高中数学沪教版高中三年级 第一学期15.5几何体的体积教学设计

几何体的体积

【教学目标】

1．知道祖暅原理；

2．掌握柱体的体积公式。

【教学重难点】

柱体的体积公式；应用体积公式进行计算。

【教学流程】

引出祖暅原理导出柱体体积公式例题讲解巩固练习作业布置

【教学过程】

（一）祖暅原理

1．在生产实际中，经常遇到体积的计算问题，如兴修水利、修建道路需要计算土方，修建粮仓、水池需要计算建材数量和容积。

2．介绍我国古代劳动人民对几何体的体积研究的成果。

（1）到公元1世纪《九章算术》成书时，已经有了各种几何体的体积公式。

（2）祖暅的介绍。

3．祖暅原理：

祖暅原理的功能：从一种几何体的体积公式，推导另一种几何体的体积。

（二）利用祖暅原理推柱体的体积公式

1．复习长方体的体积公式：V=sh。

2．用祖暅原理推导棱柱的体积公式：V=sh。

3．用祖暅原理推圆柱体的体积公式：V=sh或。

（三）例题讲解

例1：已知三棱柱的底面为直角三角形，两直角边AC与BC的长分别为4cm与3cm，侧棱的长为10cm，求满足下列条件的三棱柱的体积：（1）侧棱垂直于底面；（2）侧棱与底面所成角为。

解：（1）因为侧棱底面，所以三棱柱的高等于侧棱的长，

而底面三角形的面积，

于是三棱柱的体积。

（2）如图，过作平面的垂线，垂足为H，为三棱柱的高。因为侧棱与底面所成的角为，所以，可计算得。由（1）知底面三角形的面积，故三棱柱的体积

（四）巩固练习：

1．在修铁路时，路基需要用碎石铺垫。已知路基的形状尺寸如图所示（单位：m），每修建1千米铁路需要碎石多少立方米。

(分析：将路基看作是一个底面为等腰梯形的直四棱柱 )

2．求底面半径为5cm，高为10cm的圆柱体的体积。

3．平行六面体的所有的面的边长都为A．锐角为的全等菱形，求其体积。

解：如图，过作平面的垂线，

垂足为Ｏ，为四棱柱的高。

因为

所以在平面的射影Ｏ为正的中心。

在中，由，可得。

故四棱柱的体积

（五）课堂小结：

（1）祖暅原理：从一种几何体的体积公式，推导另一种几何体的体积。

（2）柱体的体积公式：V=sh。

（3）在应用体积公式之前，应运用直线与平面的有关知识作出高，然后进行运算。