴∠FAD＝90°，AD＝AF＝EF，∴∠CAD＋∠FAG＝90°.∵FG⊥CA，∴∠G＝90°＝∠ACB，∴∠CAD＝∠AFG.在△FGA和△ACD中，∴△FGA≌△ACD(AAS)，∴AC＝FG，①正确；∵BC＝AC，∴FG＝BC.∵∠ACB＝90°，FG⊥CA，∴FG∥BC，∴四边形CBFG是矩形，∴∠CBF＝90°，S△FAB＝FB·FG＝S四边形CBFG，②正确；∵CA＝CB，∠C＝∠CBF＝90°，∴∠ABC＝∠ABF＝45°，③正确；∵∠FQE＝∠DQB＝∠ADC，∠E＝∠C＝90°，∴△ACD∽△FEQ，∴AC∶AD＝FE∶FQ，∴AD·FE＝AD2＝FQ·AC，④正确．

11．6　12.∠B＝∠ACD或∠ADC＝∠ACB或AC2＝AD·AB

13．3　14.45　15.(，)　16.25

17．1　解析：∵四边形ABCD是菱形，∴BC∥AD，CD∥AM，∴＝，＝，∴＋＝＋＝1.又∵AB＝AD＝1，∴＋＝1.

18．3　解析：如图，作PQ⊥AB于Q，PR⊥BC于R.∵∠PQB＝∠QBR＝∠BRP＝90°，∴四边形PQBR是矩形，∴∠QPR＝90°＝∠MPN，∴∠QPE＝∠RPF，∴△QPE∽△RPF，∴＝＝2，∴PQ＝2PR＝2BQ.∵PQ∥BC，∴AQ∶QP＝AB∶BC＝3∶4.设PQ＝4x，则AQ＝3x，BQ＝2x，∴2x＋3x＝3，∴x＝，∴AQ＝，PQ＝，∴AP＝＝3.

19．解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，(4分)∴＝＝.(8分)

20．证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.(2分)∵∠ADB＝∠C＋∠CAD＝∠BDE＋∠ADE，∠BDE＝∠CAD，∴∠ADE＝∠C，∴∠B＝∠ADE.(5分)∵∠DAE＝∠BAD，∴△ADE∽△ABD.(8分)

21．解：(1)作出△A1B1C1，如图所示．(4分)

(2)作出△A2B2C2，如图所示．本题是开放题，答案不唯一，只要作出的△A2B2C2满足条件即可．(8分)

22．解：(1)AB是⊙O的切线．(1分)理由：连接DE、CF.∵CD是直径，∴∠DEC＝∠DFC＝90°.∵∠ACB＝90°，∴∠DEC＋∠ACE＝180°，∴DE∥AC，∴∠DEA＝∠CAE＝∠DCF.∵∠DFC＝90°，∴∠DCF＋∠CDF＝90°.(3分)∵∠ADF＝∠CAE＝∠DCF，∴∠ADF＋∠CDF＝90°，∴∠ADC＝90°，∴CD⊥AD，∴AB是⊙O的切线．(5分)

(2)∵∠CPF＝∠APC，∠PCF＝∠PAC，∴△PCF∽△PAC，∴＝，∴PC2＝PF·PA.(8分)设PF＝a，则PC＝2a，PA＝a＋5，∴4a2＝a(a＋5)，∴a＝，∴PC＝2a＝.(10分)

23．解：由题意知AM＝BN＝1.75m，设CD＝xm.∵AE＝AM，AM⊥EC，∴∠E＝45°，∴EC＝CD＝xm，AC＝(x－1.75)m.(2分)∵CD⊥EC，BN⊥EC，∴BN∥CD，∴△ABN∽△ACD，(5分)∴＝，即＝，解得x＝6.125.(9分)

答：路灯CD的高为6.125m.(10分)

24．解：(1)∵四边形OABC为矩形，∴AB⊥x轴．∵E为AB的中点，点B的坐标为(2，3)，∴点E的坐标为.∵点E在反比例函数y＝的图象上，∴k＝3，∴反比例函数的解析式为y＝.(2分)∵四边形OABC为矩形，∴点D与点B的纵坐标相同，将y＝3代入y＝可得x＝1，∴点D的坐标为(1，3)．(4分)

(2)由(1)可得BC＝2，CD＝1，∴BD＝BC－CD＝1.∵E为AB的中点，∴BE＝.(5分)若△FBC∽△DEB，则＝，即＝，∴CF＝，∴OF＝CO－CF＝3－＝，∴点F的坐标为.(7分)若△FBC∽△EDB，则＝，即＝，∴CF＝3，此时点F和点O重合．(9分)综上所述，点F的坐标为或(0，0)．(10分)

25．(1)解：过点A作MN的平行线交BN的延长线于点G.∵MN∥AG，∴△ABG∽△MBN.∴＝，∴－1＝－1，∴＝，即＝.(2分)同理，在△ACG和△OCN中，＝，∴＝.∵O为AC的中点，∴AO＝CO，∴NG＝CN.∴＝＝＝.(4分)

(2)证明：由(1)可知＝，＝，∴··＝··＝1.(7分)

(3)解：在△ABD中，点P是AD上一点，过点P的直线与AB，BD的延长线分别相交于点F，C.由(2)可得··＝1.(8分)在△ACD中，过点P的直线与AC，CD的延长线分别相交于点E，B.由(2)可得··＝1.(9分)∴··＝··，∴＝··＝·＝×＝.(12分)