初中数学北师大版九年级上册2 用配方法求解一元二次方程练习

北师大版九年级数学上册第二章2.2用配方法求解一元二次方程  同步测试

一．选择题

1．方程x2＝16的解是(　　)

A．x＝±4  B．x＝4  C．x＝－4  D．x＝16

2．用配方法解一元二次方程-6x-4=0，下列变形正确的是（　　）

A．=-4+36   B．=4+36    C．=-4+9     D．=4+9

3．将一元二次方程-6x-5=0化成=b的形式，则b等于（　　）

A．4     B．-4    C．14    D．-14

4．用配方法解方程x2﹣4x+1=0时，配方后所得的方程是（　　）

A．（x﹣2）2=3 B．（x +2）2=3 C．（x﹣2）2=1 D．（x﹣2）2=﹣1

5．用配方法解方程x2﹣2x﹣5=0时，原方程应变形为（　　）

A．（x+1）2=6 B．（x﹣1）2=6 C．（x+2）2=9 D．（x﹣2）2=9

6．将代数式x2﹣10x+5配方后，发现它的最小值为（　　）

A．﹣30     B．﹣20     C．﹣5       D．0

7．配方法解方程2−x−2＝0变形正确的是（　　）

A．    B． C．      D．

8．已知关于x的方程ax2＝b的两根分别为m－1和2m＋7，则方程两根为(　　)

A．±2           B．±3         C．±4         D．±7

9．用配方法解下列方程，配方正确的是(　　)

A．x2＋6x－7＝0可化为(x＋3)2＝2      B．x2－2x－9＝0可化为(x－1)2＝8

C．x2＋8x－9＝0可化为(x＋4)2＝16     D．x2－4x＝0可化为(x－2)2＝4

10.若M=2-12x+15，N=-8x+11，则M与N的大小关系为（　　）

A．M≥N        B．M＞N       C．M≤N       D．M＜N

11．用配方法解一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），此方程可变形为（   ）

A．（x+）2=       B．（x+）2=

C．（x﹣）2=       D．（x﹣）2=

12．已知为实数，且，则之间的大小关系是（    ）

A． B． C． D．

二．填空题

13．方程x2=2的解是　 　．

14．若x2﹣4x+5=（x﹣2）2+m，则m=　 　．

15．如果一元二次方程经过配方后，得，那么a=     .

16．方程x2﹣2x﹣2=0的解是　        　．

17．设x，y为实数，代数式5x2+4y2﹣8xy+2x+4的最小值为　 　．

18．若，则______．

三．解答题

19．解方程：

(1)2x2－24＝0；　　(2)．　　

20．用配方法解方程：

(1) ；     (2)3x2＋6x＋2＝0.．

21．已知a2＋b2＋2a－4b＋5＝0，试求a2－b2的值．

22．有n个方程：x2+2x﹣8=0；x2+2×2x﹣8×22=0；…x2+2nx﹣8n2=0．

小静同学解第一个方程x2+2x﹣8=0的步骤为：“①x2+2x=8；②x2+2x+1=8+1；③（x+1）2=9；④x+1=±3；⑤x=1±3；⑥x1=4，x2=﹣2．”

（1）小静的解法是从步骤　　开始出现错误的．

（2）用配方法解第n个方程x2+2nx﹣8n2=0．（用含有n的式子表示方程的根）

23． “a2=0”这个结论在数学中非常有用，有时我们需要将代数式配成完全平方式，例如：x2+4x+5=x2+4x+4+1=（x+2）2+1，∵（x+2）2≥0，（x+2）2+1≥1，∴x2+4x+5≥1．试利用“配方法”解决下列问题：

（1）填空：因为x2﹣4x+6=（x　 　）2+　 　；所以当x=　 　时，代数式x2﹣4x+6有最　 　（填“大”或“小”）值，这个最值为　 　．

（2）比较代数式x2﹣1与2x﹣3的大小．

24．先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题：

例题：求代数式y2+4y+8的最小值．

解：y2+4y+8=y2+4y+4+4=（y+2）2+4

∵（y+2）2≥0

∴（y+2）2+4≥4

∴y2+4y+8的最小值是4．

（1）求代数式m2+m+4的最小值；

（2）求代数式4﹣x2+2x的最大值；

（3）某居民小区要在一块一边靠墙（墙长15m）的空地上建一个长方形花园ABCD，花园一边靠墙，另三边用总长为20m的栅栏围成．如图，设AB=x（m），请问：当x取何值时，花园的面积最大？最大面积是多少？

25．阅读材料：把形如ax2＋bx＋c的二次三项式(或其一部分)配成完全平方式的方法叫做配方法，配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即a2±2ab＋b2＝(a±b)2.

根据阅读材料解决下列问题：

(1)m2＋4m＋4＝(________)2；

(2)无论n取何值，9n2－6n＋1________0(填“＜”“＞”“≤”“≥”或“＝”)；

(3)已知m，n是△ABC两条边的长，且满足10m2＋4n2＋4＝12mn＋4m，若该三角形的第三边长k是奇数，求k的值．

北师大版九年级数学上册第二章2.2用配方法求解一元二次方程  答案提示

一．选择题

1．方程x2＝16的解是(　　)选A．

A．x＝±4  B．x＝4  C．x＝－4  D．x＝16

2．用配方法解一元二次方程-6x-4=0，下列变形正确的是（　　）选D．

A．=-4+36   B．=4+36    C．=-4+9     D．=4+9

3．将一元二次方程-6x-5=0化成=b的形式，则b等于（　　）选C．

A．4     B．-4    C．14    D．-14

4．用配方法解方程x2﹣4x+1=0时，配方后所得的方程是（　　）选A．

A．（x﹣2）2=3 B．（x +2）2=3 C．（x﹣2）2=1 D．（x﹣2）2=﹣1

5．用配方法解方程x2﹣2x﹣5=0时，原方程应变形为（　　）选B．

A．（x+1）2=6 B．（x﹣1）2=6 C．（x+2）2=9 D．（x﹣2）2=9

6．将代数式x2﹣10x+5配方后，发现它的最小值为（　　）选B．

A．﹣30     B．﹣20     C．﹣5       D．0

7．配方法解方程2−x−2＝0变形正确的是（　　）选D．

A．    B． C．      D．

8．已知关于x的方程ax2＝b的两根分别为m－1和2m＋7，则方程两根为(　　)选B．

A．±2           B．±3         C．±4         D．±7

9．用配方法解下列方程，配方正确的是(　　)选D．

A．x2＋6x－7＝0可化为(x＋3)2＝2      B．x2－2x－9＝0可化为(x－1)2＝8

C．x2＋8x－9＝0可化为(x＋4)2＝16     D．x2－4x＝0可化为(x－2)2＝4

10.若M=2-12x+15，N=-8x+11，则M与N的大小关系为（　　）选A．

A．M≥N        B．M＞N       C．M≤N       D．M＜N

11．用配方法解一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），此方程可变形为（   ）选A．

A．（x+）2=       B．（x+）2=

C．（x﹣）2=       D．（x﹣）2=

12．已知为实数，且，则之间的大小关系是（    ）选A．

A． B． C． D．

【详解】，

，

，

，

，

，

又，

，

，

故选：A．

二．填空题

13．方程x2=2的解是　±　．

14．若x2﹣4x+5=（x﹣2）2+m，则m=　1　．

15．如果一元二次方程经过配方后，得，那么a= ﹣6  .

16．方程x2﹣2x﹣2=0的解是　x1=+1，x2=﹣+1　．

17．设x，y为实数，代数式5x2+4y2﹣8xy+2x+4的最小值为　3　．

18．若，则___7___．

三．解答题

19．解方程：

(1)2x2－24＝0；　　(2)．　　　　　

解：(1)由原方程，得2x2＝24，∴x2＝12，

直接开平方，得x＝±2 ，

∴x1＝2 ，x2＝－2 .

(2) 由原方程，得

直接开平方，得

则，或解得：，

20．用配方法解方程：

(1) ；     (2)3x2＋6x＋2＝0.．

解：(1)由原方程，得，

配方，得    即，

开方得

解得：，

(2)移项，得3x2＋6x＝－2.

二次项系数化为1，得x2＋2x＝－.

配方，得x2＋2x＋1＝－＋1，

即(x＋1)2＝.开平方，

得x＋1＝±，

∴x1＝－1，x2＝－－1.

21．已知a2＋b2＋2a－4b＋5＝0，试求a2－b2的值．

解：∵a2＋b2＋2a－4b＋5＝(a＋1)2＋(b－2)2＝0，

∴a＋1＝0，b－2＝0，∴a＝－1，b＝2，

∴a2－b2＝1－4＝－3.

22．有n个方程：x2+2x﹣8=0；x2+2×2x﹣8×22=0；…x2+2nx﹣8n2=0．

小静同学解第一个方程x2+2x﹣8=0的步骤为：“①x2+2x=8；②x2+2x+1=8+1；③（x+1）2=9；④x+1=±3；⑤x=1±3；⑥x1=4，x2=﹣2．”

（1）小静的解法是从步骤　⑤　开始出现错误的．

（2）用配方法解第n个方程x2+2nx﹣8n2=0．（用含有n的式子表示方程的根）

解：（1）小静的解法是从步骤⑤开始出现错误的，

故答案为：⑤；

（2）x2+2nx﹣8n2=0，

x2+2nx=8n2，

x2+2nx+n2=8n2+n2，

（x+n）2=9n2，

x+n=±3n，

x1=2n   x2=﹣4n．

23． “a2=0”这个结论在数学中非常有用，有时我们需要将代数式配成完全平方式，例如：x2+4x+5=x2+4x+4+1=（x+2）2+1，∵（x+2）2≥0，（x+2）2+1≥1，∴x2+4x+5≥1．试利用“配方法”解决下列问题：

（1）填空：因为x2﹣4x+6=（x　﹣2　）2+　2　；所以当x=　2　时，代数式x2﹣4x+6有最　小　（填“大”或“小”）值，这个最值为　2　．

（2）比较代数式x2﹣1与2x﹣3的大小．

解：（1）x2﹣4x+6=（x﹣2）2+2，

所以当x=2时，代数式x2﹣4x+6有最小值，这个最值为2，

故答案为：﹣2；2；2；小；2；

（2）x2﹣1﹣（2x﹣3）

=x2﹣2x+2；

=（x﹣1）2+1＞0，

则x2﹣1＞2x﹣3．

24．先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题：

例题：求代数式y2+4y+8的最小值．

解：y2+4y+8=y2+4y+4+4=（y+2）2+4

∵（y+2）2≥0

∴（y+2）2+4≥4

∴y2+4y+8的最小值是4．

（1）求代数式m2+m+4的最小值；

（2）求代数式4﹣x2+2x的最大值；

（3）某居民小区要在一块一边靠墙（墙长15m）的空地上建一个长方形花园ABCD，花园一边靠墙，另三边用总长为20m的栅栏围成．如图，设AB=x（m），请问：当x取何值时，花园的面积最大？最大面积是多少？

解：（1）m2+m+4=（m+）2+，

∵（m+）2≥0，

∴（m+）2+≥，

则m2+m+4的最小值是；

（2）4﹣x2+2x=﹣（x﹣1）2+5，

∵﹣（x﹣1）2≤0，

∴﹣（x﹣1）2+5≤5，

则4﹣x2+2x的最大值为5；

（3）由题意，得花园的面积是x（20﹣2x）=﹣2x2+20x，

∵﹣2x2+20x=﹣2（x﹣5）2+50=﹣2（x﹣5）2≤0，

∴﹣2（x﹣5）2+50≤50，

∴﹣2x2+20x的最大值是50，此时x=5，

则当x=5m时，花园的面积最大，最大面积是50m2．　

25．阅读材料：把形如ax2＋bx＋c的二次三项式(或其一部分)配成完全平方式的方法叫做配方法，配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即a2±2ab＋b2＝(a±b)2.

根据阅读材料解决下列问题：

(1)m2＋4m＋4＝(________)2；

(2)无论n取何值，9n2－6n＋1________0(填“＜”“＞”“≤”“≥”或“＝”)；

(3)已知m，n是△ABC两条边的长，且满足10m2＋4n2＋4＝12mn＋4m，若该三角形的第三边长k是奇数，求k的值．

解：(1)m＋2　(2)≥

(3)10m2＋4n2＋4＝12mn＋4m，已知等式整理得9m2－12mn＋4n2＋m2－4m＋4＝0，

∴(3m－2n)2＋(m－2)2＝0，

∴3m－2n＝0，m－2＝0，解得m＝2，n＝3.

∵m，n是△ABC两条边的长，k是第三边长，

∴3－2＜k＜3＋2，即1＜k＜5.

∵第三边长k是奇数，∴k＝3.