数学九年级下册第二十七章 相似综合与测试单元测试同步训练题

这是一份数学九年级下册第二十七章 相似综合与测试单元测试同步训练题，共9页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.若eq \f(y,x)=eq \f(3,4)，则eq \f(x＋y,x)的值为( )
A.1 B.eq \f(4,7) C.eq \f(5,4) D.eq \f(7,4)
2.已知△ABC∽△A′B′C′且eq \f(AB,A′B′)=eq \f(1,2)，则S△ABC∶S△A′B′C′为( )
A.1∶2 B.2∶1 C.1∶4 D.4∶1
3.如图，身高为1.6米的某学生想测量学校旗杆的高度，当她在C处时，她的影子正好与旗杆的影子重合，并测得AC=2米，BC=8米，则旗杆的高度是( )
A.6.4米 B.7米 C.8米 D.9米
4.如图，E是平行四边形ABCD的边BC的延长线上的一点，连接AE交CD于点F，则图中共有相似三角形( )
A.1对 B.2对 C.3对 D.4对
5.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=6，以斜边AB上的一点O为圆心所作的半圆分别与AC，BC相切于点D，E，则AD为( )
A.2.5 B.1.6 C.1.5 D.1
6.如图，AD是△ABC的角平分线，则AB∶AC等于( )
A.BD∶CD B.AD∶CD C.BC∶AD D.BC∶AC
7.如图，AB=4，射线BM和AB互相垂直，点D是AB上的一个动点，点E在射线BM上，BE=eq \f(1,2)DB，作EF⊥DE并截取EF=DE，连接AF并延长交射线BM于点C.设BE=x，BC=y，则y关于x的函数解析式为( )
A.－eq \f(12x,x－4) B.－eq \f(2x,x－1) C.－eq \f(3x,x－1) D.－eq \f(8x,x－4)
8.如图，在正方形ABCD中，E是BC的中点，F是CD上一点，且CF=eq \f(1,4)CD.
下列结论：①∠BAE=30°；②△ABE∽△AEF；③AE⊥EF；④△ADF∽△ECF.
其中正确的个数为( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
二、填空题
9.如果eq \f(a,b)=eq \f(c,d)=eq \f(e,f)=k(b＋d＋f≠0)，且a＋c＋e=3(b＋d＋f)，那么k=________.
10.在△ABC中，AB=8，AC=6，在△DEF中，DE=4，DF=3，要使△ABC与△DEF相似，则需要添加一个条件是______________________________.(写出一种情况即可)
11.如图，AB∥CD，AD与BC相交于点O，OA=4，OD=6，则△AOB与△DOC的周长比是________.
12.如图是小明设计用手电来测量都匀南沙州古城墙高度的示意图，点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到古城墙CD的顶端C处，已知AB⊥BD，CD⊥BD，且测得AB=1.2米，BP=1.8米，PD=12米，那么该古城墙的高度是________米.(平面镜的厚度忽略不计)
13.如图，矩形EFGH内接于△ABC，且边FG落在BC上，若BC=3，AD=2，EF=eq \f(2,3)EH，那么EH的长为________.
14.如图，一条4m宽的道路将矩形花坛分为一个直角三角形和一个直角梯形，根据图中数据，可知这条道路的占地面积为________m2.
三、解答题
15.如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC上一点，且∠AED=∠B.若AE=5，AB=9，CB=6，求ED的长.
16.如图所示，已知AB∥CD，AD，BC相交于点E，F为BC上一点，且∠EAF=∠C.
求证：
(1) ∠EAF=∠B；
(2) AF2=FE·FB.
17.如图所示，在正方形ABCD中，BE平分∠DBC且交CD边于点E，将△BCE绕点C顺时针旋转到△DCF的位置，并延长BE交DF于点G.
(1) 求证：△BDG∽△DEG；
(2) 若EG·BG=4，求BE的长.
18.如图，图中的小方格都是边长为1的正方形，△ABC与△A′B′C′是关于点O为位似中心的位似图形，它们的顶点都在小正方形的顶点上.
(1) 画出位似中心点O；
(2) 求出△ABC与△A′B′C′的位似比；
(3) 以点O为位似中心，再画一个△A1B1C1，使它与△ABC的位似比等于1.5.
19.王亮同学利用课余时间对学校旗杆的高度进行测量，他是这样测量的：把长为3m的标杆垂直放置于旗杆一侧的地面上，测得标杆底端距旗杆底端的距离为15m，然后往后退，直到视线通过标杆顶端正好看不到旗杆顶端时为止，测得此时人与标杆的水平距离为2m，已知王亮的身高为1.6m，请帮他计算旗杆的高度(王亮眼睛距地面的高度视为他的身高).
20.如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE=∠B.
(1) 求证：∠DFA=∠ECD；
(2) △ADF与△DEC相似吗？为什么？
(3) 若AB=4，AD=3eq \r(3)，AE=3，求AF的长.
21.一块材料的形状是锐角三角形ABC，边BC=120mm，高AD=80mm，把它加工成正方形零件如图①，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上.
(1) 求证：△AEF∽△ABC；
(2) 求这个正方形零件的边长；
(3) 如果把它加工成矩形零件如图②，问这个矩形的最大面积是多少？
22.如图，已知AB是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，弦ED⊥AB于点F，交BC于点G，过点C的直线与ED的延长线交于点P，PC=PG.
(1 )求证：PC是⊙O的切线；
(2) 当点C在劣弧AD上运动时，其他条件不变，若BG2=BF·BO.求证：点G是BC的中点；
(3) 在满足(2)的条件下，若AB=10，ED=4eq \r(6)，求BG的长.
23.如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=－eq \f(1,6)x2＋bx＋c过点A(0，4)和C(8，0)，P(t，0)是x轴正半轴上的一个动点，M是线段AP的中点，将线段MP绕点P顺时针旋转90°得线段PB，过点B作x轴的垂线，过点A作y轴的垂线，两直线相交于点D.
(1) 求b，c的值；
(2) 当t为何值时，点D落在抛物线上；
(3) 是否存在t，使得以A，B，D为顶点的三角形与△AOP相似？若存在，求此时t的值；若不存在，请说明理由.
答案;
一、
1---8 DCCCB AAB
二、
9. 3
10. ∠A=∠D(或BC∶EF=2∶1)
11. 2∶3
12. 8
13. eq \f(3,2)
14. 80
三、
15. 解：∵∠AED=∠B，∠A=∠A，∴△AED∽△ABC，∴eq \f(AE,AB)=eq \f(DE,BC)，∵AE=5，AB=9，CB=6，∴eq \f(5,9)=eq \f(DE,6)，解得DE=eq \f(10,3)
16. 证明：(1)∵AB∥CD，∴∠B=∠C，又∠C=∠EAF，∴∠EAF=∠B
(2)∵∠EAF=∠B，∠AFE=∠BFA，∴△AFE∽△BFA，则eq \f(AF,BF)=eq \f(FE,FA)，∴AF2=FE·FB
17. 解：(1)证明：∵BE平分∠DBC，∴∠CBE=∠DBG，∵∠CBE=∠CDF，∴∠DBG=∠CDF，∵∠BGD=∠DGE，∴△BDG∽△DEG
(2)∵△BDG∽△DEG，eq \f(DG,BG)=eq \f(EG,DG)，∴DG2=BG·EG=4，∴DG=2，∵∠EBC＋∠BEC=90°，∠BEC=∠DEG，∠EBC=∠EDG，∴∠BGD=90°，∵∠DBG=∠FBG，BG=BG，∴△BDG≌△BFG，∴FG=DG=2，∴DF=4，∵BE=DF，∴BE=DF=4.
18. 解：(1) 连接A′A，C′C，并分别延长相交于点O，即为位似中心
(2) 位似比为1∶2
(3) 略
19. 解：根据题意知，AB⊥BF，CD⊥BF，EF⊥BF，EF=1.6 m，CD=3 m，FD=2 m，BD=15 m，过E点作EH⊥AB，交AB于点H，交CD于点G，则EG⊥CD，EH∥FB，EF=DG=BH，EG=FD，CG=CD－EF.因为△ECG∽△EAH，所以eq \f(EG,EH)=eq \f(CG,AH)，即eq \f(2,2＋15)=eq \f(3－1.6,AH)，所以AH=11.9 m，所以AB=AH＋HB=AH＋EF=11.9＋1.6=13.5(m)，即旗杆的高度为13.5 m
20. 解：(1)证明：∵∠AFE=∠B，∠AFE＋∠DFA=180°，∠B＋∠ECD=180°，∴∠DFA=∠ECD
(2)△ADF∽△DEC.证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠ADF=∠DEC，∴△ADF∽△DEC
(3)∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，CD=AB=4，又∵AE⊥BC，∴AE⊥AD，在Rt△ADE中，DE=eq \r(AD2＋AE2)=eq \r(（3\r(3)）2＋32)=6，∵△ADF∽△DEC，∴eq \f(AD,DE)=eq \f(AF,CD)，∴eq \f(3\r(3),6)=eq \f(AF,4)，AF=2eq \r(3)
21. 解：(1)∵四边形EFHG为正方形，∴BC∥EF，∴△AEF∽△ABC
(2)∵四边形EFHG为正方形，∴EF∥BC，EG⊥BC，又∵AD⊥BC，∴EG∥AD，设EG=EF=x，则KD=x，∵BC=120 mm，AD=80 mm，∴AK=80－x，∵△AEF∽△ABC，∴eq \f(EF,BC)=eq \f(AK,AD)，即eq \f(x,120)=eq \f(80－x,80)，解得x=48，∴这个正方形零件的边长是48 mm
(3)设EG=KD=m，则AK=80－m，∵△AEF∽△ABC，∴eq \f(EF,BC)=eq \f(AK,AD)，即eq \f(EF,120)=eq \f(80－m,80)，∴EF=120－eq \f(3,2)m，∴S矩形EFHG=EG·EF=m·(120－eq \f(3,2)m)=－eq \f(3,2)m2＋120m=－eq \f(3,2)(m－40)2＋2400，故当m=40时，矩形EFHG的面积最大，最大面积为2400 mm2
22. 解：(1)连接OC，∵ED⊥AB，∴∠BFG=90°，∴∠B＋∠BGF=90°，又∵PC=PG，∴∠PCG=∠PGC，而∠PGC=∠BGF，∴∠B＋∠PCG=90°，又∵OB=OC，∴∠B=∠BCO.∴∠BCO＋∠PCG=90°，则∠PCO=90°，即OC⊥PC，而OC是半径，∴PC是⊙O的切线
(2)连接OG，∵BG2=BF·BO，∴eq \f(BG,BF)=eq \f(BO,BG)，而∠B=∠B，∴△BFG∽△BGO，∴∠BGO=∠BFG=90°，∴OG⊥BC，∴点G是BC的中点
(3)连接OE，∵AB是⊙O的直径，ED⊥AB，∴EF=eq \f(1,2)ED，∵AB=10，ED=4eq \r(6)，∴EF=2eq \r(6)，OE=OB=eq \f(1,2)AB=5.在Rt△OEF中，OF=eq \r(OE2－EF2)=1，∴BF=OB－OF=5－1=4，∴BG=eq \r(BF·BO)=2eq \r(5)
23. 解：(1)由抛物线y=－eq \f(1,6)x2＋bx＋c过点A(0，4)和C(8，0)，可得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(c＝4，,－\f(1,6)×64＋8b＋c＝0，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(c＝4,b＝\f(5,6)))
(2)∵∠AOP=∠PEB=90°，∠OAP=90°－∠APO=∠EPB，∴△AOP∽△PEB，且相似比为eq \f(AO,PE)=eq \f(AP,PB)=2，∵AO=4，PE=2，OE=OP＋PE=t＋2，又∵DE=OA=4，∴点D的坐标为(t＋2，4)，∴点D落在抛物线上时，有－eq \f(1,6)(t＋2)2＋eq \f(5,6)(t＋2)＋4=4，解得t=3或t=－2，∵t＞0，∴t=3，故当t为3时，点D落在抛物线上
(3)存在t，能够使得以A，B，D为顶点的三角形与△AOP相似.理由：①当0＜t＜8时，若△POA∽△ADB，则eq \f(PO,AD)=eq \f(AO,BD)，即eq \f(t,t＋2)=eq \f(4,4－\f(1,2)t)，整理，得t2＋16=0，∴t无解，若△POA∽△BDA，同理，解得t=－2＋2eq \r(5)(负值舍去)；②当t＞8时，若△POA∽△ADB，则eq \f(PO,AD)=eq \f(AO,BD)，即eq \f(t,t＋2)=eq \f(4,\f(1,2)t－4)，解得t=8＋4eq \r(5)(负值舍去)，若△POA∽△BDA，同理，解得t无解.综上所述，当t=－2＋2eq \r(5)或t=8＋4eq \r(5)时，以A，B，D为顶点的三角形与△AOP相似