北师大版八年级上册2 一定是直角三角形吗同步测试题

1.2一定是直角三角形吗同步练习北师大版初中数学八年级上册

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）

1. 下列长度的三条线段能组成直角三角形的是

A. 5，11，12 B. 3，4，5 C. 4，6，8 D. 6，12，13

2. 给出下列四个说法：
   由于，，不是勾股数，所以以，，为边长的三角形不是直角三角形；
   由于以，，为边长的三角形是直角三角形，所以，，是勾股数；
   若a，b，c是勾股数，且c最大，则一定有；
   若三个整数a，b，c是直角三角形的三边长，则2a，2b，2c一定是勾股数，其中正确的是

A.  B.  C.  D.

3. 下列五组数：、5、、、、24、、15、、40、41，其中是勾股数的组数为   

A. 2 B. 3 C. 4 D. 5

4. 下面四组数，其中是勾股数组的是

A. 3，4，5 B. ，， C. ，， D. 6，7，8

5. 以下列长度单位：为边长的三角形是直角三角形的是

A. 3，4，5 B. 1，2，3 C. 5，7，9 D. 6，10，12

6. 以下列各组线段为边作三角形，不能构成直角三角形的是

A. 1，2， B. 3，4，5
C. 3，6，9 D. ，7，

7. 以下列各组数为三角形的边长，能构成直角三角形的是

A. 2、3、4 B. 5、5、6
C. 2、、 D. 、、

8. 如图，正方形网格中的，若小方格边长为1，则的形状为

A. 直角三角形
B. 锐角三角形
C. 钝角三角形
D. 以上答案都不对
 

9. 如图所示的一块地，已知，，，，，则这块地的面积为     

A.  B.  C.  D.

10. 我国南宋著名数学家秦九韶的著作数书九章里记载有这样一道题目：“问有沙田一块，有三斜，其中小斜五里，中斜十二里，大斜十三里，欲知为田几何？”这道题讲的是：有一块三角形沙田，三条边长分别为5里，12里，13里，问这块沙田面积有多大？题中“里”是我国市制长度单位，1里米，则该沙田的面积为

A. 平方千米 B. 15平方千米 C. 75平方千米 D. 750平方千米

11. 如果下列各组数是三角形的三边长，那么不能组成直角三角形的一组数是

A. 3，4，5 B. ，， C. 5，13，12 D. ，，1

12. 下列每一组数据中的三个数值分别为三角形的三边长，不能组成直角三角形的是

A. 3，4，5 B. 6，8，10 C. ，2， D. 5，12，13

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

13. 已知三角形两边长为2和6，要使这个三角形为直角三角形，则第三边的长为______．
14. 如图，在四边形ABCD中，，，，，且，则四边形ABCD的面积是______．

15. 观察以下几组勾股数，并寻找规律：请你写出有以上规律的第组勾股数：______．
    ，4，5；，12，13；，24，25；，40，41．
16. 如图，网格中每个小方格的边长均为1，则网格中的          直角三角形填“是”或“不是”．
    
     

17. 数学文化我国南宋著名数学家秦九韶的著作数书九章里记载有这样一道题目：“问有沙田一块，有三斜，其中小斜五丈，中斜十二丈，大斜十三丈，欲知为田几何”这道题讲的是：有一块三角形沙田，三条边长分别为5丈，12丈，13丈，问这块沙田面积有多大题中的“丈”是我国市制长度单位，1丈尺则该沙田的面积为___________平方丈．
18. 下列各组数中，是勾股数的是          ．

；；；；；．

三、解答题（本大题共7小题，共56.0分）

19. 已知：如图，四边形ABCD中，，，，，求四边形ABCD的面积．
    
    
     

20. 如图，四边形ABCD中，，，，，，求四边形ABCD的面积．
    
    
     

21. 如图，在中，D是BC上一点，若，，，．
    求DC的长．
    求的面积．

22. 图、图、图均是的正方形网格，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点称为格点，线段AB的端点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求以AB为边画．
    要求：
    在图中画一个钝角三角形，在图中画一个直角三角形，在图中画一个锐角三角形；
    三个图中所画的三角形的面积均不相等；
    点C在格点上．

23. 已知，如图，在四边形ABCD中，，，，，．
    求的度数；
    求四边形ABCD的面积．
    
    
    
     

24. 如图，在四边形ABCD中，，，，，，求四边形ABCD的面积．
    
    
    
    
    
    
     
25. 如图在四边形ABCD中，，，，，求．
    
    
     

答案和解析

1.【答案】B
 

【解析】

【分析】
此题考查勾股定理逆定理的运用，属于基础题．
根据勾股定理的逆定理进行判断，如果三角形两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形就是直角三角形．
【解答】
解：A、因为，所以三条线段不能组成直角三角形；
B、因为，所以三条线段能组成直角三角形；
C、因为，所以三条线段不能组成直角三角形；
D、因为，所以三条线段不能组成直角三角形．
故选B．  

2.【答案】C
 

【解析】

【分析】
此题考查了勾股数：满足的三个正整数，称为勾股数．注意：
三个数必须是正整数，例如：、6、满足，但是它们不都是正整数，所以它们不是勾股数．
一组勾股数扩大相同的整数倍得到的三个数仍是一组勾股数．
记住常用的勾股数再做题可以提高速度．如：3，4，5；6，8，10；5，12，13；．
欲判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方．
【解答】
解：由于，，不是整数，所以，，不是勾股数，但是，，所以以，，为边长的三角形是直角三角形，故说法错误；
虽然以，，为边长的三角形是直角三角形，但是，，不是整数，所以，，不是勾股数，故说法错误；
若a，b，c是勾股数，且c最大，则一定有，故说法正确；
若三个整数a，b，c是直角三角形的三边长，则2a，2b，2c一定是勾股数，故说法正确．
故选C．  

3.【答案】B
 

【解析】 中
中的数不全是正整数
中
中
中．
故有3组勾股数．
 

4.【答案】A
 

【解析】

【分析】
本题考查了勾股数勾股数是可以构成一个直角三角形三边的一组正整数．
当且a，b，c是正整数时，a，b，c就称为一组勾股数，由此进行判断选择即可．
【解答】
解：A．，所以3，4，5是勾股数；
B.，， 不是正整数，故，， 不是勾股数；
C.，故，， 不是勾股数；
D.，故6，7，8 不是勾股数；
故选A．  

5.【答案】A
 

【解析】解：A、因为，所以三条线段能组成直角三角形，故选项正确；
B、因为，所以三条线段不能组成直角三角形，故选项错误；
C、因为，所以三条线段不能组成直角三角形，故选项错误；
D、因为，所以三条线段不能组成直角三角形，故选项错误．
故选：A．
利用勾股定理的逆定理：如果三角形两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形就是直角三角形．最长边所对的角为直角．由此判定即可．
此题考查了勾股定理逆定理的运用，判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可，注意数据的计算．
 

6.【答案】C
 

【解析】解：A、，故A选项能构成直角三角形；
B、，故B选项能构成直角三角形；
C、，故C选项不能构成直角三角形；
D、，故D选项能构成直角三角形．
故选：C．
由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和是否等于最长边的平方即可．
本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．
 

7.【答案】D
 

【解析】A、，不符合勾股定理的逆定理，故不正确；
B、，不符合勾股定理的逆定理，故不正确；
C、，不符合勾股定理的逆定理，故不正确；
D、，符合勾股定理的逆定理，能构成直角三角形，故正确．
故选：D．
根据勾股定理的逆定理得出选项A、B、C不能构成直角三角形，D选项能构成直角三角形，即可得出结论．
本题考查了勾股定理的逆定理；在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．
 

8.【答案】A
 

【解析】解：正方形小方格边长为1，

，
，
，
在中，
，，
，
是直角三角形．
故选：A．
根据勾股定理求得各边的长，再利用勾股定理的逆定理进行判定，从而不难得到其形状．
本题考查了勾股定理的逆定理，解答此题要用到勾股定理的逆定理：已知三角形ABC的三边满足，则三角形ABC是直角三角形．
 

9.【答案】A
 

【解析】

【分析】
本题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理的应用，得到是直角三角形是解题的关键．同时考查了直角三角形的面积公式．连接AC，先利用勾股定理求出AC，再根据勾股定理的逆定理判定是直角三角形，那么的面积减去的面积就是所求的面积．
【解答】
解：如图，连接AC．

在中，
，，，
，
，
又，
是直角三角形，
这块地的面积的面积的面积
故选A．  

10.【答案】A
 

【解析】

【分析】
本题考查了勾股定理的逆定理，掌握勾股定理的逆定理是解决问题的关键，直接利用勾股定理的逆定理进而结合直角三角形的面积求法得出答案即可．
【解答】
解：，
三条边长分别为5里，12里，13里，构成了直角三角形，
面积为平方米平方千米．
故选A．  

11.【答案】B
 

【解析】

【分析】
此题考查了勾股定理的逆定理，如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形．
如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形．根据勾股定理的逆定理即可判断．
【解答】 
解：A、，根据勾股定理的逆定理可知三角形是直角三角形，故不符合题意；
B、，根据勾股定理的逆定理可知三角形不是直角三角形，故合题意；
C、，根据勾股定理的逆定理可知三角形是直角三角形，故不合题意；
D、，根据勾股定理的逆定理可知三角形是直角三角形，故不合题意；
故选：B．  

12.【答案】C
 

【解析】

【分析】
本题主要考查勾股定理的逆定理熟记定理内容并灵活运用是解决本题的关键．
【解答】
解：，所以能够成直角三角形，故本选项不符合题意；
B.，所以能够成直角三角形，故本选项不符合题意；
C.，所以不能够成直角三角形，故本选项符合题意；
D.，所以能够成直角三角形，故本选项不符合题意；
故选C．  

13.【答案】或
 

【解析】解：根据勾股定理分两种情况：
当第三边为斜边时，第三边长；
当斜边为6时，第三边长；
故答案为：或．
根据勾股定理：分两种情况第三边是斜边和不是斜边的两种结果计算即可．
本题利用了勾股定理求解，注意要分类讨论．
 

14.【答案】36
 

【解析】解：连接BD，则有，

，即，
为直角三角形，
四边形的面积


．
答：四边形ABCD的面积为36．
故答案为：36．
连接BD，知四边形的面积是和的面积和，由已知得其符合勾股定理的逆定理从而得到是一个直角三角形．则四边形面积可求．
本题利用了勾股定理和它的逆定理及直角三角形的面积公式求解．熟练掌握勾股定理的逆定理是本题的关键．
 

15.【答案】11，60，61
 

【解析】解：，，，
，，，
，，，，
第n组勾股数为：
，，，
第组勾股数为，，，即11，60，61．
故答案为：11，60，61．
根据所给的几组勾股数可找出规律，根据此规律即可求出第五组勾股数．
考查了勾股数，此题属规律性题目，解答此题的关键是根据所给的勾股数找出规律，按照此规律即可解答．
 

16.【答案】不是
 

【解析】解析：由勾股定理，
得，，．
，
．
不是直角三角形．
故答案为：不是．
 

17.【答案】30
 

【解析】

【分析】
此题主要考查了勾股定理的逆定理的应用，正确得出三角形的形状是解题关键．直接利用勾股定理的逆定理进而结合直角三角形面积求法得出答案．
【解答】
解：，
三条边长分别为5丈，12丈，13丈，构成了直角三角形，
这块沙田面积为：平方丈．
故答案为30．  

18.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题主要考查了勾股数的知识，关键是熟练掌握勾股数的概念根据勾股数的概念进行判断即可．
【解答】
解：，故不是勾股数，
，是勾股数；
，是勾股数；
，故不是勾股数；
，不都是整数，故不是勾股数；
，不都是整数，故不是勾股数；
是勾股数的是，
故答案为．  

19.【答案】解：连接AC，
在中，由勾股定理得：，
，，，
，
，
四边形ABCD的面积：


．
 

【解析】根据勾股定理求出AC，根据勾股定理的逆定理求出，根据三角形的面积公式分别求出和的面积，即可得出答案．
本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理的应用，能求出是直角三角形是解此题的关键．
 

20.【答案】解：连结AC，

在中，
，，，
，
，
在中，
，，，
，
是直角三角形，
 
四边形ABCD的面积．
 

【解析】连接AC，根据勾股定理求出AC，根据勾股定理的逆定理求出是直角三角形，分别求出和的面积，即可得出答案．
本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理的应用，解此题的关键是能求出和的面积，属于中档题．
 

21.【答案】解：在中，，，，
，
为直角三角形，
，即，
在中，，，
根据勾股定理得：；

．
 

【解析】在三角形ABD中，利用勾股定理的逆定理判断得到为直角三角形，即AD垂直于BC，在直角三角形ADC中，利用勾股定理求出DC的长；
由求出BC的长，即可求出三角形ABC面积．
此题考查了勾股定理、勾股定理逆定理，以及三角形面积求法，熟练掌握勾股定理逆定理是解本题的关键．
 

22.【答案】解：如图所示：即为符合条件的三角形．

 

【解析】根据网格画出符合条件的三个三角形即可．
本题考查了作图应用与设计作图，解决本题的关键是利用网格画出符合条件的三角形．
 

23.【答案】解：连接AC，
在中，，，，由勾股定理得：，
，，
，
；

四边形ABCD的面积


．
 

【解析】连接AC，根据勾股定理求出线段AC长度，根据勾股定理的逆定理求出即可；
分别求出和的面积即可．
本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理和三角形的面积，能熟记勾股定理的逆定理和勾股定理的内容是解此题的关键．
 

24.【答案】解：在中，，
，
又，
，
，
．
 

【解析】首先根据勾股定理计算出BD长，再根据勾股定理逆定理证明，然后再利用直角三角形的面积公式计算可得四边形ABCD的面积．
此题主要考查了勾股定理和逆定理，关键是掌握勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形．
 

25.【答案】解：连接BD，
，
，
由勾股定理得：，
在中，，，，
，
，
．
 

【解析】连接BD，根据勾股定理求出BD，根据勾股定理的逆定理求出，再根据三角形的面积公式求出即可．
本题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，能求出是直角三角形是解此题的关键．