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数学高中三年级 第一学期15.5几何体的体积教案设计
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这是一份数学高中三年级 第一学期15.5几何体的体积教案设计，共4页。教案主要包含了教学目标，教学重难点，教学过程等内容，欢迎下载使用。
【教学目标】
1．学生通过具体实验感知三棱锥体积公式，通过严谨证明确认三棱锥体积公式，通过对新知识的应用推广得到n棱锥的体积公式，通过具体实例初步应用锥体体积公式。
2．能应用割补法求体积以及体积法求点到面的距离，在这个过程中，提高分析、综合、抽象、概括等逻辑推理能力。
【教学重难点】
三棱锥体积公式及其探求。
【教学过程】
一、情景引入
1．复习祖暅原理：体积可看成是有面积叠加而成，用一组平行平面截两个空间图形，若在任意等高处的截面面积都对应相等，则两空间图形的体积必然相等。
2．柱体体积公式：V棱柱=Sh
3．问题：锥体的体积公式是什么？会不会和柱体的体积有什么联系？
实验：如图取一个三棱锥，准备（无底面ABC），一个与之同底等高的三棱柱，准备（无底面ABC）（准备可用硬板纸制作），以及黄沙若干。
B
C
A
O
B
C
A
O
P
Q
1
用三棱锥盛满黄沙，倒入三棱柱容器中，发现倒三次正好把三棱柱容器填满。
从这个实验中，学生猜想三棱锥的体积公式为V三棱锥=Sh
这个实验的结果到底是一个美丽的巧合还是一个必然的结果？
二、学习新课
问题1：从猜想的三棱锥体积公式为V三棱锥=Sh看，体积只和三棱锥底面积和高有关，而与底面三角形的形状无关。那么，上述实验中的三棱柱不变，三棱锥变成与原三棱锥O-ABC等底等高的三棱锥P-DEF，结果是否会不变呢？
解决此问题，即要证明等底等高的三棱锥的体积相等。
已知三棱锥O-ABC和P-DEF的底面积都是S，高都是h。
求证：三棱锥O-ABC和P-DEF的体积相等。
证明：把两个三棱锥的底面都放在平面上，任意作平面，设平面截三棱锥O-ABC所得的截线为三角形A’B’C’，其面积为S1；平面截三棱锥P-DEF所得的截线为三角形D’E’F’，其面积为S2．如果三棱锥的顶点O和P与平面的距离为h1，那么推得：和，于是得，相似比是，同理可得，相似比也是。由相似形的性质得，。即。
因为任意平行于底面的平面截两个三棱锥时，所得的截面面积相等，所以由祖暅原理得三棱锥O-ABC和P-DEF的体积相等，即等底等高的三棱锥的体积相等。
问题2：为什么三棱锥的体积公式恰巧为V三棱锥=Sh，而不是？
观察实验中的三棱锥O-ABC，正好含在三棱柱OPQ-ABC中，于是我们通过连接OB，OC把三棱柱OPQ-ABC中的三棱锥O-ABC找出来，发现三棱柱OPQ-ABC是由三棱锥O-ABC和B
C
A
O
P
Q
1
四棱锥O-BCQP组成的。进一步的，连接BQ，那么此时比较明显的有：
VOPQ-ABC=VO-ABC+VB-OPQ+VO-BCQ
B
C
A
O
由于等底等高的三棱锥的体积相等，故有：
VO-ABC=VB-OPQ =VO-BPQ=VO-BCQ
因此，V三棱锥=Sh
请学生叙述如果连接PC，怎样证明？
平面几何中求面积时，我们经常会用到割补法。同样的，立体几何求体积也会用到此法。上述的证明方法，本质上就是把一个三棱锥补成三棱柱后，再加以证明，是求体积的“补”法。
P
A
B
C
D
推广1：四棱锥的体积公式呢？
如果也采用三棱锥探求体积的方法，是否可行？
三棱锥体积的证明中用到了一个三棱锥非常个性化的特征：可以以任何一个顶点作为三棱锥的顶点。这是其它任何棱锥所不具备的特征。
那么，我们已经知道，并且证明了三棱锥的体积，四棱锥中有没有三棱锥呢？
通过连接AC，可得：
VP-ABCD=VP-ABC+VP-ACD
=( SΔABC+SΔACD)h=SABCDh
其中h是P到底面ABCD的距离，即四棱锥的高。
推广2：n棱锥的体积公式呢？
基本上可由学生自行完成。
总结：V棱锥=Sh
三、巩固应用
例：在正方体ABCD-A′B′C′D′中，已知棱长为a，求：（1）三棱锥B′-ABC的体积；
（2）这个三棱锥的体积是正方形体积的几分之几；
（3）B到平面AB′C的距离？（用2种方法答）
解：（1）由正方体棱长为a，得SΔABC=a，高h=A．
所以VB′-ABC=SΔABC·h=·a·a=a。
（2）因为V正方体=a，所以VB′-ABC∶V正方体=。
（3）方法一：如图，过B作BO⊥面AB′C于O，则O必为ΔAB′C的重心。连AO并延长交B′C于M，
因为AB′=B′C=CA=a，
所以AM=·a=a，OA=AM=A．
在RtΔAOB中，BO==，即B到面AB′C的距离为A．
方法二：设B到面AB′C距离为h，因为AB′=B′C=CA=a，
所以SΔAB′C= (a)=a，
因此·a·h=VB-AB′C=VB′-ABC=·a·a=a，
故h=a 即B到面AB′C的距离为A．
方法二充分运用了三棱锥的特征：可以以任何一个顶点作为三棱锥的顶点。这为我们求解顶点到底面的距离提供了捷径，称之为体积法。
四、课堂小结
1．割补法求体积
2．V棱锥=Sh
3．体积法求点到面的距离
【教学目标】
1．学生通过具体实验感知三棱锥体积公式，通过严谨证明确认三棱锥体积公式，通过对新知识的应用推广得到n棱锥的体积公式，通过具体实例初步应用锥体体积公式。
2．能应用割补法求体积以及体积法求点到面的距离，在这个过程中，提高分析、综合、抽象、概括等逻辑推理能力。
【教学重难点】
三棱锥体积公式及其探求。
【教学过程】
一、情景引入
1．复习祖暅原理：体积可看成是有面积叠加而成，用一组平行平面截两个空间图形，若在任意等高处的截面面积都对应相等，则两空间图形的体积必然相等。
2．柱体体积公式：V棱柱=Sh
3．问题：锥体的体积公式是什么？会不会和柱体的体积有什么联系？
实验：如图取一个三棱锥，准备（无底面ABC），一个与之同底等高的三棱柱，准备（无底面ABC）（准备可用硬板纸制作），以及黄沙若干。
B
C
A
O
B
C
A
O
P
Q
1
用三棱锥盛满黄沙，倒入三棱柱容器中，发现倒三次正好把三棱柱容器填满。
从这个实验中，学生猜想三棱锥的体积公式为V三棱锥=Sh
这个实验的结果到底是一个美丽的巧合还是一个必然的结果？
二、学习新课
问题1：从猜想的三棱锥体积公式为V三棱锥=Sh看，体积只和三棱锥底面积和高有关，而与底面三角形的形状无关。那么，上述实验中的三棱柱不变，三棱锥变成与原三棱锥O-ABC等底等高的三棱锥P-DEF，结果是否会不变呢？
解决此问题，即要证明等底等高的三棱锥的体积相等。
已知三棱锥O-ABC和P-DEF的底面积都是S，高都是h。
求证：三棱锥O-ABC和P-DEF的体积相等。
证明：把两个三棱锥的底面都放在平面上，任意作平面，设平面截三棱锥O-ABC所得的截线为三角形A’B’C’，其面积为S1；平面截三棱锥P-DEF所得的截线为三角形D’E’F’，其面积为S2．如果三棱锥的顶点O和P与平面的距离为h1，那么推得：和，于是得，相似比是，同理可得，相似比也是。由相似形的性质得，。即。
因为任意平行于底面的平面截两个三棱锥时，所得的截面面积相等，所以由祖暅原理得三棱锥O-ABC和P-DEF的体积相等，即等底等高的三棱锥的体积相等。
问题2：为什么三棱锥的体积公式恰巧为V三棱锥=Sh，而不是？
观察实验中的三棱锥O-ABC，正好含在三棱柱OPQ-ABC中，于是我们通过连接OB，OC把三棱柱OPQ-ABC中的三棱锥O-ABC找出来，发现三棱柱OPQ-ABC是由三棱锥O-ABC和B
C
A
O
P
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四棱锥O-BCQP组成的。进一步的，连接BQ，那么此时比较明显的有：
VOPQ-ABC=VO-ABC+VB-OPQ+VO-BCQ
B
C
A
O
由于等底等高的三棱锥的体积相等，故有：
VO-ABC=VB-OPQ =VO-BPQ=VO-BCQ
因此，V三棱锥=Sh
请学生叙述如果连接PC，怎样证明？
平面几何中求面积时，我们经常会用到割补法。同样的，立体几何求体积也会用到此法。上述的证明方法，本质上就是把一个三棱锥补成三棱柱后，再加以证明，是求体积的“补”法。
P
A
B
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推广1：四棱锥的体积公式呢？
如果也采用三棱锥探求体积的方法，是否可行？
三棱锥体积的证明中用到了一个三棱锥非常个性化的特征：可以以任何一个顶点作为三棱锥的顶点。这是其它任何棱锥所不具备的特征。
那么，我们已经知道，并且证明了三棱锥的体积，四棱锥中有没有三棱锥呢？
通过连接AC，可得：
VP-ABCD=VP-ABC+VP-ACD
=( SΔABC+SΔACD)h=SABCDh
其中h是P到底面ABCD的距离，即四棱锥的高。
推广2：n棱锥的体积公式呢？
基本上可由学生自行完成。
总结：V棱锥=Sh
三、巩固应用
例：在正方体ABCD-A′B′C′D′中，已知棱长为a，求：（1）三棱锥B′-ABC的体积；
（2）这个三棱锥的体积是正方形体积的几分之几；
（3）B到平面AB′C的距离？（用2种方法答）
解：（1）由正方体棱长为a，得SΔABC=a，高h=A．
所以VB′-ABC=SΔABC·h=·a·a=a。
（2）因为V正方体=a，所以VB′-ABC∶V正方体=。
（3）方法一：如图，过B作BO⊥面AB′C于O，则O必为ΔAB′C的重心。连AO并延长交B′C于M，
因为AB′=B′C=CA=a，
所以AM=·a=a，OA=AM=A．
在RtΔAOB中，BO==，即B到面AB′C的距离为A．
方法二：设B到面AB′C距离为h，因为AB′=B′C=CA=a，
所以SΔAB′C= (a)=a，
因此·a·h=VB-AB′C=VB′-ABC=·a·a=a，
故h=a 即B到面AB′C的距离为A．
方法二充分运用了三棱锥的特征：可以以任何一个顶点作为三棱锥的顶点。这为我们求解顶点到底面的距离提供了捷径，称之为体积法。
四、课堂小结
1．割补法求体积
2．V棱锥=Sh
3．体积法求点到面的距离
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