高中数学沪教版高中三年级 第一学期16.2排列教学设计及反思

这是一份高中数学沪教版高中三年级 第一学期16.2排列教学设计及反思，共4页。教案主要包含了设置情境，探索研究，演练反馈，参考答案，总结提炼等内容，欢迎下载使用。
教学目标：
能初步掌握有限制条件的排列问题的解法。
教学过程：
【设置情境】
从上一节课的简单应用题的解法中可以知道，一个问题是否为排列问题，关键是看与元素的顺序是否有关，在计算中除运用排列数公式外，还要结合分类计数原理与分步计数原理．
在实际中有些问题往往比较复杂，给出了一定的限制条件，如下面的问题：
6个队员排成一列进行操练，其中新队员甲不能站排头，也不能站排尾，问有多少种不同的站法？
像这样的问题，需要在正确理解题意的前提下，细致地分析与考察可能的情况，进行恰当的算法设计．
【探索研究】
对上个问题可进行如下分析：
分析1：要使甲不在排头和排尾，可先让甲在中间4个位置中任选1个位置，有种站法；然后对其余5人在另外5个位置上作全排列有种站法。根据分步计数原理，共有站法
（种）
分析2：由于甲不站排头和排尾，这两个位置只能在其余5个人中，选2个人站，有种站法；对于中间的四个位置，4个人有种站法．根据分步计数原理，共有站法
（种）
分析3：若对甲没有限制条件，共有种站法，这里面包含下面三种情况：（1）甲在排头；（2）甲在排尾；（3）甲不在排头，也不在排尾．
甲在排头有种站法；甲在排尾有种站法，这都不符合题没条件，从总数中减去这两种情况的排列数即得所求的站法数，共有
（种）
教师点评（出示投影）：上面的方法是解应用题中比较常用的三种方法，要好好理解．同时，一般地对于有限制条件的排列应用题，可以有两种不同的计算方法：
（l）直接计算法
排列问题的限制条件一般表现为：某些元素不能在某个（或某些）位置、某个（或某些）位置只能放某些元素，因此进行算法设计时，常优先处理这些特殊要求．便有了：先处理特殊元素或先处理特殊位置的方法．本题的方法一就是先处理特殊“新队员甲”，方法二则是先处理特殊位置“排头”、“排尾”．这些统称为“特殊元素（位置）优先考虑法”．
（2）间接计算法
先不考虑限制条件，把所有的排列种数算出，再从中减去全部不符合条件的排列数，间接得出符合条件的排列种数．这种方法也称为“去杂法”．在去杂时，特别注意要不重复，不遗漏（去尽）．
两者的繁简相差无几，有时相差很大，这时只要选择比较简捷的一种即可．
例题 5个人站成一排：
（l）共有多少种不同的排法？
（2）其中甲必须站在中间有多少种不同排法？
（3）其中甲、乙两人必须相邻有多少种不同的排法？
（4）其中甲、乙两人不相邻有多少种不同的排法？
（5）其中甲、乙两人不站排头和排尾有多少种不同的排法？
（6）其中甲不站排头，乙不站排尾有多少种不同的排法？
解：（1）由于没有条件限制，5个人可作全排列，共有种排法．
（2）由于甲的位置已确定，其余4人可任意排列，有种排法．
（3）因为甲、乙两人必须相邻，可视甲、乙在一起为一个元素与其他3人有种排法，而甲、乙又有种排法，根据分步计数原理共有种排法。
（4）甲、乙两人外的其余3人有种排法，要使甲、乙不相邻只有排在他们的空档位置，有种排法，所以共有种排法；或总的排法减去相邻的排法，即种排法．
（5）甲、乙两人不站排头和排尾，则这两个位置可从其余3人中选2人来站有种排法，剩下的人有种排法，共有种排法．
（6）甲站排头有种排法，乙站排尾有种排法，但两种情况都包含了“甲站排头，乙站排尾”的情况，有种排法，故共有种排法．
教师点评：本题所涉及的限制条件，如“某元素必须在某个位置”“某元素不在某个位置”“某几个元素相邻”“某几个元素不相邻”等具有一般的意义，要很好体会．
【演练反馈】
1．某一天的课程表要排入语文、数学、英语、物理、体育、音乐六节课，如果第一节不排体育，最后一节不排数学，一共有多少种不同的排法？
（由一名学生板演，其他学生补充解法，教师讲评）
2．在 7名运动员中选出 4名组成接力队，参加4×100米接力赛，那么甲、乙两人都不跑中间两棒的安排方法有多少种？
（由一名学生板演后，教师讲评）
3．有标号为1，2，3，4，5的五个红球和标号为1，2的两个白球，将这七个球排成一排，使两端都是红球．
（1）如果每个白球的两边都是红球有多少种排法？
（2）如果1号红球和1号白球相邻排在一起有多少种排法？
（3）同时满足上述两个条件的排法有多少种？
（学生思考后，教师讲解）
【参考答案】
1．分析1：“第一节不排体育，最后一节不排数学”可分为以下几种情况：
①体育、数学都既不排在第一节也不排在最后一节，这时的体育、数学有种排法，其他的课有种排法，所以有种排法．
②数学排在第一节，但体育不排在最后一节，有4种排法．
③体育排在最后一节，数学不排第一节，有4种排法．
④数学排在第一节，体育排在最后一节，有种排法．
因此一共有
＋4＋4＋＝21＝504
种排法．
分析2：如果没有限制条件，可以有种排法，其中不符合条件的排法有：①数学排在最后一节有种；②体育排在第一节有种．但这两种情况都包含了“体育排在第一节同时数学排在最后一节”这种情况，而这种情况的排法有种．因此，符合条件的排法为
－2＋＝21＝504（种）
注意：这里去杂时，必须加上多去的．
2．解：可将接力队分为“甲、乙两人都不在内”“甲、乙两人只有一人在内”“甲、乙两人都在内”三种情况：
①“甲、乙两人都不在内”有种方法．
②“甲、乙两人只有一人在内”有种方法．
③“甲、乙两人都在内”有种方法．
因此，共有
种安排方法．
3．解：（l）红球的排法有种，要使白球两边都是红球，只有插红球的空档位置，有种方法，所以共有排法
（种）
（2）可分为两种情况：l号红球在两端时，其余4个红球有种排法，这时1号白球只有1种排法，2号白球有种排法，这种情况有种排法；l号红球在中间三个位置时，两端的红球有种排法，中间3个红球有种排法，这时1号白球有种排法，2号白球有种排法，这种情况有排法．所以共有排法
（种）
（3）同样可分为两种情况：l号红球在两端时有种排法；l号红球在中间三个位置时有种排法．所以共有排法
（种）
【总结提炼】
比较复杂的排列应用题往往都有某些限制条件（一般是对元素或者位置作某些限制）．解题时，首先要对这些有限制条件的元素或位置作仔细分析，然后再考虑解法．当直接计算比较复杂时，可从反面考虑先求出不符合条件的所有排列的种数，从而间接求出符合条件的排列的种数．无论是从“元素”考虑还是从“位置”分析，采用直接计算法还是间接计算法，
要防止重复或遗漏．
布置作业：
1．课本习题 8，9。
2．七个人（其中有甲、乙二人）按下列要求站成一排，分别有多少种不同的排法？
（1）甲、乙之间恰隔二人；
（2）甲不站左端，乙不站在右端。
板书设计：
排列
（一）引入新课
问题1
（二）例题与练习
问题解决
例题
练习
（三）小结