01极值点偏移概念

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众所周知，函数满足定义域内任意自变量都有，则函数关于直线对称；可以理解为函数在对称轴两侧，函数值变化快慢相同，且若为单峰函数，则必为的极值点.如二次函数的顶点就是极值点，若的两根的中点为，则刚好有，即极值点在两根的正中间，也就是极值点没有偏移.
若相等变为不等，则为极值点偏移：若单峰函数的极值点为，且函数满足定义域内左侧的任意自变量都有或，则函数极值点左右侧变化快慢不同.故单峰函数定义域内任意不同的实数，满足，则与极值点必有确定的大小关系：
若，则称为极值点左偏；若，则称为极值点右偏.
如函数的极值点刚好在方程的两根中点的左边，我们称之为极值点左偏.
二､极值点偏移问题的一般题设形式：
1.若函数存在两个零点，且，求证：(为函数的极值点)；
2.若函数中存在，且满足，求证：(为函数的极值点)；
3.若函数存在两个零点，且，令，求证：；
4.若函数中存在，且满足，令，求证：.
三､问题初现，形神合聚
★函数有两极值点，，且.
证明：.
【解析】令，则，是函数两个零点.
令，得，
令，则，
，可得在区间单调递减，在区间单调递增，
所以，
令，
则，
当时，，单调递减，有，
所以，
所以，
因为，，在上单调递减
所以，即.
★已知函数的图象与函数的图象交于，，过的中点作轴的垂线分别交，于点，，问是否存在点，使在处的切线与在处的切线平行？若存在，求出的横坐标；若不存在，请说明理由.
【分析】设，，，则，
点，的横坐标，
，是函数的两个零点，
原问题即探究，的大小关系，
即的符号，
实质也是探究极值点是否偏移中点.
四､招式演练
1. 已知函数f(x)=xe−x(xR)
（1）求函数f(x)的单调区间和极值；
（2）若x(0，1)，求证：f(2−x)>f(x)；
（3）若x1(0，1)，x2(1，+∞)，且f(x1)=f(x2)，求证：x1+x2>2.
【答案】（1）在()内是增函数，在()内是减函数.极大值；（2）证明见解析；（3）证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）求函数的导数，求出极值点，判断导函数的符号，得到函数的单调区间和极值；
（2）令利用导函数的符号，判断函数的单调性，然后证明结果；
（3） 由（2） 得：，得到，利用函数的单调性，转化证明即可.
【详解】（1）=(1﹣x)e﹣x，令，则x=1
当x变化时，，f(x)的变化情况如下表：
∴f(x)在(﹣∞，1)上是增函数，在(1，+∞)上是减函数
∴f(x)在x=1处取得极大值；
（2）证明：令g(x)=f(x)﹣f(2﹣x)
则g(x)=xe﹣x﹣(2﹣x)ex﹣2
∴g(x)=(x﹣1)(e2x﹣2﹣1)e﹣x
∵当时，，从而
所以，从而函数在是增函数.
∵e﹣x>0，∴g(x)>0，∴g(x)在[1，+∞)上是增函数
又∵g（1）=0∴0