北师大版八年级上册第一章 勾股定理综合与测试同步训练题

这是一份北师大版八年级上册第一章 勾股定理综合与测试同步训练题，共15页。试卷主要包含了下列各组数中，是勾股数的是等内容，欢迎下载使用。

1．下列各组数中，是勾股数的是（ ）
A．6，9，12B．﹣9，40，41C．52，122，132D．7，24，25
2．一个直角三角形两条直角边的长分别为6，8，则其斜边上的高为（ ）
A．B．13C．D．25
3．如图所示的网格是正方形网格，点A，B，C，D，E是网格线交点，则∠BAC﹣∠DAE的度数为（ ）
A．45°B．40°C．30°D．25°
4．同学们都学习过“赵爽弦图”，如图所示，若大正方形的面积为5，小正方形的面积为1，则每个直角三角形的两直角边的乘积为（ ）
A．1B．2C．D．
5．适合下列条件的△ABC中，直角三角形的个数为（ ）
①a＝32，b＝42，c＝52；②（c+b）（c﹣b）＝a；③∠A+∠B＝∠C；④a＝1，b＝，c＝．
A．1个B．2个C．3个D．4
6．如图，一块三角形木板，测得AB＝13，BC＝5，AC＝12，则三角形木板ABC的面积为（ ）
A．60B．30C．65D．不能确定
7．如图有一个水池，水面BE的宽为16尺，在水池的中央有一根芦苇，它高出水面2尺，如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，则这个芦苇的高度是（ ）
A．26尺B．24尺C．17尺D．15尺
8．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，BC＝8cm，AC＝6cm，则BD的长为（ ）
A．3cmB．4cmC．5cmD．6cm
9．国庆假期中，小华与同学去玩探宝游戏，按照探宝图，他们从门口A处出发先往东走8km，又往北走2km，遇到障碍后又往西走3km，再向北走到6km处往东拐，仅走了1km，就找到了宝藏，则门口A到藏宝点B的直线距离是（ ）
A．20kmB．14kmC．11kmD．10km
10．将一根长24cm的筷子，置于底面直径为5cm，高为12cm的圆柱形水杯中，设筷子露出在杯子外面长为hcm，则h的取值范围是（ ）
A．0≤h≤12B．12≤h≤13C．11≤h≤12D．12≤h≤24
二．填空题
11．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，分别以BC，AB，AC为边向外作正方形，面积分别记为S1，S2，S3，若S2＝10，S3＝12，则S1＝ ．
12．如图，秋千静止时，踏板离地的垂直高度BE＝1m，将它往前推6m至C处时，水平距离CD＝6m，踏板离地的垂直高度CF＝4m，它的绳索始终拉直，则AC的长是m ．
13．如图，一株荷叶高出水面1m，一阵风吹过来，荷叶被风吹的贴着水面，这时它偏离原来位置有3m远，则荷叶原来的高度是 ．
14．如图，小亮将升旗的绳子拉到旗杆底端，绳子末端刚好接触到地面，然后将绳子末端拉到距离旗杆8m处，发现此时绳子末端距离地面2m，则旗杆的高度为（滑轮部分忽略不计）为 m．
15．如图，某港口P位于东西方向的海岸线上．“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，“远航”号以每小时16nmile的速度沿北偏东30°方向航行，“海天”号以每小时12nmile的速度沿北偏西60°方向航行．一小时后，“远航”号、“海天”号分别位于Q，R处，则此时“远航”号与“海天”号的距离为 nmile．
16．如图，台阶阶梯每一层高20cm，宽40cm，长50cm．一只蚂蚁从A点爬到B点，最短路程是 ．
三．解答题
17．如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AB＝AD＝3，BC＝10，CD＝8，求四边形ABCD的面积．
18．如图，某学校在美丽化校园施工过程中留下了一块空地，欲在空地上铺草坪，已知AD＝4米，CD＝3米，∠ADC＝90°，AB＝13米，BC＝12米，已知草坪每平方米100元，试问用该草坪铺满这块空地共需花费多少元？
19．小明和同桌小聪在课后复习时，对练习册“目标与评定”中的一道思考题，进行了认真地探索．（思考题）如图，一架2.5米长的梯子AB斜靠在竖直的墙AC上，这时B到墙C的距离为0.7米，如果梯子的顶端沿墙下滑0.4米，那么点B将向外移动多少米？
20．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，请按要求完成下列各题：
（1）作线段AD，使其长度为；
（2）通过计算说明△ABC是直角三角形．
21．为迎接十四运，西安某区强力推进“三改一通一落地”，加速城市更新步伐．某小区将对广场一块三角形空地进行绿化，如图，等腰三角形ABC的底边BC长为10，点D是AC上的一点，BD＝8，CD＝6．
（1）求证：BD⊥AC；
（2）求线段AB的长．
22．如图，A，B两点相距14km，C、D为两村庄，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，已知DA＝8km，CB＝6km，现在要在AB上建一个供水站E，使得C、D两村到供水站E站的距离相等，则：
（1）E站应建在距A站多少千米处？
（2）DE和EC垂直吗？说明理由．
23．如图，△ABC中，∠C＝90°，AB＝5cm，BC＝3cm，若动点P从点C开始，按C→A→B→C的路径运动，且速度为每秒1cm，设出发的时间为t秒．
（1）点P出发2秒后，求CP和BP的长．
（2）问满足什么条件时（t的值或取值范围），△BCP为直角三角形？
参考答案
一．选择题
1．解：A、∵62+92≠122，不能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
B、∵（﹣9）2+402＝412，能组成直角三角形，但﹣9不是正整数，故本选项不符合题意；
C、∵252+1442≠1692，不能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
D、∵72+242＝252，能组成直角三角形，故本选项符合题意；
故选：D．
2．解：设h为斜边上的高，
∵直角三角形的两条直角边的长分别为6和8，
∴斜边为＝10，
∵三角形的面积＝×6×8＝×10h，
∴h＝．
故选：C．
3．解：如图，连接CG、AG，
由勾股定理得：AC2＝AG2＝12+22＝5，CG2＝12+32＝10，
∴AC2+AG2＝CG2，
∴∠CAG＝90°，
∴△CAG是等腰直角三角形，
∴∠ACG＝45°，
∵CF∥AB，
∴∠ACF＝∠BAC，
在△CFG和△ADE中，
，
∴△CFG≌△ADE（SAS），
∴∠FCG＝∠DAE，
∴∠BAC﹣∠DAE＝∠ACF﹣∠FCG＝∠ACG＝45°，
故选：A．
4．解：如图，设两直角边为a，b，
∵大正方形的面积为5，
∴a2+b2＝5，
由题意4×ab+1＝5，
∴2ab＝4，
∴ab＝2，
故选：B．
5．解：①a＝32，b＝42，c＝52，∴a2+b2≠c2，故不能形成直角三角形；
②（c+b）（c﹣b）＝c2﹣b2＝a，故不能形成直角三角形；
③∵∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠A+∠B＝∠C＝90°，能形成直角三角形；
④∵a＝1，b＝，c＝，∴a2+c2＝b2，故能形成直角三角形，
故直角三角形的个数为2个，
故选：B．
6．解：∵AB2＝132＝169，
BC2+AC2＝52+122＝169，
∴AB2＝BC2+AC2，
即△ABC是直角三角形，
∴S△ABC＝BC×AC
＝×5×12
＝30，
故选：B．
7．解：设水池的深度为x尺，由题意得：
x2+82＝（x+2）2，
解得：x＝15，
所以x+2＝17．
即：这个芦苇的高度是17尺．
故选：C．
8．解：过D作DE⊥AB于E，
在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝8cm，AC＝6cm，
∴AB＝（cm），
∵，
∵AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB，∠ACB＝90°，
∴DE＝CD，
∴，
∴CD＝3（cm），
∴BD＝BC﹣DC＝8﹣3＝5（cm），
故选：C．
9．解：过点B作BC⊥AC，垂足为C．
观察图形可知AC＝AF﹣MF+MC＝8﹣3+1＝6，BC＝2+5＝7，
在Rt△ACB中，AB＝＝＝10（km）．
答：登陆点到宝藏埋藏点的直线距离是10km，
故选：D．
10．解：当筷子与杯底垂直时h最大，h最大＝24﹣12＝12（cm）．
当筷子与杯底及杯高构成直角三角形时h最小，
如图所示：此时，AB＝＝＝13（cm），
故h＝24﹣13＝11（cm）．
故h的取值范围是：11cm≤h≤12cm．
故选：C．
二．填空题
11．解：∵△ABC中，∠ABC＝90°，
∴AB2+BC2＝AC2，
∴BC2＝AC2﹣AB2，
∵BC2＝S1、AB2＝S2＝10，AC2＝S3＝12，
∴S1＝S3﹣S2＝12﹣10＝2．
故答案为：2．
12．解：设秋千绳索AB的长度为xm，
由题意可得AC＝AB＝xm，
四边形DCFE为矩形，BE＝1m，DC＝6m，CF＝4m，DE＝CF＝4m，
∴DB＝DE﹣BE＝3m，AD＝AB﹣BD＝（x﹣3）m，
在Rt△ADC中，AD2+DC2＝AC2，
即（x﹣3）2+62＝x2，
解得x＝7.5，
即AC的长度为7.5m，
故答案为：7.5．
13．解：设水面以下荷叶的高度为OH＝hm，则荷叶的高度为AO＝BO＝（h+1）m，如图所示：
在Rt△OHB中，BH＝3m，由勾股定理得：OH2+BH2＝BO2，
即h2+32＝（h+1）2，
解得：h＝4（m），
∴h+1＝5（m），
∴荷叶的高度为5m，
故答案为：5m．
14．解：设旗杆高度为xm，则AC＝AD＝xm，AB＝（x﹣2）m，BC＝8m，
在Rt△ABC中，AB2+BC2＝AC2，
即（x﹣2）2+82＝x2，
解得：x＝17，
即旗杆的高度为17米．
故答案为：17．
15．解：由题意可得，∠RPQ＝60°+30°＝90°，
PQ＝16×1＝16，PR＝12×1＝12，
∴RQ＝＝20nmile，
故答案为：20．
16．解：如图所示，
∵它的每一级的长宽高为20cm，宽40cm，长50cm，
∴AB＝＝130（cm）．
答：蚂蚁沿着台阶面从点A爬行到点B的最短路程是130cm．
故答案为：130cm．
三．解答题
17．解：连接BD，
∵∠A＝90°，AB＝AD＝3，
∴BD＝＝＝6，
∵BC＝10，CD＝8，
∴BD2+CD2＝BC2，
∴△BDC是直角三角形，且∠BDC＝90°，
∴四边形ABCD的面积S＝△ABD+S△BDC
＝
＝+
＝9+24
＝33．
18．解：连接AC，
在Rt△ACD中，∠ADC＝90°，AD＝4米，CD＝3米，
由勾股定理得：AC＝＝5（米），
∵AC2+BC2＝52+122＝169，AB2＝132＝169，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴∠ACB＝90°，
该区域面积S＝S△ACB﹣S△ADC＝5×123×4＝24（平方米），
即铺满这块空地共需花费＝24×100＝2400元．
19．解：在Rt△ABC中，∵AB＝2.5，BC＝0.7，
∴AC＝＝2.4米，
又∵AA1＝0.4，
∴A1C＝2.4﹣0.4＝2，
在Rt△A1B1C中，B1C＝＝1.5米，
则BB1＝CB1﹣CB＝1.5﹣0.7＝0.8米．
故：梯子底部B外移0.8米．
20．解：（1）如右图所示（点D的位置不唯一）；
（2）∵AB2＝12+22＝1+4＝5，AC2＝22+42＝4+16＝20，BC2＝32+42＝9+16＝25，
∴AB2+AC2＝BC2，
∴△ABC是直角三角形．
21．（1）证明：∵BC＝10，BD＝8，CD＝6，
∴BD2+CD2＝82+62＝102＝BC2，
∴∠BDC＝90°，
∴BD⊥AC；
（2）解：设AB＝x，则AB＝AC＝x，
∵CD＝6，
∴AD＝x﹣6，
∵AB2＝BD2+AD2，
∴x2＝82+（x﹣6）2，
解得：x＝，
∴AB＝．
22．解：（1）设AE＝xkm，
∵C、D两村到E站的距离相等，∴DE＝CE，即DE2＝CE2，
由勾股定理，得82+x2＝62+（14﹣x）2，
解得：x＝6．
故E点应建在距A站6千米处；
（2）DE⊥CD，理由如下：
在Rt△DAE和Rt△CBE中，
，
∴Rt△DAE≌Rt△CBE（HL），
∴∠D＝∠BEC，
∵∠D+∠AED＝90°，
∴∠BEC+∠AED＝90°，
∴∠DEC＝90°，
∴DE⊥CD．
23．（1）∵∠C＝90°，AB＝5cm，BC＝3cm，
∴AC＝4cm，
∵动点P从点C开始以每秒1cm的速度运动，
∴出发2秒后CP＝1×2＝2（cm），
∵∠C＝90°，
∴BP＝＝（cm），
（2）设运动时间为t秒，
∵AC＝4cm，动点P从点C开始按C→A→B→C的路径运动，且速度为每秒1cm，
∴当P在AC上运动时，△BCP为直角三角形，
∴0＜t≤4，
如图，当P在AB上时，CP⊥AB时，△BCP为直角三角形，
∵AB•CP＝AC•BC，
∴×5CP＝×3×4，
∴CP＝cm，
∴AP＝＝（cm），
∴AC+AP＝4+＝（cm），
∴t＝÷1＝（s），
综上所述，当0＜t≤4或 t＝时，△BCP为直角三角形．