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高中数学沪教版高中三年级 第一学期16.5二项式原理教课课件ppt
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这是一份高中数学沪教版高中三年级 第一学期16.5二项式原理教课课件ppt，共50页。PPT课件主要包含了二项展开式，n+1，方法二，误区警示等内容，欢迎下载使用。
一、二项式定理及相关概念1.二项式定理：(a+b)n=_______________________________.2.展开式：等号右边的多项式叫做(a+b)n的___________，展开式中一共有______项.3.二项式系数：各项的系数_______________.
思考：二项式系数与项的系数有什么区别？提示：二项式系数与项的系数是完全不同的两个概念．二项式系数是指 它只与各项的项数有关，而与a，b的值无关；而项的系数是指该项中除变量外的部分，它不仅与各项的二项式系数有关，而且也与a，b的值有关．
二、二项展开式的通项1.(a+b)n的通项：(a+b)n展开式中第k+1项Tk+1= _____________________________称为二项展开式的通项公式.2.(a－b)n的通项：将-b看成b代入二项式定理中，得到(a－b)n,展开式中第k+1项Tk+1=____________.
(k=0，1，2,…，n)
判断：(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)在公式中，交换a，b的顺序对各项没有影响.( )(2) 是(a+b)n展开式中的第k项.( )(3)(a－b)n与(a+b)n的二项式展开式的二项式系数相同.( )
提示：(1)错误.从整体看，(a＋b)n与(b＋a)n相同，但具体到某一项是不同的，如(a＋b)n的第k＋1项 (b＋a)n的第k＋1项 解题时，题中给出的二项式的两项是不能随意变换的.(2)错误. 是(a+b)n展开式中的第k+1项，而不是第k项.(3)正确.二项式系数依次为答案：(1)× (2)× (3)√
【知识点拨】1.二项展开式的结构特征(1)项数：共有n＋1项.(2)二项式系数：依次为(3)二项式系数 与展开式中项对应的系数不一定相等，二项式系数一定为正，而项的系数有时可以为负.(4)每一项的次数是一样的，即为n次，展开式依a的降幂、b的升幂排列展开.
2.对通项公式的理解(1) 是第k+1项，而不是第k项.(2)通项公式 主要用于求二项式的指数n、求满足条件的项或系数，根据不同问题选择不同的解法.
类型一 二项式定理的应用【典型例题】1.设S＝(x-1)4＋4(x-1)3＋6(x-1)2＋4(x-1)＋1，它等于( )A.(x-2)4 B.(x-1)4C.x4 D.(x＋1)42.用二项式定理展开
【解题探究】1.逆用二项式定理进行化简应注意哪些事项？2.二项式定理是什么？运用二项式定理展开二项式的关键是什么？探究提示:1.逆用二项式定理可将多项式化简，求解时，要熟悉公式的特点、项数、各项幂指数的规律以及各项的系数.判断是否符合二项式定理．
2.二项式定理是 在展开二项式之前关键是记准展开式，根据二项式的结构特征进行必要变形，可使展开二项式的过程得到简化.
【解析】1.选C.S＝［(x－1)＋1］4＝x4.2.方法一：直接利用二项式定理展开并化简：
【拓展提升】运用二项式定理的解题策略(1)正用：运用二项式定理展开二项式，要记准展开式，注意二项式定理的结构特征，准确理解二项式的特点是展开二项式的前提条件.对于较复杂的二项式，有时先化简再展开更简捷.如求(1－x)5(1+x+x2)5的展开式，可根据anbn=(ab)n将原式变形为(1－x3)5，然后展开比较方便.(2)逆用：逆用二项式定理可将多项式化简，对于这类问题的求解，要熟悉公式的特点、项数、各项幂指数的规律以及各项的系数.
【变式训练】用二项式定理展开【解析】方法一：方法二：
类型二 利用通项公式求某些特定项或其系数 【典型例题】1.(2013·江西高考) 展开式中的常数项为( )A.80 B.-80 C.40 D.-402.(2013·安徽高考)若 的展开式中x4的系数为7，则实数a=________.
【解题探究】1.常数项隐含的条件是什么？2.如何求某一特定项的系数？探究提示：1.对于常数项，隐含条件是字母的指数为0(即0次项).2.利用通项公式 合并通项公式中同一字母的指数，求出二项式的通项的最简形式，然后根据条件中的特定项确定k的值，再将k代入求解.
【解析】1.选C.设展开式的通项为所以当10-5k=0,即k=2时，Tk+1为常数.即2.因为令 则k=3，所以 解得答案：
【拓展提升】1.求二项展开式特定项的步骤
2.求二项展开式的特定项常见题型及处理措施(1)求第k项.(2)求常数项.对于常数项，隐含条件是字母的指数为0(即0次项).(3)求有理项.对于有理项，一般是根据通项公式所得到的项，其所有的字母的指数恰好都是整数的项．解这类问题必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要求，令其属于整数，再根据数的整除性来求解.
(4)求整式项.求二项展开式中的整式项，其通项公式中同一字母的指数应是非负整数，求解方式与求有理项一致．【提醒】在实际求解时，若通项中含有根式，宜把根式化为分数指数幂，以减少计算中的错误.
【变式训练】1.(2013·济南高二检测) 的展开式中含 项的系数是( )A.7 B.-7 C.-21 D.21【解析】选D.因为展开式的通项为Tk+1= 令得k=6，所以系数为21.
2.(2013·天津高考) 的二项展开式中的常数项为________.【解析】根据二项展开式的通项 知当 即k=4时，该项为常数，此时答案：15
类型三 利用二项式定理解决整除及余数问题 【典型例题】1.(2013·哈尔滨高二检测)已知2×1010+a(0≤a＜11)能被11整除，则实数a的值为______.2.求证：32n+2-8n-9(n∈N*)能被64整除.
【解题探究】1.利用二项式定理解决整除问题的关键是什么？2.利用二项式定理证明多项式的整除问题的关键是什么？探究提示：1.用二项式定理解决整除时，关键将幂底数写成除数m的整数倍加上或减去r(0≤r
2.因为32n+2-8n-9=9n+1-8n-9=(1+8)n+1-8n-9又 是整数，所以32n+2-8n-9能被64整除.
【拓展提升】1.整除性问题或求余数问题的处理方法(1)解决这类问题，必须构造一个与题目条件有关的二项式．(2)用二项式定理处理这类问题，通常把被除数的底数写成除数(或与除数密切关联的数)与某数的和或差的形式，再用二项式定理展开，只考虑后面(或者是前面)的几项就可以了．(3)要注意余数的范围，a=cx+b式子中b为余数，b∈［0，r)，r是除数，利用二项式定理展开式变形后，若剩余部分是负数要注意转换．
2.利用二项式证明多项式的整除问题的策略关键是将被除式变形为二项式的形式，使其展开后每一项均含有除式的因式．若f(x)，g(x)，h(x)，r(x)均为多项式，则(1)f(x)＝g(x)·h(x)⇔f(x)被g(x)整除．(2)f(x)＝g(x)·h(x)＋r(x)⇒r(x)为g(x)除f(x)后得的余式．
【变式训练】求证：1+3+32+…+33n－1能被26整除(n为大于1的偶数).【证明】因为而(26＋1)n－1
因为n为大于1的偶数，所以 能被26整除.所以1＋3＋32＋…＋33n－1能被26整除.
求解复杂的二项式问题【典型例题】1.(2013·兰州高二检测)若［x2-(a-1)x-1］5的展开式中没有x的奇次幂项，则含x8项的系数为( )A.5 B.-5 C.10 D.-102. 展开式中的常数项为( )A.1 B.46 C.4 245 D.4 246
【解析】1.选B.因为［x2-(a-1)x-1］5的展开式中没有x的奇次幂项，所以a-1=0，所以a=1，故二项式为(x2-1)5,其展开式通项为 令10-2r＝8得r＝1，故含x8的项为 其系数为-5.
2.选D.先求 的展开式中的通项为再求 的展开式中的通项 两通项相乘得：令 得4r=3k，这样一来，(r，k)只有三组：(0，0)，(3，4)，(6，8)满足要求.故常数项为：
【拓展提升】利用二项式定理求解复杂二项展开式中特定项问题的方法(1)求形如(a+b)n±(c+d)m(n,m∈N*)的展开式中某一项的系数，可分别展开两个二项式，由多项式加减法求得所求项的系数.(2)求形如(a+b)n(c+d)m(n,m∈N*)的展开式中某一项的系数，可分别展开两个二项式，由多项式乘法求得所求项的系数.
(3)利用二项式定理的推导方法来解决问题，本质上是利用加法原理和乘法原理，这种方法可以直接求展开式中的某特定项.
【易错误区】将二项式系数与项的系数混淆致误【典例】(2013·太原高二检测)设 展开式中，第二项与第四项的系数之比为1∶2，则n的值为_______.
【解析】 展开式的第二项与第四项分别为依题意得即n2－3n－4＝0，解得n=4,n=-1(舍去),故得n＝4. 答案：4
【防范措施】1.注意概念的区分对概念的把握和区分在解题中往往起到关键的作用.如本例容易将“二项展开式中的二项式系数”与“二项展开式中项的系数”混为一谈．
2.良好思维习惯的培养在解决二项式问题时一定注意分析问题具体是哪一项，到底是什么样的系数.熟练把握二项式定理及通项公式.同时要养成良好的思维习惯.如本例条件是“第二项与第四项的系数”，一是指明第二项和第四项，二是指明是系数而不是二项式系数.
【类题试解】已知 的展开式中第5项的二项式系数与第3项的二项式系数的比为14∶3，则展开式中的常数项为_________.
【解析】由已知条件得： 整理得：n2－5n－50=0,所以n=10,所以展开式的通项为：令 得k=2,所以常数项为第三项答案：180
1.若(a＋b)n的展开式的第4项和第6项的二项式系数相等，则该展开式的项数是( )A.8 B.9 C.10 D.11【解析】选B.由题意知 故n＝8，展开式有9项.
2.已知f(x)=｜x+2｜+｜x-4｜的最小值为n,则二项式展开式中含x2项的系数为( )A.15 B.-15 C.30 D.-30【解析】选A.因为函数f(x)=｜x+2｜+｜x-4｜的最小值为6，即n=6.展开式的通项公式为由6-2k=2,得k=2,所以 即含x2项的系数为15.
3.(1＋2x)5的展开式中，含x2项的系数等于( )A.80 B.40 C.20 D.10【解析】选B.因为(1＋2x)5的展开式的通项为Tr＋1＝ 令r＝2，得故含x2项的系数为40.
4.若则A－B＝__________.【解析】A－B＝(3－1)7＝128.答案：128
5. 展开式的常数项为______.【解析】因为令 得k=6，即常数项为答案：2 268
一、二项式定理及相关概念1.二项式定理：(a+b)n=_______________________________.2.展开式：等号右边的多项式叫做(a+b)n的___________，展开式中一共有______项.3.二项式系数：各项的系数_______________.
思考：二项式系数与项的系数有什么区别？提示：二项式系数与项的系数是完全不同的两个概念．二项式系数是指 它只与各项的项数有关，而与a，b的值无关；而项的系数是指该项中除变量外的部分，它不仅与各项的二项式系数有关，而且也与a，b的值有关．
二、二项展开式的通项1.(a+b)n的通项：(a+b)n展开式中第k+1项Tk+1= _____________________________称为二项展开式的通项公式.2.(a－b)n的通项：将-b看成b代入二项式定理中，得到(a－b)n,展开式中第k+1项Tk+1=____________.
(k=0，1，2,…，n)
判断：(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)在公式中，交换a，b的顺序对各项没有影响.( )(2) 是(a+b)n展开式中的第k项.( )(3)(a－b)n与(a+b)n的二项式展开式的二项式系数相同.( )
提示：(1)错误.从整体看，(a＋b)n与(b＋a)n相同，但具体到某一项是不同的，如(a＋b)n的第k＋1项 (b＋a)n的第k＋1项 解题时，题中给出的二项式的两项是不能随意变换的.(2)错误. 是(a+b)n展开式中的第k+1项，而不是第k项.(3)正确.二项式系数依次为答案：(1)× (2)× (3)√
【知识点拨】1.二项展开式的结构特征(1)项数：共有n＋1项.(2)二项式系数：依次为(3)二项式系数 与展开式中项对应的系数不一定相等，二项式系数一定为正，而项的系数有时可以为负.(4)每一项的次数是一样的，即为n次，展开式依a的降幂、b的升幂排列展开.
2.对通项公式的理解(1) 是第k+1项，而不是第k项.(2)通项公式 主要用于求二项式的指数n、求满足条件的项或系数，根据不同问题选择不同的解法.
类型一 二项式定理的应用【典型例题】1.设S＝(x-1)4＋4(x-1)3＋6(x-1)2＋4(x-1)＋1，它等于( )A.(x-2)4 B.(x-1)4C.x4 D.(x＋1)42.用二项式定理展开
【解题探究】1.逆用二项式定理进行化简应注意哪些事项？2.二项式定理是什么？运用二项式定理展开二项式的关键是什么？探究提示:1.逆用二项式定理可将多项式化简，求解时，要熟悉公式的特点、项数、各项幂指数的规律以及各项的系数.判断是否符合二项式定理．
2.二项式定理是 在展开二项式之前关键是记准展开式，根据二项式的结构特征进行必要变形，可使展开二项式的过程得到简化.
【解析】1.选C.S＝［(x－1)＋1］4＝x4.2.方法一：直接利用二项式定理展开并化简：
【拓展提升】运用二项式定理的解题策略(1)正用：运用二项式定理展开二项式，要记准展开式，注意二项式定理的结构特征，准确理解二项式的特点是展开二项式的前提条件.对于较复杂的二项式，有时先化简再展开更简捷.如求(1－x)5(1+x+x2)5的展开式，可根据anbn=(ab)n将原式变形为(1－x3)5，然后展开比较方便.(2)逆用：逆用二项式定理可将多项式化简，对于这类问题的求解，要熟悉公式的特点、项数、各项幂指数的规律以及各项的系数.
【变式训练】用二项式定理展开【解析】方法一：方法二：
类型二 利用通项公式求某些特定项或其系数 【典型例题】1.(2013·江西高考) 展开式中的常数项为( )A.80 B.-80 C.40 D.-402.(2013·安徽高考)若 的展开式中x4的系数为7，则实数a=________.
【解题探究】1.常数项隐含的条件是什么？2.如何求某一特定项的系数？探究提示：1.对于常数项，隐含条件是字母的指数为0(即0次项).2.利用通项公式 合并通项公式中同一字母的指数，求出二项式的通项的最简形式，然后根据条件中的特定项确定k的值，再将k代入求解.
【解析】1.选C.设展开式的通项为所以当10-5k=0,即k=2时，Tk+1为常数.即2.因为令 则k=3，所以 解得答案：
【拓展提升】1.求二项展开式特定项的步骤
2.求二项展开式的特定项常见题型及处理措施(1)求第k项.(2)求常数项.对于常数项，隐含条件是字母的指数为0(即0次项).(3)求有理项.对于有理项，一般是根据通项公式所得到的项，其所有的字母的指数恰好都是整数的项．解这类问题必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要求，令其属于整数，再根据数的整除性来求解.
(4)求整式项.求二项展开式中的整式项，其通项公式中同一字母的指数应是非负整数，求解方式与求有理项一致．【提醒】在实际求解时，若通项中含有根式，宜把根式化为分数指数幂，以减少计算中的错误.
【变式训练】1.(2013·济南高二检测) 的展开式中含 项的系数是( )A.7 B.-7 C.-21 D.21【解析】选D.因为展开式的通项为Tk+1= 令得k=6，所以系数为21.
2.(2013·天津高考) 的二项展开式中的常数项为________.【解析】根据二项展开式的通项 知当 即k=4时，该项为常数，此时答案：15
类型三 利用二项式定理解决整除及余数问题 【典型例题】1.(2013·哈尔滨高二检测)已知2×1010+a(0≤a＜11)能被11整除，则实数a的值为______.2.求证：32n+2-8n-9(n∈N*)能被64整除.
【解题探究】1.利用二项式定理解决整除问题的关键是什么？2.利用二项式定理证明多项式的整除问题的关键是什么？探究提示：1.用二项式定理解决整除时，关键将幂底数写成除数m的整数倍加上或减去r(0≤r
2.因为32n+2-8n-9=9n+1-8n-9=(1+8)n+1-8n-9又 是整数，所以32n+2-8n-9能被64整除.
【拓展提升】1.整除性问题或求余数问题的处理方法(1)解决这类问题，必须构造一个与题目条件有关的二项式．(2)用二项式定理处理这类问题，通常把被除数的底数写成除数(或与除数密切关联的数)与某数的和或差的形式，再用二项式定理展开，只考虑后面(或者是前面)的几项就可以了．(3)要注意余数的范围，a=cx+b式子中b为余数，b∈［0，r)，r是除数，利用二项式定理展开式变形后，若剩余部分是负数要注意转换．
2.利用二项式证明多项式的整除问题的策略关键是将被除式变形为二项式的形式，使其展开后每一项均含有除式的因式．若f(x)，g(x)，h(x)，r(x)均为多项式，则(1)f(x)＝g(x)·h(x)⇔f(x)被g(x)整除．(2)f(x)＝g(x)·h(x)＋r(x)⇒r(x)为g(x)除f(x)后得的余式．
【变式训练】求证：1+3+32+…+33n－1能被26整除(n为大于1的偶数).【证明】因为而(26＋1)n－1
因为n为大于1的偶数，所以 能被26整除.所以1＋3＋32＋…＋33n－1能被26整除.
求解复杂的二项式问题【典型例题】1.(2013·兰州高二检测)若［x2-(a-1)x-1］5的展开式中没有x的奇次幂项，则含x8项的系数为( )A.5 B.-5 C.10 D.-102. 展开式中的常数项为( )A.1 B.46 C.4 245 D.4 246
【解析】1.选B.因为［x2-(a-1)x-1］5的展开式中没有x的奇次幂项，所以a-1=0，所以a=1，故二项式为(x2-1)5,其展开式通项为 令10-2r＝8得r＝1，故含x8的项为 其系数为-5.
2.选D.先求 的展开式中的通项为再求 的展开式中的通项 两通项相乘得：令 得4r=3k，这样一来，(r，k)只有三组：(0，0)，(3，4)，(6，8)满足要求.故常数项为：
【拓展提升】利用二项式定理求解复杂二项展开式中特定项问题的方法(1)求形如(a+b)n±(c+d)m(n,m∈N*)的展开式中某一项的系数，可分别展开两个二项式，由多项式加减法求得所求项的系数.(2)求形如(a+b)n(c+d)m(n,m∈N*)的展开式中某一项的系数，可分别展开两个二项式，由多项式乘法求得所求项的系数.
(3)利用二项式定理的推导方法来解决问题，本质上是利用加法原理和乘法原理，这种方法可以直接求展开式中的某特定项.
【易错误区】将二项式系数与项的系数混淆致误【典例】(2013·太原高二检测)设 展开式中，第二项与第四项的系数之比为1∶2，则n的值为_______.
【解析】 展开式的第二项与第四项分别为依题意得即n2－3n－4＝0，解得n=4,n=-1(舍去),故得n＝4. 答案：4
【防范措施】1.注意概念的区分对概念的把握和区分在解题中往往起到关键的作用.如本例容易将“二项展开式中的二项式系数”与“二项展开式中项的系数”混为一谈．
2.良好思维习惯的培养在解决二项式问题时一定注意分析问题具体是哪一项，到底是什么样的系数.熟练把握二项式定理及通项公式.同时要养成良好的思维习惯.如本例条件是“第二项与第四项的系数”，一是指明第二项和第四项，二是指明是系数而不是二项式系数.
【类题试解】已知 的展开式中第5项的二项式系数与第3项的二项式系数的比为14∶3，则展开式中的常数项为_________.
【解析】由已知条件得： 整理得：n2－5n－50=0,所以n=10,所以展开式的通项为：令 得k=2,所以常数项为第三项答案：180
1.若(a＋b)n的展开式的第4项和第6项的二项式系数相等，则该展开式的项数是( )A.8 B.9 C.10 D.11【解析】选B.由题意知 故n＝8，展开式有9项.
2.已知f(x)=｜x+2｜+｜x-4｜的最小值为n,则二项式展开式中含x2项的系数为( )A.15 B.-15 C.30 D.-30【解析】选A.因为函数f(x)=｜x+2｜+｜x-4｜的最小值为6，即n=6.展开式的通项公式为由6-2k=2,得k=2,所以 即含x2项的系数为15.
3.(1＋2x)5的展开式中，含x2项的系数等于( )A.80 B.40 C.20 D.10【解析】选B.因为(1＋2x)5的展开式的通项为Tr＋1＝ 令r＝2，得故含x2项的系数为40.
4.若则A－B＝__________.【解析】A－B＝(3－1)7＝128.答案：128
5. 展开式的常数项为______.【解析】因为令 得k=6，即常数项为答案：2 268
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