数学九年级上册1 菱形的性质与判定优秀综合训练题
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1.1菱形的性质与判定同步练习北师大版初中数学九年级上册
一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）
- 若菱形的周长为8，高为1，则菱形两邻角的度数之比是
A. B. C. D.
- 如图，四边形ABCD是菱形，，，于H，则AH等于
A. 4 B. 5 C. D.
- 一个菱形的周长是，两条对角线长的比是，则这个菱形的面积是
A. B. C. D.
- 下列条件中，能判定四边形是菱形的是
A. 对角线互相垂直且相等的四边形 B. 对角线互相垂直的四边形
C. 对角线相等的平行四边形 D. 对角线互相平分且垂直的四边形
- 如图，AD是的角平分线，交AB于点E，交AC于点F，且AD交EF于点O，则为
A. B. C. D.
- 菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是
A. 两组对边分别相等 B. 两条对角线相等
C. 四个内角都是直角 D. 每一条对角线平分一组对角
- 如图，O是菱形ABCD的对角线的交点，E，F分别是OA，OC的中点，下列结论：
四边形BFDE是菱形
是轴对称图形．
其中正确的结论有
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
- 如图，将沿BC方向平移得到，连接AD，下列条件能够判定四边形ABCD为菱形的是
A.
B.
C.
D.
- 如图，已知菱形OABC的顶点，，若菱形绕点O逆时针旋转，每秒旋转，则第60秒时，菱形的顶点B的坐标为
A.
B.
C.
D.
- 如图，菱形OABC的顶点，，，若菱形绕点O顺时针旋转后得到菱形，依此方式，绕点O连续旋转2020次得到菱形，那么点的坐标是
A. B. C. D.
- 在菱形ABCD中，AC、BD为对角线，若，，则菱形ABCD的面积是
A. 12 B. 16 C. 24 D. 32
- 下列说法中不正确的是
A. 四边相等的四边形是菱形 B. 对角线垂直的平行四边形是菱形
C. 菱形的对角线互相垂直且相等 D. 菱形的邻边相等
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
- 如图，在任意四边形ABCD中，点E，F，G，H分别是AD，BC，BD，AC的中点，当四边形ABCD满足条件________时，四边形EGFH是菱形．填一个使结论成立的条件
|
- 如图，菱形ABCD的对角线的长分别为3和6，P是对角线AC上任一点点P不与点A，C重合，且交AB于点E，交AD于点F，则阴影部分的面积是________．
- 如图，在菱形ABCD中，，分别以点A，B为圆心，大于的长为半径作弧相交于两点，过此两点的直线交AD边于点作图痕迹如图所示，连接BE，BD，则的度数为 ．
- 如图，E，F是正方形ABCD的对角线AC上的两点，，，则四边形BEDF的周长是______．
|
- 菱形OBCD在平面直角坐标系中的位置如图所示，顶点，，点E坐标为，点P是对角线OC上一个动点，则最短的最短距离为______．
- 有两个全等矩形纸条，长与宽分别为8和6，按图所示交叉叠放在一起，则重合部分构成的四边形周长为______．
|
三、解答题（本大题共7小题，共56.0分）
- 如图，在平行四边形ABCD中，过点A作于点E，于点F，．
求证：四边形ABCD是菱形；
若，，求AF的长．
- 如图1，在▱ABCD中，，，，AC、BD相交于点O．
求AB的长．
若，，连接OE，求证：．
如图2，设BC与OE相交于点P，连接DP，求DP的长．
- 如图，在平行四边形ABCD中，线段AC的垂直平分线交AC于O，分别交BC，AD于E，F，连接AE，CF．
证明：四边形AECF是菱形；
在的条件下，如果，，，求四边形AECF的面积．
- 如图，，分别以A、C为圆心，以长度5为半径作弧，两条弧分别相交于点B和依次连接A、B、C、D，连接BD交AC于点O．
判断四边形ABCD的形状并说明理由；
求BD的长．
- 如图，在中，，以AB为直径的圆交AC于点D，交BC于点E，延长AE至点F，使，连接FB，FC．
求证：四边形ABFC是菱形；
若，，求半圆和菱形ABFC的面积．
- 如图，AC是▱ABCD的对角线，．
求证：
若，，求▱ABCD的面积．
- 如图，四边形ABCD是平行四边形，对角线AC，BD交于点O，，，．
求证：四边形ABEO是菱形；
若，，求四边形ABEO的面积．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查了菱形的性质、含角的直角三角形的判定；熟练掌握菱形的性质和含角的直角三角形的判定是解决问题的关键．先根据菱形的性质求出边长，再根据直角三角形的性质求出，得出，即可得出结论．
【解答】
解：如图所示：四边形ABCD是菱形，菱形的周长为8，
，，
，，
，
，
，
：：1；
故选C．
2.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查了菱形的性质，也涉及了勾股定理，要求我们掌握菱形的面积的两种表示方法，及菱形的对角线互相垂直且平分．
根据菱形的性质得出BO、CO的长，在中求出BC，利用菱形面积等于对角线乘积的一半，也等于，即可得出AH的长度．
【解答】
解：四边形ABCD是菱形，，，
，，，
，
，
，
，
．
故选D．
3.【答案】D
【解析】
【分析】
此题主要考查菱形的性质，根据菱形的对角线互相垂直平分，利用勾股定理求解．
【解答】
解：设菱形的对角线长分别为和，
已知菱形的周长为，故菱形的边长为，
根据菱形的性质可知，菱形的对角线互相垂直平分，
即可知，解得，
故菱形的对角线长分别为和，
所以菱形的面积为
故选D．
4.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查了菱形的判定，平行四边形的性质，熟练掌握菱形的判定是解答本题的关键．
利用菱形的判定方法对各个选项一一进行判断即可．
【解答】
解：A、对角线互相垂直相等的四边形不一定是菱形，此选项错误；
B、对角线互相垂直的四边形不一定是菱形，此选项错误；
C、对角线相等的平行四边形是矩形，不一定是菱形，此选项错误；
D、对角线互相平分且垂直的四边形是菱形，此选项正确；
故选：D．
5.【答案】B
【解析】略
6.【答案】D
【解析】
【分析】
此题主要考查了菱形的性质和平行四边形的性质，关键是根据菱形对角线垂直及平行四边形对角线平分的性质的理解．根据菱形的特殊性质可知对角线互相垂直．
【解答】
解：两组对角分别相等，两者均有此性质，故此选项不正确；
B.两条对角线相等 ，两者均没有此性质，故此选项不正确；
C.四个内角都是直角，两者均不具有此性质，故此选项不正确；
D.每一条对角线平分一组对角，菱形具有而一般平行四边形不具有此性质，故此选项正确．
故选D．
7.【答案】C
【解析】略
8.【答案】A
【解析】
【分析】此题主要考查了平移的性质和平行四边形的判定和菱形的判定，得出AB平行且等于CD是解题关键．首先根据平移的性质得出AB平行且等于CD，得出四边形ABCD为平行四边形，根据邻边相等的平行四边形是菱形可得添加条件即可．
【解答】解：将沿BC方向平移得到，
平行且等于CD，
四边形ABCD为平行四边形，
当时，
平行四边形ABCD是菱形．
故选：A．
9.【答案】D
【解析】解：每秒旋转，则第60秒时，得，周，
OB旋转了周．
第60秒时，点B在第三象限，．
故选D．
10.【答案】D
【解析】解：作于D，则，
四边形OABC是菱形，，，
，，
，
，，
点C的坐标为，
若菱形绕点O顺时针旋转后得到菱形，依此方式，绕点O连续旋转2020次得到菱形，
则菱形OABC绕点O连续旋转2020次，旋转4次为一周，旋转2020次为周，
绕点O连续旋转2020次得到菱形与菱形OABC重合，
点与C重合，
点的坐标为，
故选：D．
作于D，由菱形的性质得出，，由直角三角形的性质得出，，则点C的坐标为，则菱形OABC绕点O连续旋转2020次，旋转4次为一周，绕点O连续旋转2020次得到菱形与菱形OABC重合，点与C重合，即可得出答案．
本题考查了菱形的性质、坐标与图形性质、直角三角形的性质、点的坐标规律等知识；熟练掌握菱形的性质，求出点C的坐标，找出规律是解题的关键．
11.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查了菱形的性质，熟练运用菱形的性质是本题的关键．
根据菱形面积、b是两条对角线的长度，可求菱形ABCD的面积．
【解答】
解：菱形ABCD的面积
菱形ABCD的面积
故选：B．
12.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查了菱形的判定与性质，熟记菱形的性质和判定方法是解题的关键．由菱形的判定与性质即可得出A、B、D正确，C不正确．
【解答】
解：四边相等的四边形是菱形；正确；
B.对角线垂直的平行四边形是菱形；正确；
C.菱形的对角线互相垂直但不一定相等；不正确；
D.菱形的邻边相等；正确；
故选C．
13.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查了三角形中位线定理与菱性的判定方法，菱形的判别方法是说明一个四边形为菱形的理论依据，常用三种方法：定义；四边相等；对角线互相垂直平分．
E、G分别是AD，BD的中点，那么EG就是三角形ADB的中位线，同理，HF是三角形ABC的中位线，因此EG、HF同时平行且等于，因此因此四边形EHFG是平行四边形，E、H是AD，AC的中点，那么，要想证明EHFG是菱形，那么就需证明，那么就需要AB、CD满足的条件．
【解答】
解：当四边形ABCD满足条件时，四边形EGFH是菱形．
证明如下：点E，G分别是AD，BD的中点，
，且，同理，且，
．
四边形EGFH是平行四边形．
又可同理证得，
，
，
，
四边形EGFH是菱形．
故答案为．
14.【答案】
【解析】
【分析】
此题考查菱形的性质．解答此题的关键是证明，然后根据菱形的面积等于两条对角线乘积的一半求出菱形ABCD的面积，进而求出的面积等于菱形ABCD的面积的一半即可．
【解答】
解：如图，
设AP与EF相交于O点，
四边形ABCD为菱形，
，，
，，
，，
四边形AEPF是平行四边形，
，
即阴影部分的面积等于的面积，
的面积等于菱形ABCD的面积的一半，
菱形ABCD的面积，
图中阴影部分的面积为．
故答案为．
15.【答案】
【解析】略
16.【答案】
【解析】解：如图，连接BD交AC于点O，
四边形ABCD为正方形，
，，
，
，即，
四边形BEDF为平行四边形，且，
四边形BEDF为菱形，
，
，，
由勾股定理得：，
四边形BEDF的周长，
故答案为：．
连接BD交AC于点O，则可证得，，可证四边形BEDF为平行四边形，且，可证得四边形BEDF为菱形；根据勾股定理计算DE的长，可得结论．
本题主要考查正方形的性质、菱形的判定和性质及勾股定理，掌握对角线互相垂直平分的四边形为菱形是解题的关键．
17.【答案】
【解析】解：连接ED，如图，
点B的对称点是点D，
，
即为最短，
四边形ABCD是菱形，顶点，，
点D的坐标为，
点E的坐标为，
直线，
故答案为：．
点B的对称点是点D，连接ED，交OC于点P，再得出ED即为最短，解答即可．
此题考查菱形的性质，关键是根据一次函数与方程组的关系，得出两直线的解析式，求出其交点坐标．
18.【答案】25
【解析】解：如图所示：
由题意得：矩形ABCD≌矩形BEDF，
，，，，，
四边形BGDH是平行四边形，
平行四边形BGDH的面积，
，
四边形BGDH是菱形，
，
设，则，
在中，由勾股定理得：，
解得：，
，
四边形BGDH的周长；
故答案为：25．
由题意得出，，，，，证四边形BGDH是菱形，得出，设，则，在中，由勾股定理得出方程，解方程求出BG，即可得出答案．
本题考查了菱形的判定与性质、矩形的性质、勾股定理等知识；证明四边形BGDH为菱形是解题的关键．
19.【答案】证法一：连接AC，如图．
，，，
，
四边形ABCD是平行四边形，
．
．
，
，
四边形ABCD是菱形．
证法二：如图，
四边形ABCD是平行四边形，
．
，，
，
又，
≌．
，
四边形ABCD是菱形．
连接AC，如图．
，，，
，
四边形ABCD是菱形，
，
，
，
在中，．
【解析】本题考查菱形的性质和判定、平行四边形的性质、解直角三角形等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
方法一：连接AC，利用角平分线判定定理，证明即可；方法二：只要证明≌可得即可解决问题．
先根据菱形的性质求出，在，可得AC，再由勾股定理来求AF即可．
20.【答案】解：四边形ABCD是平行四边形，，
平行四边形ABCD是菱形，
，，，
，
；
证明：，，
四边形OBEC是平行四边形，
由得：四边形ABCD是菱形，
，，
，
平行四边形OBEC是矩形，
，
；
解：过D作于H，如图2所示：
四边形ABCD是菱形，
，菱形ABCD的面积，
即，
，
在中，由勾股定理得：，
由得：四边形OBEC是矩形，
，
，
，
，
在中，．
【解析】证四边形ABCD是菱形，得，，，再由勾股定理即可求解
证四边形OBEC是平行四边形，再由菱形的性质得，，则，即可得出结论；
过D作于H，先由菱形的面积求出，再由由勾股定理得，则，然后由勾股定理求解即可．
本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、矩形的判定与性质、勾股定理等知识；熟练掌握矩形的判定与性质和勾股定理，证明平行四边形ABCD为菱形是解题的关键．
21.【答案】证明：四边形ABCD是平行四边形，
，
，
是线段AC的垂直平分线，
，，
在和中，，
≌，
，
四边形AECF是平行四边形，
又，
四边形AECF是菱形；
解：由得：四边形AECF是菱形，，
，，，
，
，
，
，，
，，
四边形AECF的面积．
【解析】证≌，得出，则四边形AECF是平行四边形，由，得出四边形AECF是菱形；
由菱形的性质得出，，，证，由平行线的性质得出，由直角三角形的性质得出，，则，，由菱形面积公式即可得出答案．
本题考查了菱形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、线段垂直平分线的性质、含角的直角三角形的性质等知识；熟练掌握菱形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．
22.【答案】解：四边形ABCD为菱形；
由作法得，
所以四边形ABCD为菱形；
四边形ABCD为菱形，
，，，
在中，，
．
【解析】本题考查了菱形的判定：一组邻边相等的平行四边形是菱形平行四边形一组邻边相等菱形；四条边都相等的四边形是菱形．也考查了菱形的性质．
利用作法得到四边相等，从而可判断四边形ABCD为菱形；
根据菱形的性质得，，，然后利用勾股定理计算出OB，从而得到BD的长．
23.【答案】解：证明：是直径，
，
，
，
，
，
四边形ABFC是平行四边形，
，
四边形ABFC是菱形．
设，连接BD，
则，．
是直径，
，
，
，
解得或舍去，
，，
．
．
【解析】本题考查了菱形的判定与性质、等腰三角形的性质、勾股定理等知识．
根据对角线相互平分的四边形是平行四边形，证明是平行四边形，再根据邻边相等的平行四边形是菱形即可证明；
设，连接利用勾股定理构建方程即可解决问题．
24.【答案】解：证明：四边形ABCD为平行四边形，，
，
又，，
．
连接BD交AC于O，
，且四边形ABCD为平行四边形，
四边形ABCD为菱形，，
，即，
，，
．
【解析】本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定、勾股定理、菱形面积的计算；熟练掌握平行四边形的性质，证明四边形是菱形是解决问题的关键．
由平行四边形的性质得出，再由已知条件得出，即可得出；
连接BD交AC于O，证明四边形ABCD是菱形，得出，，，由勾股定理求出OB，得出BD，▱ABCD的面积，即可得出结果．
25.【答案】证明：，，
四边形ABEO是平行四边形，
四边形ABCD是平行四边形，
，
，
，
四边形ABEO是菱形；
解：四边形ABCD是平行四边形，
，，
连接AE交BO于M，
由知，四边形ABEO是菱形，
、OB互相垂直平分，
，
，
，
四边形ABEO的面积．
【解析】根据平行四边形的判定定理得到四边形ABEO是平行四边形，根据平行四边形的性质得到，推出，得到四边形ABEO是菱形；
根据平行四边形的性质得到，，连接AE交BO于M，根据勾股定理得到AM，根据菱形的面积公式即可得到结论．
本题考查了平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质、菱形面积的计算等知识，熟练掌握平行四边形和菱形的判定与性质是解题的关键．
数学北师大版第一章 特殊平行四边形1 菱形的性质与判定一课一练： 这是一份数学北师大版第一章 特殊平行四边形1 菱形的性质与判定一课一练，共6页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
数学第一章 特殊平行四边形1 菱形的性质与判定课时练习： 这是一份数学第一章 特殊平行四边形1 菱形的性质与判定课时练习，共7页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
初中数学北师大版九年级上册第一章 特殊平行四边形1 菱形的性质与判定精练： 这是一份初中数学北师大版九年级上册第一章 特殊平行四边形1 菱形的性质与判定精练，共6页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
