高中人教版 (2019)3 万有引力理论的成就学案设计

这是一份高中人教版 (2019)3 万有引力理论的成就学案设计，共17页。学案主要包含了“称量”地球的质量，计算天体的质量，天文现象的预测等内容，欢迎下载使用。
3．万有引力理论的成就
一、“称量”地球的质量
1．地球质量的测量思路：地球表面的物体，若不考虑地球自转的影响，物体的重力等于地球对物体的万有引力。
阿基米德在研究杠杆原理后曾经说过一句名言：给我一个支点，我可以撬动地球。那么是否真的可以用这种方法称量地球的质量？为什么？
提示：不能；没有这样稳定的支点和足够长的杠杆。
2．关系式：mg＝G eq \f(Mm,R2) 。
3．结果：M＝ eq \f(gR2,G) ，只要知道g、R、G的值，就可计算出地球的质量。
二、计算天体的质量
1．思路：质量为m的行星绕太阳做匀速圆周运动时，行星与太阳间的万有引力充当向心力。
2．关系式： eq \f(GMm,r2) ＝m eq \f(4π2,T2) r。
3．结论：M＝ eq \f(4π2r3,GT2) ，只要知道引力常量G、行星绕太阳运动的周期T和轨道半径r就可以计算出太阳的质量。
三、天文现象的预测
1．发现未知天体：亚当斯和勒维耶根据天王星的观测资料，利用万有引力定律计算出天王星外“新”行星的轨道。德国的伽勒在预言的位置附近发现了这颗行星——海王星。
2．预言哈雷彗星的回归：英国天文学家哈雷，计算出哈雷彗星的周期为76年，并成功预言这颗彗星将于1759年回归。
3．其他成就：
(1)解释潮汐现象：海水受到月亮和太阳的万有引力。
(2)推测地球形状：赤道略鼓，两极略扁的椭球体。
(3)重力探矿。
某同学学习了“万有引力理论的成就”后，总结出以下结论：
①绕行星匀速转动的卫星，万有引力提供向心力。
②地球表面的物体，重力就是物体所受的万有引力。
③已知地球绕太阳转动的周期和轨道半径，可以求出地球的质量。
④海王星是依据万有引力定律计算的轨道而发现的。
你的判断：正确的结论有①④。
1．天文学家发现天王星后，观测到天王星的轨道比较“古怪”，因此预言在天王星的轨道外还有一颗未发现的行星。
思考：由于海王星的存在，天王星的公转周期比没有海王星时会如何变化？
提示：由于海王星对天王星的万有引力，天王星绕太阳转动的向心力减小，周期变大。
2.“重力探矿”是万有引力在日常生活中一个很重要的应用。图为某型号相对重力探矿仪。
思考：若某地地下发现了天然气，则此处的重力加速度比正常位置偏大还是偏小？
提示：偏小。
一、测量天体的质量
万有引力与重力的关系
(物理观念——相互作用观念)
表格为地球上一些地点的纬度和重力加速度。你能从表中发现什么规律吗？能够尝试解释这个规律吗？
提示：纬度越高，重力加速度越大。与地球的形状以及地球的自转有关。
1.万有引力和重力的关系：如图所示，设地球的质量为M，半径为R，A处物体的质量为m，则物体受到地球的吸引力为F，方向指向地心O，由万有引力公式得F＝G eq \f(Mm,R2) 。引力F可分解为F1、F2两个分力，其中F1为物体随地球自转做圆周运动的向心力Fn，F2就是物体的重力mg。
2．重力与纬度的关系：地面上物体的重力随纬度的升高而变大。
(1)赤道上：重力和向心力在一条直线上F＝Fn＋mg，即G eq \f(Mm,R2) ＝mrω2＋mg，所以mg＝G eq \f(Mm,R2) －mrω2。
(2)地球两极处：向心力为零，所以mg＝F＝G eq \f(Mm,R2) 。
(3)其他位置：重力是万有引力的一个分力，重力的大小mga地>a金
C．v地>v火>v金 D．v火>v地>v金
【解析】选A。由万有引力提供向心力G eq \f(Mm,R2) ＝ma可知轨道半径越小，向心加速度越大，故知A项正确，B错误；由G eq \f(Mm,R2) ＝m eq \f(v2,R) 得v＝ eq \r(\f(GM,R)) ，可知轨道半径越小，运行速率越大，故C、D都错误。
1. (2021·金华高一检测)如图，A、B为地球的两颗卫星，它们绕地球做匀速圆周运动，其轨道半径满足rA＜rB。v、an、T、ω分别表示它们的环绕速度大小、向心加速度大小、周期和角速度，下列判断正确的是( )
A．vA＜vB B．anA＜anB
C．TA＜TB D．ωA＜ωB
【解析】选C。由 eq \f(GMm,r2) ＝man＝m eq \f(v2,r) ＝mω2r＝mr eq \f(4π2,T2) 得：v＝ eq \r(\f(GM,r)) ，ω＝ eq \r(\f(GM,r3)) ，an＝ eq \f(GM,r2) ，T＝2π eq \r(\f(r3,GM)) ，故r越大，v、ω、an越小，T越大，故C正确。
2．(2021·湖州高一检测)2019年1月3日，嫦娥四号成功登陆月球背面，全人类首次实现月球背面软着陆。嫦娥四号登陆月球前，在环月轨道上做匀速圆周运动，其与月球中心连线在单位时间内扫过的面积为S，已知月球的质量为M，引力常量为G，不考虑月球的自转，则环月轨道的半径大小为( )
A． eq \f(4S2,GM) B． eq \f(3S2,GM) C． eq \f(2S2,GM) D． eq \f(S2,GM)
【解析】选A。根据万有引力提供向心力 eq \f(GMm,r2) ＝m eq \f(4π2r,T2) ，解得嫦娥四号做圆周运动的周期为T＝2π eq \r(\f(r3,GM)) 。嫦娥四号绕月球做匀速圆周运动的圆的面积为πr2，所以嫦娥四号与月心连线在单位时间内所扫过的面积为S＝ eq \f(πr2,2π\r(\f(r3,GM))) ，解得环月轨道的半径大小为r＝ eq \f(4S2,GM) ，故选项A正确。
【补偿训练】如图所示，a、b是两颗绕地球做匀速圆周运动的人造地球卫星，它们距地面的高度分别是R和2R(R为地球半径)。下列说法中正确的是( )
A．a、b的线速度大小之比是 eq \r(2) ∶1
B．a、b的周期之比是1∶2 eq \r(2)
C．a、b的角速度大小之比是3 eq \r(6) ∶4
D．a、b的向心加速度大小之比是9∶2
【解析】选C。两卫星均做匀速圆周运动，F万＝F向。由 eq \f(GMm,r2) ＝m eq \f(v2,r) 得 eq \f(v1,v2) ＝ eq \r(\f(r2,r1)) ＝ eq \r(\f(3R,2R)) ＝ eq \r(\f(3,2)) ，故A项错误；由 eq \f(GMm,r2) ＝mr( eq \f(2π,T) )2得 eq \f(T1,T2) ＝ eq \r(\f(r eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(1)) ,r eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(2)) )) ＝ eq \f(2,3) eq \r(\f(2,3)) ，故B项错误；由 eq \f(GMm,r2) ＝mrω2得 eq \f(ω1,ω2) ＝ eq \r(\f(r eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(2)) ,r eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(1)) )) ＝ eq \f(3\r(6),4) ，故C项正确；由 eq \f(GMm,r2) ＝man得 eq \f(an1,an2) ＝ eq \f(r eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) ,r eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) ) ＝ eq \f(9,4) ，故D项错误。
【拓展例题】考查内容：数量级估算
【典例】土星最大的卫星叫“泰坦”，每16天绕土星一周，其公转轨道半径约为1.2×106 km，已知引力常量G＝6.67×10－11 N·m2/kg2，则土星的质量约为( )
A．5×1017 kg B．5×1026 kg
C．7×1033 kg D．4×1036 kg
【解析】选B。卫星绕土星运动，土星对卫星的引力提供卫星做圆周运动的向心力。设土星质量为M，则有 eq \f(GMm,R2) ＝m eq \f(4π2,T2) R，解得M＝ eq \f(4π2R3,GT2) ，代入计算可得：M＝ eq \f(4×（3.14）2×（1.2×106×103）3,6.67×10－11×（16×24×3 600）2) kg≈5×1026 kg，故B项正确。
银河系中央大黑洞——人马座A*黑洞
人类生活的银河系无论体积还是质量都非常巨大，它的直径达到了约15万光年，其中有着数千亿恒星，但其中最庞大而又最神秘的，无疑就是银河系中心黑洞——人马座A*黑洞了。
虽然黑洞无法直接观察，但是它附近的恒星却会在不经意间暴露它的“行踪”。为了观测人马座A*黑洞，欧洲南方天文台从1996年至今二十多年的时间里，对银河系中心数十颗恒星进行了持续的观测，并将几颗主要的恒星轨道拟合如图。观测数据显示，它们都在围绕一个看不见的天体高速旋转，其中一颗编号为S0—2(图中最小的椭圆轨道)的恒星仅用了16年便完成了一次闭环公转，而它的轨道长轴长达3×1011 km，其近心点的速度高达光速的3%。黑洞的强大引力使得S0—2恒星始终处于崩溃的边缘，然而由于它极快的速度，使得自己每次都可以“逃出生天”。
通过这次观测，科学家最终确定了人马座A*黑洞的位置以及质量。请尝试通过以上参数，计算出黑洞的质量(忽略广义相对论效应)。
解释：结合万有引力定律和开普勒第三定律得：M＝ eq \f(4π2a3,GT2) ，其中a＝1.5×1011 km，代入数据得，黑洞的质量约为8×1036 kg。
1．(水平1)已知引力常量G＝6.67×10－11 N·m2/kg2，重力加速度取g＝9.8 m/s2，地球半径R＝6.4×106 m，则可知地球质量的数量级是( )
A．1018 kg B．1020 kg C．1022 kg D．1024 kg
【解析】选D。根据万有引力定律有：F＝G eq \f(Mm,R2) ①；而在地球表面，物体所受的重力约等于地球对物体的吸引力：F＝mg②；联立①②解得：g＝G eq \f(M,R2) 。则M＝ eq \f(gR2,G) ＝ eq \f(9.8×（6.4×106）2,6.67×10－11) kg＝6.02×1024 kg，即地球质量的数量级是1024 kg，故D项正确。
2．(水平1)假如地球自转角速度增大，关于物体的万有引力及物体重力，下列说法错误的是( )
A．放在赤道地面上物体的万有引力不变
B．放在两极地面上物体的重力不变
C．放在赤道地面上物体的重力减小
D．放在两极地面上物体的重力增大
【解析】选D。地球自转角速度增大，物体受到的万有引力不变，故A项正确；在两极，物体受到的万有引力等于其重力，则其万有引力和重力不变，故B项正确、D项错误；而对放在赤道地面上的物体，F万＝G重＋mω2R，由于ω增大，则G重减小，故C项正确。
3．(水平2)我国高分系列卫星的高分辨对地观察能力不断提高。2018年5月9日发射的“高分五号”轨道高度约为705 km，之前已运行的“高分四号”轨道高度约为36 000 km，它们都绕地球做圆周运动。与“高分四号”相比，下列物理量中“高分五号”较小的是( )
A．周期 B．角速度
C．线速度 D．向心加速度
【解析】选A。“高分五号”的运动半径小于“高分四号”的运动半径，即r五v四，故C项错误；an＝ eq \f(GM,r2) ∝ eq \f(1,r2) ，an五>an四，故D项错误。
4．(水平2)有的天文学家倾向于把太阳系外较小的天体叫作“矮行星”，而另外一些人把它们叫作“小行星”，谷神星就是小行星之一。现有两个这样的天体，它们的质量分别为m1和m2，绕太阳运行的轨道半径分别是r1和r2，求：
(1)它们与太阳间的万有引力之比；
(2)它们的公转周期之比。
【解析】(1)设太阳质量为M，由万有引力定律得，两天体与太阳间的万有引力之比 eq \f(F1,F2) ＝ eq \f(G\f(Mm1,r eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) ),G\f(Mm2,r eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) )) ＝ eq \f(m1r eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) ,m2r eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) ) 。
(2)两天体绕太阳的运动可看成匀速圆周运动，向心力由万有引力提供，则有
G eq \f(Mm,r2) ＝m( eq \f(2π,T) )2r，
所以，天体绕太阳运动的周期T＝2π eq \r(\f(r3,GM)) ，
则两天体绕太阳的公转周期之比 eq \f(T1,T2) ＝ eq \r(\f(r eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(1)) ,r eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(2)) )) 。
答案：(1) eq \f(m1r eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) ,m2r eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) ) (2) eq \r(\f(r eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(1)) ,r eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(2)) ))
重力加速度的数值g/(m·s－2)
标准值g＝9.806 65 m/s2
地点
纬度
重力加速度
赤道
0°
9.780
广州
23°06′
9.788
武汉
30°12′
9.794
上海
31°12′
9.794
东京
35°43′
9.798
北京
39°56′
9.801
纽约
40°40′
9.803
莫斯科
55°45′
9.816
北极
90°
9.832
“自力更生法”
“借助外援法”
情景
已知天体(如地球)的半径R和天体(如地球)表面的重力加速度g
行星或卫星绕中心天体做匀速圆周运动
思路
物体的重力近似等于天体(如地球)与物体间的万有引力：mg＝G eq \f(Mm,R2)
行星或卫星受到的万有引力充当向心力：G eq \f(Mm,r2) ＝m eq \f(v2,r)
或G eq \f(Mm,r2) ＝mω2r
或G eq \f(Mm,r2) ＝m( eq \f(2π,T) )2r
结果
天体(如地球)质量：M＝ eq \f(gR2,G)
中心天体质量：M＝ eq \f(rv2,G) 或M＝ eq \f(r3ω2,G) 或M＝ eq \f(4π2r3,GT2)
项目
推导式
关系式
结论
v与r
的关系
G eq \f(Mm,r2) ＝m eq \f(v2,r)
v＝ eq \r(\f(GM,r))
r越大，
v越小
ω与r
的关系
G eq \f(Mm,r2) ＝mrω2
ω＝ eq \r(\f(GM,r3))
r越大，
ω越小
T与r
的关系
G eq \f(Mm,r2) ＝mr
T＝2π eq \r(\f(r3,GM))
r越大，
T越大
a与r
的关系
G eq \f(Mm,r2) ＝ma
a＝ eq \f(GM,r2)
r越大，
a越小