北师大版八年级下册2 平行四边形的判定精品练习题

6.2平行四边形的判定同步练习北师大版初中数学八年级下册

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）

1. 在四边形ABCD中：，从以上选择两个条件使四边形ABCD为平行四边形的选法共有

A. 3种 B. 4种 C. 5种 D. 6种

2. 如图，E是▱ABCD边AD延长线上一点，连接BE，CE，BD，BE交CD于点添加以下条件，不能判定四边形BCED为平行四边形的是

A.
B.
C.
D.
 

3. 如图，在四边形ABCD中，E是BC边的中点，连接DE并延长，交AB的延长线于点F，添加一个条件使四边形ABCD是平行四边形，你认为下面四个条件中可选择的是

A.
B.
C.
D.

4. 如图，在四边形ABCD中，已知，添加一个条件，可使四边形ABCD是平行四边形．下列错误的是

A.
B.
C.
D.
 

5. 如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点E，，，，，则四边形ABCD的面积为

A. 6 B. 12 C. 20 D. 24

6. 如图，将▱ABCD的一边BC延长至点E，若，则等于

A.
B.
C.
D.

7. 如图，在▱ABCD中，作的平分线交BC于点E，的平分线交AD于点F，连接若，，则BF的长为

A. 10 B. 12 C. 14 D. 16

8. 四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，下列四组条件中，一定能判定四边形ABCD为平行四边形的是

A.  B. ，
C. ， D.

9. 如图，平行四边形ABCD中，若，则的度数为

A.
B.
C.
D.

10. 下列命题是真命题的是

A. 平行四边形的对角线相等
B. 经过旋转，对应线段平行且相等
C. 两组对角分别相等的四边形是平行四边形
D. 两边相等的两个直角三角形全等

11. 如下图所示，在直角坐标系内，原点O恰好是▱ABCD对角线的交点，若A点坐标为，则C点坐标为

A.
B.
C.
D.

12. 如图，在四边形ABCD中，下列条件不能判定四边形ABCD是平行四边形的是

A. ，
B. ，
C. ，
D. ，
 

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

13. 如图，点D是直线l外一点，在l上取两点A，B，连接AD，分别以点B，D为圆心，AD，AB的长为半径画弧，两弧交于点C，连接CD，BC，则四边形ABCD是平行四边形，理由是______．
14. 如图，在▱ABCD中，E，F分别为BC，AD边上的点，要使，需添加一个条件：      ．
     

15. 如图，在平行四边形ABCD中，，，，作对角线AC的垂直平分线EF，分别交对边AB、CD于点E和点F，则AE的长为______．

16. 如图，在中，，将绕顶点B顺时针旋转到，当首次经过顶点C时，旋转角______．
     

17. 如图，在中，，，D是所在平面内一点，以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形，则BD的长为______．

18. 如图，在平行四边形纸片ABCD中，，将纸片沿对角线AC对折，BC边与AD边交于点E，此时，恰为等边三角形，则图中重叠部分的面积为______．

三、解答题（本大题共7小题，共56.0分）

19. 如图，已知且，AD，CE交于点B，AF，DG分别是，的中线，求证：四边形AGDF是平行四边形．
     

20. 如图，已知在四边形ABCD中，，求证：四边形是平行四边形．
    
    
    
    
    
    
    
    
     
21. 如图，在中，，AD是BC边上的中线，，，垂足为E．
    求证：．
    连接DE，线段DE与AB之间有怎样的位置和数量关系请说明理由．
     

22. 如图，四边形ABCD是平行因边形，，，E是AB的中点，F是AC延长线上一点．
    若，求证：；
    在的条件下，若DC的延长线与FB交于点P，试判定四边形ACPE是否为平行四边形？并证明你的结论请先补全图形，再解答．

23. 图、图、图都是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个小等边三角形的顶点称为格点．线段AB的端点在格点上．
    
    在图、图2中，以AB为边各画一个等腰三角形，且第三个顶点在格点上；所画图形不全等
    在图中，以AB为边画一个平行四边形，且另外两个顶点在格点上．
    
    
    
    
    
    
     
24. 如图，四边形ABCD是面积为S的平行四边形，其中，．
    如图，点P为AD边上任意一点，则的面积和的面积之和与▱ABCD的面积S之间的数量关系是______．
    如图，设AC、BD交于点P，则的面积和的面积之和与▱ABCD的面积S之间的数量关系是______．
    如图，点P为▱ABCD内任意一点时，试猜想的面积和的面积之和与▱ABCD的面积S之间的数量关系，并加以证明．
    如图，已知点P为▱ABCD内任意一点，的面积为2，的面积为8，连接BD，求的面积．

25. 某学校为改善办学条件，计划采购A、B两种型号的空调，已知采购3台A型空调和2台B型空调，需费用39000元；4台A型空调比5台B型空调的费用多6000元．
    求A型空调和B型空调每台各需多少元；
    若学校计划采购A、B两种型号空调共30台，且A型空调的台数不少于B型空调的一半，两种型号空调的采购总费用不超过217000元，该校共有哪几种采购方案？
    在的条件下，采用哪一种采购方案可使总费用最低，最低费用是多少元？
    
    
    
    
    
    
    
    

答案和解析

1.【答案】B
 

【解析】解：根据平行四边形的判定，符合条件的有4种，分别是：、、、．
故选：B．
根据平行四边形的判定方法中，、、、均可判定是平行四边形．
本题考查了平行四边形的判定，平行四边形的判定方法共有五种，在四边形中如果有：1、四边形的两组对边分别平行；2、一组对边平行且相等；3、两组对边分别相等；4、对角线互相平分；5、两组对角分别相等．则四边形是平行四边形．本题利用了第1，2，3种来判定．
 

2.【答案】C
 

【解析】

【分析】
本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键．根据平行四边形的性质得到，，求得，，推出，于是得到四边形BCED为平行四边形，故A正确；根据平行线的性质得到，根据全等三角形的性质得到，于是得到四边形BCED为平行四边形，故B正确；根据平行线的性质得到，求得，求得，同理，，不能判定四边形BCED为平行四边形；故C错误；根据平行线的性质得到，推出，于是得到四边形BCED为平行四边形，故D正确．
【解答】

解：四边形ABCD是平行四边形，
，，
，，
，
，
，
为平行四边形，故A正确；
，
，
在与中，，
≌，
，
，
四边形BCED为平行四边形，故B正确；
，
，
，
，
，
同理，，
不能判定四边形BCED为平行四边形；故C错误；
，
，
，
，
四边形BCED为平行四边形，故D正确，
故选C．

3.【答案】D
 

【解析】

【分析】
本题考查平行四边形的判定把A、B、C、D四个选项分别作为添加条件进行验证，D为正确选项．添加D选项，即可证明≌，从而进一步证明，且，则四边形ABCD是平行四边形本题是一道探索性的试题，考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．
【解答】
解：，
，
是BC边的中点，
，
在与中，

≌，
，，
，
，
，
四边形ABCD为平行四边形．
故选D．  

4.【答案】B
 

【解析】

【分析】本题考查了平行四边形的判定定理，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键．
根据平行四边形的判定定理得出即可．
【解答】解：A、，，
根据平行四边形的判定定理“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”，此选项不符合题意；
B、添加条件不能使四边形ABCD是平行四边形，此选项符合题意；
C、，，
根据平行四边形的判定定理“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”，此选项不符合题意；
D、，
，
，
根据平行四边形的判定定理“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”，此选项不符合题意；
故选：B．  

5.【答案】D
 

【解析】

【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，关键是利用勾股定理得出CE的长，利用对角线互相平分的四边形是平行四边形，利用平行四边形的面积公式根据勾股定理，可得EC的长，根据平行四边形的判定，可得四边形ABCD的形状，根据平行四边形的面积公式，可得答案．
【解答】

解：在中，，，

，
又，四边形ABCD为平行四边形．

．
故选D．

6.【答案】C
 

【解析】解：平行四边形ABCD的，
，
．
故选：C．
根据平行四边形的对角相等求出的度数，再根据平角等于列式计算即可得解．
本题考查了平行四边形的对角相等的性质，是基础题，比较简单，熟记性质是解题的关键．
 

7.【答案】B
 

【解析】解：四边形ABCD是平行四边形
，
，
的平分线交BC于点E，
，
，
，同理可得，
，
四边形ABEF是平行四边形，
．
四边形ABEF是菱形，
，，，
，
，
，
由勾股定理得：，
，
故选：B．
先证明四边形ABEF是平行四边形，再证明邻边相等即可证明四边形ABEF是菱形，然后利用菱形的性质求得其对角线长即可．
本题考查平行四边形的性质、菱形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是证得四边形为菱形，难度不大．
 

8.【答案】B
 

【解析】解：，，
四边形ABCD是平行四边形；
故选：B．
由平行四边形的判定定理即可得出答案．
本题考查了平行四边形的判定定理；熟记对角线互相平分的四边形是平行四边形是解题的关键．
 

9.【答案】B
 

【解析】解：四边形ABCD是平行四边形，
，
故选：B．
直接利用平行四边形的对角相等即可得出答案．
此题主要考查了平行四边形的性质，熟记平行四边形的对角性质是解题关键．
 

10.【答案】C
 

【解析】

【分析】
本题考查了命题与定理：命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．
根据平行四边形的性质对A进行判断；根据旋转后对应线段可能共线可对B进行判断；根据平行四边形的判定方法对C进行判断；根据直角三角形全等的判定方法对D进行判断．
【解答】
解：A、平行四边形的对角线互相平分，所以A选项错误；
B、经过旋转，对应线段平行或在同一直线上且相等，所以B选项错误；
C、两组对角分别相等的四边形是平行四边形，所以C选项正确；
D、两边对应相等的两个直角三角形全等，所以D选项错误．
故选：C．  

11.【答案】C
 

【解析】

【分析】
本题考查平行四边形的对称性，平行四边形是中心对称图形，对称中心是对角线的交点，与坐标系结合在一起，可确定点的坐标．
首先根据平行四边形是中心对称图形，对称中心是两对角线的交点，得出点C与点A关于原点对称，再根据关于原点对称的点的坐标特征求解即可．
【解答】
解：原点O恰好是▱ABCD对角线的交点，
点C与点A关于原点对称，
又关于原点对称的两个点的坐标，横纵坐标互为相反数，A点坐标为，
点坐标为．
故选：C．  

12.【答案】C
 

【解析】【试题解析】

解：平行四边形的判定条件：
1、两组对边分别平行的四边形是平行四边形定义判定法；即选项A；
2、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；即选项D；
3、两组对边分别相等的四边形是平行四边形；即选项B
故选：C．
注意题目所问是“不能”，根据平行四边形的判定条件可解出此题．
本题主要考查平行四边形的性质，掌握平行四边形的基本性质是解答本题的关键

13.【答案】两组对边分别相等的四边形是平行四边形
 

【解析】解：根据尺规作图的画法可得，，，
四边形ABCD是平行四边形，
故答案为：两组对边分别相等的四边形是平行四边形．
先根据分别以点B，D为圆心，AD，AB的长为半径画弧，两弧交于点C，连接CD，BC，得出，，再判断四边形ABCD是平行四边形的依据．
本题主要考查了平行四边形的判定，解题时注意：两组对边分别相等的四边形是平行四边形．符号语言为：，，四边行ABCD是平行四边形．
 

14.【答案】答案不唯一
 

【解析】略
 

15.【答案】
 

【解析】解：如图，连接CE，过点C作，交AB的延长线于H，
平行四边形ABCD中，，，
，，
又，
，
，
设，则，
垂直平分AC，
，
在中，，
，
解得，
的长为．
故答案为：．
连接CE，过点C作，交AB的延长线于H，设，则，，再根据勾股定理，即可得到x的值．
本题主要考查了平行四边形的性质，勾股定理以及线段垂直平分线的的性质的运用，解决问题的关键是作辅助线构造直角三角形，利用勾股定理求解．
 

16.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查了平行四边形的性质、旋转的性质、等腰三角形的判定和性质以及三角形的内角和定理，解题的关键是证明三角形是等腰三角形．
由旋转的性质可知：全等于，所以，所以，又因为旋转角，根据等腰三角形的性质计算即可．
【解答】
解：绕顶点B顺时针旋转到，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．  

17.【答案】2或
 

【解析】解：如图，若BC为边，AB是对角线，

四边形是平行四边形，且，，
，
若AB，BC为边，
四边形ABCD3是平行四边形，
，，
，
，

，
若AB，AC为边，
是平行四边形，
，
故答案为：2或
分两种情况讨论，由平行四边形的性质和勾股定理可求BD的长．
本题考查了平行四边形的性质，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．
 

18.【答案】
 

【解析】解：为等边三角形，
，，
根据折叠的性质，，
四边形ABCD是平行四边形，
，，，
，
，
，
，
，
，，，
，
．
故答案为：．
先根据等边三角形的性质可得，，根据折叠的性质，，再利用平行四边形的性质证明，，利用三角函数值计算出AC，然后根据三角形的中线平分三角形的面积可得，进而可得答案．
此题主要考查了平行四边形的性质、直角三角形的性质以及翻折变换，关键是掌握：平行四边形的对边平行且相等，直角三角形角所对的边等于斜边的一半．
 

19.【答案】证明：，
，
在和中，

≌，
，，
，DG分别是，的中线，
，，
，
四边形AGDF是平行四边形．
 

【解析】此题主要考查了平行四边形的判定，关键是掌握对角线互相平分的四边形是平行四边形，首先证明≌可得，，再根据中线定义可得，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可得结论．
 

20.【答案】证明：

又，
四边形ABCD是平行四边形．
 

【解析】此题主要考查了平行线的判定以及平行四边形的判定，根据平行四边形的判定定理得出是解题关键．
根据平行线的判定得出，进而利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得出即可．
 

21.【答案】证明：，

．

又是BC边上的中线，

即．

，
．

．

，．

．

又，

．

解：且理由如下：

，

．

又，

四边形ABDE是平行四边形．

且．

【解析】略
 

22.【答案】证明：在▱ABCD中，，，
，，
连接CE，如图所示：
是AB的中点，
，，
，
，
，
，
在和中，，
≌，
；
解：四边形ACPE为平行四边形，理由如下：
由知≌，，
，
，
，
，
，
四边形ACPE为平行四边形．
 

【解析】根据平行四边形的性质得到，，连接CE，根据全等三角形的判定和性质即可得到结论；
根据全等三角形的性质得到，等量代换得到，于是得到，根据平行四边形的判定定理即可得到四边形ACPE为平行四边形．
本题考查了平行四边形的性质和判定，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
 

23.【答案】解：如图、所示，和即为所求；

如图所示，▱ABFE即为所求．
 

【解析】作线段AB的垂直平分线，垂直平分线经过的格点即为等腰三角形的第三个顶点；以点A为圆心，以AB的长为半径画弧，弧线经过的格点即为等腰三角形的第三个顶点．
将点A沿任意方向平移到另一格点处，然后将点B也按相同的方法平移，最后连结点A、B及点B、A的对应点即可．
本题主要考查作图应用与设计作图，熟练掌握等腰三角形的定义和平行四边形的判定是解题的关键．
 

24.【答案】；
    ；
结论：
理由：如图中，作于E，延长EP交CD于F．
，，
，


设的面积为x，的面积为y，
则，
，
的面积，
 

【解析】

解：如图中，，．
四边形ABCD是平行四边形，
，
，
，

故答案为

如图中，四边形ABCD是平行四边形，
，，
，

故答案为

见答案．

见答案．
【分析】
根据平行四边形的性质可知：，即可解决问题；
理由平行四边形的性质可知：，即可解决问题；
结论：如图中，作于E，延长EP交CD于根据；
设的面积为x，的面积为y，则，推出，可得的面积；
本题考查平行四边形的判定和性质、平行线的性质、等高模型等正整数，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．  

25.【答案】解：设A型空调和B型空调每台各需x元、y元，
，解得，，
答：A型空调和B型空调每台各需9000元、6000元；
设购买A型空调a台，则购买B型空调台，
，
解得，，
、11、12，共有三种采购方案，
方案一：采购A型空调10台，B型空调20台，
方案二：采购A型空调11台，B型空调19台，
方案三：采购A型空调12台，B型空调18台；
设总费用为w元，
，
当时，w取得最小值，此时，
即采购A型空调10台，B型空调20台可使总费用最低，最低费用是210000元．
 

【解析】本题考查一次函数的应用、一元一次不等式组的应用、二元一次方程组的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用函数和不等式的思想解答．
根据题意可以列出相应的方程组，从而可以解答本题；
根据题意可以列出相应的不等式组，从而可以求得有几种采购方案；
根据题意和中的结果，可以解答本题．