初中数学北师大版九年级上册5 一元二次方程的根与系数的关系精品精练

2.5一元二次方程的根与系数的关系同步练习北师大版初中数学九年级上册

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）

1. 设一元二次方程的两根为、，则的值为

A.  B.  C.  D.

2. 关于x的方程有实数根，则下列结论正确的是

A. 当时，方程的两根互为相反数
B. 当时，方程的根是
C. 若方程有实数根，则且
D. 若方程有实数根，则

3. 若关于x的方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是

A.  B. ，且
C. ，且 D.

4. 设，是一元二次方程的两根，则的值为

A. 6 B. 8 C. 14 D. 16

5. 若和为一元二次方程的两个根．则值为

A.  B. 2 C. 4 D. 3

6. 若方程没有实数根，则k的值可以为

A. 1 B. 0 C.  D.

7. 已知关于x的一元二次方程，则下列关于该方程根的判断，正确的是

A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根
C. 没有实数根 D. 实数根的个数与实数b的取值有关

8. 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则二次项系数a的取值范围是

A.  B.  C. 且 D. 且

9. 已知关于x的一元二次方程有实数根，则m的取值范围是

A.  B.  C.  D.

10. 下列一元二次方程中，没有实数根的是

A.  B.
C.  D.

11. 下列一元二次方程中，没有实数根的是

A.  B.
C.  D.

12. 下列一元二次方程中，没有实数根的是

A.  B.
C.  D.

二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）

13. 已知关于x的一元二次方程有实数根，则m的取值范围是______．
14. 关于x的方程有两个相等的实数根，则k的值为______．
15. 已知，是一元二次方程的两根，则______．
16. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则a的取值范围是______．

三、解答题（本大题共9小题，共72.0分）

17. 定义：若一元二次方程满足则称该方程为“和谐方程”．
    下列属于和谐方程的是______；
    ；；．
    求证：和谐方程总有实数根；
    已知：一元二次方程为“和谐方程”，若该方程有两个相等的实数根，求a，c的数量关系．
    
    
    
    
    
    
     
18. 关于x的方程有实数根，且m为正整数。

求m的值。

求此时方程的根。






 

19. 已知关于x的方程．
    求证：方程恒有两个不相等的实数根；
    若此方程的一个根是1，请求出方程的另一个根，并求以此两根为边长的等腰三角形的周长．
    
    
    
    
    
    
     
20. 已知关于x的一元二次方程．
    求证：该一元二次方程总有两个实数根；
    若是方程的一个根，求m的值和另一个根．
    
    
    
    
    
    
     
21. 已知关于x的一元二次方程．

求证：无论k取任何实数，方程总有实数根；

若等腰三角形的一边长为4，另两边长恰好是这个方程的两个根，求此时的k值．






 

22. 已知关于x的一元二次方程：有实数解．
    求m的取值范围；
    当m取满足条件的最大整数时，求原方程的解．
    
    
    
    
    
    
     
23. 解方程，这是一个四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：设，那么，于是原方程可变为，
    解得，．
    当时，，；
    当时，，．
    原方程有四个根：，，，．
    以上方法叫做换元法，达到了降次的目的，体现了数学的转化思想．运用该方法解下列方程：
    ．
    直角三角形中两条直角边分别为a，b，且满足，求这个直角三角形的斜边长．
    
    
    
    
    
    
     
24. 已知一元二次方程的两根为，求值：
    ；
    ；
    
    
    
    
    
    
    
     
25. 已知关于x的一元二次方程．
    求证：无论m取何值，原方程总有两个不相等的实数根：
    若是原方程的两根，且，求m的值，并求出此时方程的两根．
    
    
    
    
    
    
    
    

答案和解析

1.【答案】A
 

【解析】解：一元二次方程的两根为、，
．
故选：A．
由于一元二次方程的两根为、，直接利用一元二次方程的根与系数的关系即可求解．
此题主要考查了根与系数的关系，比较简单，直接利用根与系数的关系即可解决问题．
 

2.【答案】D
 

【解析】解：若，则此方程为，所以方程有实数根为，则B错误；
若，则此方程是一元二次方程，由于方程有实数根，
，
且；
综上所述k的取值范围是．
故A错误，C错误，D正确．
故选：D．
因为已知没有明确此方程是否是一个一元二次方程，所以方程有两种情况，既可以是一元一次方程，也可以一元二次方程，所以分两种情况分别去求k的取值范围，然后结合选项判断选择什么．
本题首先应该分类讨论，然后利用根的判别式及不等式来解决问题．
 

3.【答案】C
 

【解析】解：由题意可知：，
，
，
且，
故选：C．
根据根的判别式即可求出答案．
本题考查根的判别式，解题的关键是熟练运用根的判别式，本题属于基础题型．
 

4.【答案】C
 

【解析】解：，是一元二次方程的两根，
，
原式


故选：C．
由根与系数的关系即可求出答案．
本题考查根与系数的关系，解题的关键是熟练运用根与系数的关系，本题属于基础题型．
 

5.【答案】B
 

【解析】解：，是一元二次方程的两个根，
，，
．
故选：B．
先根据方程求出两根之和与两根之积的值，然后再根据，代入求值．
此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．
 

6.【答案】D
 

【解析】解：由题意可知：，
，
故选：D．
根据根的0判别式即可求出答案．
本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型．
 

7.【答案】A
 

【解析】

【分析】
本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
先计算出判别式的值，再根据非负数的性质判断，然后利用判别式的意义对各选项进行判断．
【解答】
解：，
方程有两个不相等的实数根．
故选：A．  

8.【答案】D
 

【解析】解：一元二次方程有两个不相等的实数根，
，且，
解得：且，
故选：D．
由关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，即可得判别式且二次项系数，继而可求得a的范围．
此题考查了一元二次方程根的判别式的知识．此题比较简单，注意掌握一元二次方程有两个不相等的实数根，即可得．
 

9.【答案】B
 

【解析】解：根据题意得，，
解得：，
故选：B．
由方程有实数根即，从而得出关于m的不等式，解之可得．
本题主要考查根的判别式，熟练掌握一元二次方程的根与判别式间的关系是解题的关键．
 

10.【答案】C
 

【解析】解：A、这里，，，
，
方程有两个不相等的实数根，不合题意；
B、这里，，，
，
方程有两个相等的实数根，不合题意；
C、这里，，，
，
方程没有实数根，符合题意；
D、方程即为，这里，，，
，
方程有两个不相等的实数根，不合题意；
故选：C．
找出各选项中的a，b及c的值，计算出根的判别式的值，当根的判别式的值小于0时满足题意．
本题考查了一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．
 

11.【答案】D
 

【解析】解：，故选项A有两个不同的实数根；
，故选项B有两个相同的实数根；
，故选项C有两个不同的实数根；
，故选项D有两个不同的实数根；
故选：D．
根据判别式即可求出答案．
本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的根的判别式，本题属于基础题型．
 

12.【答案】D
 

【解析】解：A、中或，错误；
B、中，错误；
C、中，错误；
D、即，方程无实数根，正确；
故选：D．
分别求出每个方程的根即可判断．
本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．
 

13.【答案】且
 

【解析】解：一元二次方程有实数根，
且，
解得：且，
故答案为：且．
根据一元二次方程的定义和根的判别式得到且二次项系数，然后求出两不等式的公共部分即可．
本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的两个实数根；当时，方程有两个相等的两个实数根；当时，方程无实数根．
 

14.【答案】
 

【解析】解：根据题意得，
解得
故答案为．
根据判别式的意义得到，然后解关于k的方程即可．
本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的两个实数根；当时，方程有两个相等的两个实数根；当时，方程无实数根．
 

15.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题主要考查根与系数的关系，解题的关键是掌握，是方程的两根时，，根据，是方程的两根时，得出，代入计算可得．
【解答】
解：，是一元二次方程的两根，
，
则，
故答案为：．  

16.【答案】且
 

【解析】解：由题意可知：，
，
，
且，
故答案为：且
根据根的判别式与一元二次方程的概念即可求出答案．
本题考查判别式及一元二次方程的概念，解题的关键是熟练运用判别式及一元二次方程的概念，，本题属于基础题型．
 

17.【答案】
 

【解析】解：属于和谐方程的是．
故答案为：；
证明：一元二次方程为“和谐方程”，
，


，
和谐方程总有实数根；
一元二次方程为“和谐方程”，
，
和谐方程有两个相等的实数根，


，
．
由“和谐”方程的定义即可求解；
由“和谐”方程的定义，可得出“和谐”方程必定有一个根是1；
根据是“和谐”方程的定义可找出，结合方程有两个相等的实数根，可得a，c的数量关系．
本题考查了一元二次方程的解以及根的判别式，解题的关键是：根据“和谐”方程的定义即可求解；根据“和谐”方程的定义，找出“和谐”方程必有一根为1；根据“和谐”方程的定义结合根的判别式，得到a，c的数量关系．
 

18.【答案】解：

是正整数，

；

由知

．

【解析】此题主要考查了根的判别式以及一元二次方程的解法，正确得出m的值是解题关键．
直接利用根的判别式得出m的取值范围，再根据m为正整数即可求出m的值；
把的值代入方程，解方程得出答案即可．
 

19.【答案】证明：，
在实数范围内，m无论取何值，，即，
关于x的方程恒有两个不相等的实数根；
解：根据题意，得
，
解得，，
所以两根之和
则方程的另一根为3；
当该等腰三角形的三边是1、1、3时，，不能组成三角形，故此情况不成立；
当该等腰三角形的三边是1、3、3时，，能组成三角形，；则该三角形的周长为．
综上所述以此两根为边长的等腰三角形的周长为7．
 

【解析】本题综合考查了根的判别式、一元二次方程解的定义，根与系数的关系，三角形的三边关系，分类讨论的数学思想．掌握根的判别式和分类讨论的数学思想是关键．
根据关于x的方程的根的判别式的符号来证明结论；
根据一元二次方程的解的定义求得m值，然后由根与系数的关系求得方程的另一根，再分两种情况讨论，根据三角形的周长公式进行计算即可解答．
 

20.【答案】证明：，
该一元二次方程总有两个实数根，
解：把代入方程得：
，
解得：，
一元二次方程，
解得或，
方程的另一个解是．
 

【解析】根据判别式公式得，即可得到答案；
把代入方程得到关于m的一元一次方程，解之可求m，由此确定一元二次方程为，在求方程的解即可．
本题考查一元二次方程的根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程的根的判别式，会解一元二次方程是解题的关键．
 

21.【答案】解：关于x的一元二次方程，
，
，
，
无论k取任何实数，方程总有实数根；
当三角形的腰长为4时，设底边为a，
是的一根，
，
，
，
由根与系数的关系可知：，
，
此时，能够组成三角形，满足题意；
当底边为4时，
有两个相同的根，
，
，
该方程的解为：，
，不能组成三角形，
综上所述．
 

【解析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，也考查了一元二次方程的判别式和等腰三角形的性质．
先计算，整理得到，根据非负数的性质得到，然后根据的意义即可得到结论；
分类讨论：当三角形的腰长为4时，设底边为a；当底边为4时，然后利用判别式求出k的值，然后得出边长，再利用三角形三边关系分析即可．
 

22.【答案】解：关于x的一元二次方程：有实数解，
且，
解得且．
故m的取值范围是且；
取最大的整数，
，
一元二次方程为，即，
则，
，
方程的解为：，．
 

【解析】利用一元二次方程的定义，根的判别式的意义得到且，然后解不等式即可；
先确定m的最大整数为，则方程化为，然后解方程即可求解．
本题考查了一元二次方程的定义，根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
 

23.【答案】解：设，原方程可变为，解得，，
当时，，
即，解得，；
当时，，即，，方程没有实数解；
所以原方程的根为：，；

设斜边为c，
，b是一个直角三角形两条直角边的长，
，
根据勾股定理得：，
即，
，
，
解得：或舍去．
则直角三角形的斜边长为．
 

【解析】设，原方程可变为，解得，，则原方程转化为和，然后解两个一元二次方程即可；
设斜边为c，根据勾股定理代入方程求解即可．
本题考查了换元法解一元二次方程．解决此题的关键是用换元法解方程要注意验根．
 

24.【答案】解：一元二次方程的两根为，，
，，
；
；
．
 

【解析】根据根与系数的关系得出，，
变形为，整体代入计算可得；
变形为，整体代入计算可得；
变形为，整体代入计算可得．
本题主要考查根与系数的关系，解题的关键是掌握，是方程的两根时，，．
 

25.【答案】证明：，
，
无论m取何值，恒大于0，
原方程总有两个不相等的实数根；
解：，是原方程的两根，
，，
，
，
，
，
，
解得：，，
当时，原方程化为：，
解得：，，
当时，原方程化为：，
解得：，．
 

【解析】本题考查了根与系数的关系、根的判别式．一元二次方程a，b，c为常数的根的判别式当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．
根据关于x的一元二次方程的根的判别式的符号来判定该方程的根的情况；
根据根与系数的关系求得，；然后由已知条件“”可以求得，从而列出关于m的方程，通过解该方程即可求得m的值；最后将m值代入原方程并解方程．