初中数学1 二次函数优秀一课一练

2.1二次函数同步练习北师大版初中数学九年级下册

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）

1. 下列函数是二次函数的是   

A.  B.
C.  D.

2. 对于关于x的函数，下列说法错误的是   

A. 当时，该函数为正比例函数
B. 当时，该函数为一次函数
C. 当该函数为二次函数时，或
D. 当该函数为二次函数时，

3. 若函数是常数是二次函数，则   

A.  B.  C.  D.

4. 下列函数是二次函数的是   

A.  B.
C.  D.

5. 二次函数yxx的一次项系数是

A. 1 B.  C. 2 D.

6. 下列函数中是二次函数的是   

A.  B.
C.  D.

7. 某种品牌的服装进价为每件150元，当售价为每件210元时，每天可卖出20件，现需降价处理，且经市场调查：每件服装每降价2元，每天可多卖出1件．在确保盈利的前提下，若设每件服装降价x元，每天售出服装的利润为y元，则y与x的函数关系式为．

A.
B.
C.
D.

8. 已知函数：；；；；，其中二次函数的个数为  

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

9. 关于函数，下列说法不正确的是

A. y是x的二次函数 B. 二次项系数是
C. 一次项是100 D. 常数项是20000

10. 下列函数中，是二次函数的是

A.  B.  C.  D.

11. 下列函数是二次函数的是

A.  B.  C.  D.

12. 下列函数中，是二次函数的是

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）

13. 若函数是关于x的二次函数，则a的值为          ．
14. 已知是关于x的二次函数，那么m的值为          ．
15. 若是关于x的二次函数，则          ．
16. 已知两个变量x，y之间的关系式为．

当          时，x，y之间是二次函数关系．

当          时，x，y之间是一次函数关系．

三、解答题（本大题共9小题，共72.0分）

17. 已知函数．

当a为何值时，y为x的二次函数

当a为何值时，y为x的一次函数






 

18. 如图，矩形OABC的两边在坐标轴上，连接AC，抛物线经过A，B两点．

求A点坐标及线段AB的长；

若点P由点A出发以每秒1个单位的速度沿AB边向点B移动，1秒后点Q也由点A出发以每秒7个单位的速度沿AO，OC，CB边向点B移动，当其中一个点到达终点时另一个点也停止移动，点P的移动时间为t秒．

当时，求t的值；

当时，对于抛物线对称轴上一点H，，求点H的纵坐标的取值范围．






 

19. 已知抛物线与y轴的交点为A，点A与点B关于抛物线的对称轴对称，二次函数的y与x的部分对应值如下表：

抛物线的对称轴是_________ 点______，____，_____，_____；

求二次函数的解析式；

已知点在抛物线上，设的面积为S，求S与m的函数关系式、画出函数图象．并利用函数图象说明S是否存在最大值，为什么？






 

20. 已知函数．

当m为何值时，这个函数是关于x的一次函数；

当m为何值时，这个函数是关于x的二次函数．






 

21. 已知是y关于x的二次函数，试确定m的值．
    
    
    
    
    
    
     
22. 已知函数是二次函数，求m的取值范围．
    
    
    
    
    
    
     
23. 已知关于x的函数．

当m为何值时，y是x的二次函数；

当m为何值时，y是x的一次函数；






 

24. 如图，王强在一次高尔夫球的练习中，在某处击球，其飞行路线满足抛物线，其中是球的飞行高度，是球飞出的水平距离，结果球离球洞的水平距离还有2m．

请写出抛物线的开口方向、顶点坐标、对称轴．

请求出球飞行的最大水平距离．

若王强再一次从此处击球，要想让球飞行的最大高度不变且球刚好进洞，则球飞行路线应满足怎样的抛物线，求出其解析式






 

25. 如图，点A在x轴上，，将线段OA绕点O顺时针旋转至OB的位置．

求点B的坐标；

求经过点、B的抛物线的解析式；

在此抛物线的对称轴上，是否存在点P，使得以点P、O、B为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由．

答案和解析

1.【答案】A
 

【解析】

【分析】
本题考查了二次函数的定义：一般地，形如、b、c是常数，的函数，叫做二次函数．其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．
根据二次函数的定义对各选项进行判断即可．
【解答】
解：A、是二次函数，此选项正确；
B、，当是不是二次函数，此选项错误；
C、，自变量在分母中，不是二次函数，此选项错误；
D、自变量在分母中，不是二次函数，此选项错误；
故选：A．  

2.【答案】C
 

【解析】

【分析】
本题考查了正比例函数的概念、一次函数以及二次函数的概念 根据正比例函数的概念、一次函数的概念以及二次函数的概念，结合各选项分析即可 
【解答】
解：当时，该函数为，是正比例函数，A选项说法正确，故此选项不符合题意；
B.当时，，该函数为，是一次函数，B选项说法正确，故此选项不符合题意；
C.当该函数为二次函数时，且，解得，C选项说法错误，故此选项符合题意；
D.当该函数为二次函数时，且，即，D选项说法正确，故此选项不符合题意．
故选C．  

3.【答案】B
 

【解析】略
 

4.【答案】C
 

【解析】略
 

5.【答案】A
 

【解析】

【分析】

把已知函数解析式转化为一般式，判断即可；

【详解】

，

二次函数yxx的一次项系数是1．

故选：A．

【点睛】

本题主要考查了二次函数的一般形式，准确分析判断是解题的关键．

6.【答案】D
 

【解析】

【分析】
本题考查二次函数的定义有关知识，形如的关系式称为二次函数，根据此定义即可判断．
【解答】
解：二次函数的一般式是：，其中，
A.最高次数项为1次，故A错误；
B.最高次数项为3次，故B错误；
C.，故C错误；
故选D．  

7.【答案】A
 

【解析】

【分析】
此题主要考查了根据实际问题列二次函数解析式，表示出销量与每件服装的利润是解决问题的关键，
设每件服装降价x元，那么每件利润为，所以可以卖出 件，然后根据盈利为y元即可列出函数关系式解决问题．
【解答】
解：设每件服装降价x元，每天售出服装的利润为y元，由题意得：
，
 ．
故选A．  

8.【答案】B
 

【解析】

【分析】

根据二次函数的定义，对选项分别进行判断，即可得到答案．

【详解】

解：是一次函数，故错误；

是二次函数，故正确；

不是二次函数，故错误；

是二次函数，故正确；

不一定是二次函数，故错误；

故选：B．

【点睛】

本题考查了二次函数的定义．熟记二次函数的一般形式是解题的关键．

9.【答案】C
 

【解析】

【分析】
本题考查了二次函数的定义，将其化成二次函数的一般式是解题关键．一般地，形如、b、c是常数，的函数，叫做二次函数．其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．
根据二次函数的定义即可解答．
【解答】
解：原函数展开整理得，
是x的二次函数，故A正确；
二次项系数是，故B正确；
一次项是100x，故C错误；
常数项是20000，故D正确．
故选C．  

10.【答案】A
 

【解析】

【分析】
此题考查了二次函数的定义，熟练掌握二次函数定义是解本题的关键．利用二次函数定义判断即可．
【解答】
解：，是二次函数，故此选项正确；
B.，是一次函数，故此选项错误；
C.，是反比例函数，故此选项错误；
D.，右边代数式非整式，不是二次函数，不合题意．
故选：A．  

11.【答案】C
 

【解析】解：A、该函数是一次函数，故本选项不符合题意；
B、该函数是反比例函数，故本选项不符合题意；
C、该函数是二次函数，故本选项符合题意；
D、该函数不是函数，故本选项不符合题意．
故选：C．
根据二次函数的定义判断即可．
此题主要考查了二次函数定义，关键是掌握形如、b、c是常数，的函数，叫做二次函数．
 

12.【答案】C
 

【解析】解：A、是一次函数，故此选项不合题意；
B、是反比例函数，故此选项不合题意；
C、是二次函数，故此选项符合题意；
D、是正比例函数，故此选项不合题意；
故选：C．
利用二次函数的定义进行解答即可．
此题主要考查了二次函数的定义，关键是掌握判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数不为0这个关键条件．
 

13.【答案】1
 

【解析】解：由题意得且，解得．
 

14.【答案】2
 

【解析】略
 

15.【答案】3
 

【解析】略
 

16.【答案】

且

【解析】略
 

17.【答案】解：根据题意得且，

解得，即当a为2时，y是x的二次函数．

当且，即时，y是x的一次函数

当且时，y是x的一次函数，解得

当且时，y是x的一次函数，解得．

综上，当a为或或时，y是x的一次函数．

【解析】见答案
 

18.【答案】，或
 

【解析】【解析】

解：由抛物线知：当时，，．

四边形OABC是矩形，轴，即A、B的纵坐标相同．

当时，，解得．

．

由题意知：A点移动路程为，Q点移动路程为．

当Q点在OA上时，即，时，

如图1，若，

则有∽．

，即，解得．

，此时t值不合题意．

当Q点在OC上时，即，时，

如图2，过Q点作．

．

．

若，则有∽，

，即，解得．

，符合题意．

当Q点在BC上时，即，时，

如图3，若，过Q点作，

则，即．

，这与的内角和为矛盾，

此时PQ不与AC垂直．

综上所述，当时，有．

当时，如图4，

∽，，

，解得．

即当时，此时，．

，．

抛物线对称轴的解析式为，

当为对称轴与OP的交点时，有，

当时，．

作P点关于OQ的对称点，连接交OQ于点M，过作垂直于对称轴，垂足为N，连接，

在中，，，

，

．

∽．

，即，解得，．

直线的解析式为．

与NP的交点

当时，．

综上所述，当或时，．

已知抛物线的解析式，将代入即可得A点坐标；由于四边形OABC是矩形，那么A、B纵坐标相同，代入该纵坐标可求出B点坐标，则AB长可求．

点的位置可分：在OA上、在OC上、在CB上三段来分析，若时，很显然前两种情况符合要求，首先确定这三段上t的取值范围，然后通过相似三角形或构建相似三角形，利用比例线段来求出t的值，然后由t的取值范围将不合题意的值舍去．

当时，∽，通过比例线段求出t的值以及P、Q点的坐标，可判定P点在抛物线的对称轴上，若P、重合，此时有若作P点关于OQ的对称点，与NP的交点，亦可得到，而题目要求的是，那么点以下、点以上的H点都是符合要求的．

19.【答案】，，；

；

S不存在最大值，从图象可知：当或时，S的值可以无限大．

【解析】【解析】

试题分析：利用当和3时，，得出抛物线的对称轴是直线，再利用时，，则点，即可得出B点坐标；

根据图象过，则设抛物线为，把代入可得出a的值，进而得出解析式；

当时，点M到AB的距离为，当或时，点M到直线AB的距离为，利用三角形面积得出S与m的函数关系式，利用图象得出S是否存在最大值．

试题解析：根据当和3时，，得出抛物线的对称轴是：直线，

抛物线与y轴的交点为A，

时，，则点，故B；

图象过，，

设抛物线为，

把代入可得：，

解得：，

故二次函数的解析式为：；

如图1，

轴，，

当时，点M到AB的距离为，

，

又，，

当或时，点M到直线AB的距离为，，

而，，

故函数图象如图轴上方部分所示，S不存在最大值，从图象可知：当或时，S的值可以无限大．

考点：二次函数的图象；二次函数的性质；二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式．

20.【答案】；且．
 

【解析】根据一次函数的定义列出不等式组，然后求解即可；

根据一次函数的定义列出不等式，然后求解即可．

【详解】

解：函数是一次函数，

，解得：．

即当时，这个函数是关于x的一次函数．

函数是二次函数，

，解得：且．

即当且时，这个函数是关于x的二次函数．

【点睛】

本题考查了一次函数和二次函数的定义，掌握一次函数的一次项系数不能为0成为解答本题的关键．

21.【答案】
 

【解析】根据二次函数的定义：最高次数是2，二次项系数不能是0，求出m的值．

【详解】

解：根据题意得，，解得，，

，即，

．

【点睛】

本题考查二次函数的定义，解题的关键是二次函数的定义．

22.【答案】m的取值范围是且．
 

【解析】根据二次函数的定义列不等式即可解题．

【详解】

解：由函数是二次函数可得，

即，

得到m的取值范围是且．

【点睛】

本题考查了二次函数的性质，属于简单题，熟悉二次函数的性质是解题关键．

23.【答案】当或时，函数，是一次函数
 

【解析】根据二次函数的定义得到得且，然后解不等式和方程即可得到满足条件的m的值；
根据一次函数的定义分类讨论：当且时，y是x的一次函数；当且且时，y是x的一次函数；当且，时，y是x的一次函数，然后分别解方程或不等式即可．

【详解】

解：函数，是二次函数， 

；

函数，是一次函数， 

解得：，

 ，

，

无解，

当或时，函数，是一次函数．

【点睛】

本题考查二次函数的定义：一般地，形如、b、c是常数，的函数，叫做二次函数．其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．、b、c是常数，也叫做二次函数的一般形式．也考查了一次函数的定义．

24.【答案】解：

抛物线开口向下，顶点为，对称轴为x．

令y，得

解得x，x球飞行的最大水平距离是8m．

要让球刚好进洞而飞行最大高度不变，则球飞行的最大水平距离为10m．

抛物线的对称轴为x，顶点为

设此时对应的抛物线解析式为

又点在此抛物线上，

，即

【解析】【解析】

试题分析：根据函数的顶点坐标求法求出函数的顶点坐标和对称轴；当时，求出x的值，从而得出答案；根据题意得出函数的顶点坐标，然后将函数解析式设成顶点式，将代入求出函数解析式．

试题解析：抛物线开口向下，顶点为，，对称轴为．

令，得

解得，球飞行的最大水平距离是8m．

要让球刚好进洞而飞行最大高度不变，则球飞行的最大水平距离为10m．

抛物线的对称轴为，顶点为设此时对应的抛物线解析式为，

又点在此抛物线上，

考点：二次函数的应用

25.【答案】点B的坐标为

此抛物线的解析式为．

存在．点P的坐标为

【解析】

【分析】

首先根据OA的旋转条件确定B点位置，然后过B做x轴的垂线，通过构建直角三角形和OB的长即OA长确定B点的坐标．

已知O、A、B三点坐标，利用待定系数法求出抛物线的解析式．

根据的抛物线解析式，可得到抛物线的对称轴，然后先设出P点的坐标，而O、B坐标已知，可先表示出三边的边长表达式，然后分、、三种情况分类讨论，然后分辨是否存在符合条件的P点．

【详解】

解：如图，过B点作轴，垂足为C，则．

，．

又，

，．

点B的坐标为

抛物线过原点O和点，

可设抛物线解析式为，将，代入，

得，解得．

此抛物线的解析式为．

存在．

如图，抛物线的对称轴是，直线与x轴的交点为D，

设点P的坐标为．

若，则，解得，

当时，

在中，，，

，即P、O、B三点在同一直线上．

不符合题意，舍去．

点P的坐标为

若，则，解得．

点P的坐标为

若，则，解得．

点P的坐标为

综上所述，符合条件的点P只有一个，其坐标为

【点睛】

此题融合了函数解析式的确定、等腰三角形的判定等知识，综合程度较高，但属于二次函数综合题型中的常见考查形式，没有经过分类讨论而造成漏解是此类题目中易错的地方．