高中数学沪教版高中三年级 第一学期16.5二项式原理教学设计

二项式定理

第二课时

教学目标：

会用二项式的通项公式求展开式中的指定项或指定项系数。

教学过程：

【设置情境】

问题  试判断的展开式中有无常数项？如果有，求出该常数项；如果没有，说明理由。

分析：这个问题仅凭观察、想象，无法判断；但展开又嫌太烦且无必要，那么有无良法呢？

【探索研究】

1．二项展开式的通项公式

二项展开式中的叫做二项展开式的通项，用来表示。即通项为展开式的第项。

。其中叫做二项式系数。

对于的展开式，其通项公式为

。

由于其通项一般记为，所以r不是项数，才是项数；反过来，当已知项数时，将它减去1，才得到r。

2．二项展开式的通项公式的作用

二项展开式的通项公式，反映出展开式在指数、项数、系数等方面的内在联系，因此能运用二项展开式的通项公式求特定项、特定项系数、常数项、有理项及系数最大、绝对值最大的项。

3．例题分析

例1  求的展开式中的倒数第4项。

例2           （1）求的展开式中的第4项的系数；

（2）求的展开式中的系数。

解：（1）展开式的第4项为

∴第4项的系数是280。

（2）设展开式的第项为含的项，则

∴ 

即展开式中的第4项含，其系数为

。

【演练反馈】

1．求的展开式中a、b的指数相等的项。

（由一名学生板演后，老师指出“某一项”与“某一项系数”的区别）

2．解决【设置情境】中的问题。

（由一名学生板演后，教师讲评）

3．求的展开式里有多少个有理项？

（学生练习后，教师讲解）

4．求的展开式中第3项的二项式系数及第4项的系数。

【参考答案】

1．解：设展开式中的第项a、b的指数相等，则

依题意得

解得 

所以a、b指数相等的项是第10项，即

。

2．解：假设展开式的第项为常数项，则

依题意

故在的展开式中有常数项，它是第9项，即

。

3．解：设展开式的第项为有理项，则

对于一切有理项，、必为整数，则r必是6的倍数。

又    ，

∴

           解得。

故展开式中的有理项有17个。

思考：在本题中若问无理项有多少个，如何解决呢？

4．解：通项公式为

故第3项的二项式系数为

第4项的系数为。

注意：二项展开式的二项式系数与该项的（字母）系数是两个不同的概念，前者是指，而后者是指除字母外的部分。

【总结提炼】

二项展开式的通项公式反映了展开式的一般项，利用它可以求展开式中的任意指定项（如中间项、常数项、整数项、有理项等等）或指定项的系数。

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