初中北师大版3 确定二次函数的表达式优秀课堂检测

2.3确定二次函数表达式同步练习北师大版初中数学九年级下册

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）

1. 已知某一抛物线与二次函数的图象的开口大小相同，开口方向相同，且顶点坐标为，则该抛物线对应的函数表达式为   

A.  B.
C.  D.

2. 如图是某二次函数的图象，根据图象可知，该二次函数的解析式是    

A.
B.
C.
D.
 

3. 如图，抛物线与交于点，过点A作x轴的平行线，分别交两条抛物线于点B，则以下结论：无论x取何值，的值总是正数当时，其中正确结论是

A.
B.
C.
D.

4. 将二次函数的右边进行配方，正确的结果是

A.  B.
C.  D.

5. 二次函数a，b，c为常数的部分对应值列表如下：

则代数式的值为   

A.  B. 5 C.  D.

6. 已知抛物线的顶点坐标为，则抛物线对应的函数解析式为

A.  B.
C.  D.

7. 如图，二次函数的图像经过点，与y轴交于点B，C、D分别为x轴、直线上的动点，当四边形ABCD的周长最小时，CD所在直线对应的函数表达式是

A.
B.
C.
D.

8. 若抛物线经过点，则抛物线顶点到坐标原点的距离为    

A.  B.  C.  D.

9. 如图，抛物线的函数表达式是

A.
B.
C.
D.
 

10. 将二次函数化为的形式，结果为

A.  B.
C.  D.

11. 如图，边长为2的等边三角形ABC放置在平面直角坐标系中，且轴，那么经过A、B、C三点的抛物线的解析式为

A.
B.
C.
D.

12. 将二次函数用配方法化成的形式，下列所配方的结果中正确的是

A.  B.
C.  D.

二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）

13. 把二次函数化成形如的形式是          ．
14. 抛物线的顶点坐标为          ．
15. 二次函数的图象过，，三点，则此二次函数的解析式是          ．
16. 如图，二次函数的图象经过点，，那么关于x的一元二次方程的根是          ．
    
    
    
     

三、解答题（本大题共9小题，共72.0分）

17. 如图，在中，，点D的坐标是，以点C为顶点的抛物线经过x轴上的点A，B．
    
    求点A，B，C的坐标
    若抛物线向上平移后恰好经过点D，求平移后抛物线的解析式．
    
    
    
    
    
    
     
18. 已知二次函数与一次函数的图象相交于A、B两点，如图所示，其中，求的面积．
    
    
    
     

19. 如图，二次函数的图象与y轴交于点C，点B在抛物线上，且与点C关于抛物线的对称轴对称，已知一次函数的图象经过该二次函数图象上的点及点B．
    
    求二次函数与一次函数的解析式
    在对称轴上求作一点P，使最小，并求点P的坐标．
    
    
    
    
    
    
     
20. 求符合下列条件的抛物线对应的函数解析式：

抛物线过点

抛物线与的开口大小相同，开口方向相反，且顶点为．






 

21. 如图，一次函数的图象与二次函数的图象交于点和，与y轴交于点C．
     

求k，b，a的值

求的面积．






 

22. 如图，已知抛物线与x轴负半轴交于点A，与y轴交于点B，若，，抛物线的对称轴为直线．
    
     

求抛物线的解析式．

在抛物线的对称轴上，是否存在点P，使它到点A的距离与到点B的距离之和最小如果存在，请求出点P的坐标如果不存在，请说明理由．






 

23. 如图所示，已知二次函数的图象经过点A和点B．
     

求该二次函数的表达式

写出该二次函数图象的对称轴及顶点坐标

点与点Q均在该函数图象上其中，且这两点关于函数图象的对称轴对称，求m的值及点Q到x轴的距离．






 

24. 已知抛物线，直线，抛物线C的对称轴与直线l交于点，点A与抛物线C的顶点B的距离是4．

求抛物线C的解析式

若随着x的增大而增大，且抛物线C与直线l都经过x轴上的同一点，求直线l的解析式．






 

25. 如图，抛物线经过点和点，且这个抛物线的对称轴为直线l，顶点为C．
     

求抛物线的解析式

连接AB，AC，BC，求的面积．

答案和解析

1.【答案】D
 

【解析】解：某一抛物线的顶点坐标为，
设该抛物线的解析式为，
抛物线与二次函数的图象的开口大小相同，开口方向相同，
，
该抛物线的解析式为．
 

2.【答案】D
 

【解析】略
 

3.【答案】D
 

【解析】

【分析】本题考查二次函数的性质，二次函数图像上点的坐标特征，点的系数法求二次函数的解析式，根据与的图象在x轴上方即可得出的取值范围；把代入抛物线即可得出a的值；由抛物线与y轴的交点求出，的值；根据两函数的解析式直接得出AB与AC的关系即可．

【解答】

解：因为，开口向上，顶点坐标为，所以无论x取何值，的值总是正数，故正确
因为点在抛物线上，所以，解得，故错误
当时，，故错误
因为点A的坐标为，A，B两点关于直线对称，所以点B的坐标为．
又A，C两点关于直线对称，所以点C的坐标为．
所以，所以，故正确．

4.【答案】C
 

【解析】解：提出二次项系数得，，
配方得，，
即．
故选：C．
先提出二次项系数，再加上一次项系数一半的平方，即得出顶点式的形式．
本题考查了二次函数的三种形式，一般式：，顶点式：；两根式：
 

5.【答案】A
 

【解析】【答案】
本题考查二次函数解析式的求法，代数式求值；熟练掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键．
将表中的三组x，y值代入表达式即可求得a，b，c的值，再将求得的a，b，c的值代入代数式求解即可；
【解析】
解：将，；，；，代入，
得到

；
故选A．
 

6.【答案】B
 

【解析】解：A、，顶点坐标为，不合题意；
B、，顶点坐标为，符合题意；
C、，顶点坐标为，不合题意；
D、，顶点坐标为，不合题意．
故选：B．
利用配方法把二次函数化为顶点式，得出顶点坐标，比较得出答案即可．
本题考查二次函数的解析式，利用配方法化为顶点式，求得顶点坐标是解决问题的关键．
 

7.【答案】D
 

【解析】

【分析】
本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征以及利用轴对称解决最短路线问题．
四边形ABCD的周长，由于AB长度固定，故只需的长度最短即可满足题意．分别作点A关于对称轴的对称点E，点B关于x轴的对称点F，连接EF交x轴于点C，交对称轴于点D，此时四边形ABCD的周长取得最小值，再利用待定系数法求得抛物线解析式即可知点F坐标，从而求解可得．
【解答】
解：作点A关于对称轴的对称点E，则，作点B关于x轴的对称点F，
连接EF交x轴于点C，交对称轴于点D，此时四边形ABCD的周长取得最小值，

将点代入得，
解得，
抛物线解析式为，
点B坐标为，
则点，
设CD所在直线解析式为，
将，代入得
解得
所以CD所在直线解析式为．
故选：D．  

8.【答案】B
 

【解析】

【分析】
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，先求解析式，再求顶点坐标，最后求距离．由抛物线经过点，求得a的值，再求出函数顶点坐标，求得顶点到坐标原点的距离．

【解答】
解：由于抛物线经过点，
则，，
抛物线，变形，得：，
则顶点坐标，
抛物线顶点到坐标原点的距离．
故选B．

9.【答案】A
 

【解析】解：根据题意，设二次函数的表达式为，
抛物线过，，，
所以，
解得，，，
这个二次函数的表达式为．
故选：A．
根据题意，把抛物线经过的三点代入函数的表达式，列出方程组，解出各系数则可．
本题考查了用待定系数法求函数表达式的方法，同时还考查了方程组的解法等知识，是比较常见的题目．
 

10.【答案】D
 

【解析】

【分析】
此题考查了二次函数的三种形式，配方法的应用，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．利用完全平方公式计算即可求出所求．
【解答】解：．
故选：D．  

11.【答案】C
 

【解析】

【分析】此题考查的是坐标与图形的性质，然后用待定系数法确定二次函数解析式，先根据等边三角形的边长结合勾股定理求出三个顶点的坐标，再利用待定系数法求出二次函数解析式即可．
【解答】解：依题意得，，．
易知C点为所求抛物线的顶点，则设抛物线的解析式为，
把，代入，得，
抛物线的解析式为．
故选C．  

12.【答案】B
 

【解析】解：，
故选：B．
运用配方法把一般式化为顶点式即可．
本题考查的是二次函数的三种形式，正确运用配方法把一般式化为顶点式是解题的关键．
 

13.【答案】
 

【解析】略
 

14.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查由抛物线的顶点式写出抛物线顶点的坐标，比较容易．
已知抛物线顶点式，顶点坐标是．

【解答】
解：抛物线是顶点式，
顶点坐标是．
故答案为：．  

15.【答案】
 

【解析】解： 二次函数的图象经过，，

该二次函数的解析式为，
将代入，得，解得，
则抛物线的解析式为．

16.【答案】，
 

【解析】

【分析】
本题主要考查了抛物线与x轴的交点，解题的关键是求出a，b的值．把，代入求出a，b的值，再代入解方程即可．
【解答】
解：把，代入
得
解得
代入
得，，
解得，．
故答案为：，．  

17.【答案】解：在▱ABCD中，，且，
点C的坐标为．
设抛物线的对称轴与x轴相交于点H，则， 
点A，B的坐标为，．

抛物线的解析式为，
把的坐标代入解析式中，解得，
设平移后抛物线的解析式为，
把点的坐标代入平移后的解析式，得．
 平移后抛物线的解析式为．

【解析】见答案
 

18.【答案】解：一次函数的图象过点，
，解得，
一次函数表达式为，
令，得，
，
，
的图象过点，
，解得，
二次函数的表达式为，

由一次函数与二次函数联立可得解得

，
的横坐标点B的横坐标．

【解析】见答案
 

19.【答案】解：把点的坐标代入中，得，
．
点C的坐标是．
对称轴是直线，点B与点C关于抛物线的对称轴对称，
，
把，的坐标代入，得
解得
，
二次函数的解析式是，一次函数的解析式是．
由题意可知点B和点C关于直线对称，故直线AB与直线的交点即为点P，
当时，，点P的坐标是．
 

【解析】见答案
 

20.【答案】解：将点的坐标代入，得，

解得．

；

抛物线与的开口大小相同，开口方向相反，

．

将点的坐标代入，得．

．

【解析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．
把代入解析式求出a即可；
根据二次函数的性质易得，，从而得到抛物线解析式．
 

21.【答案】解：把点的坐标代入 中，得，

．

二次函数是．

把点的坐标代入中，得，

，
把和的坐标代入中，

得解得

，，．

令中，则，
．
．

 ，

，

．

【解析】见答案
 

22.【答案】解：根据题意，得点A的坐标为，点B的坐标为，
又抛物线的对称轴为直线，
，
解得
故抛物线的解析式是
存在，
如图，设抛物线与x轴的另一个交点是C，由抛物线的对称性可知点A与点C关于抛物线的对称轴对称，连接BC，则BC与对称轴的交点即为点P，
点A的坐标为，抛物线的对称轴为直线，
点C的坐标为．
设直线BC的解析式是，将点的坐标代入，得，
解得，
直线BC的解析式是，
当时，，
点P的坐标为．

【解析】此题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求二次函数解析式，轴对称最短路线问题．
先根据题意得到点A，点B的坐标，根据抛物线的对称轴为直线，得到，求出a，b，c，即可得到抛物线的解析式；
设抛物线与x轴的另一个交点是C，由抛物线的对称性可知点A与点C关于抛物线的对称轴对称，连接BC，则BC与对称轴的交点即为点P，根据点A的坐标为，抛物线的对称轴为直线，得到点C的坐标，设直线BC的解析式是，将点的坐标代入求出k，得到直线BC的解析式，即可得到点P的坐标．
 

23.【答案】解：将，分别代入，
得
解得
该二次函数的表达式为．
，
该二次函数图象的对称轴为直线，顶点坐标为．
将代入，得，
解得，，
，
，
．
点P与点Q关于直线对称，
点Q到x轴的距离为6．
 

【解析】见答案．
 

24.【答案】解：抛物线的对称轴与直线交于点，点A与抛物线C的顶点B的距离是4，

或，

或，

即抛物线C的解析式为或．

当时，抛物线C与x轴的交点坐标是和．

随着x的增大而增大，

直线l过点，，将这两个点的坐标分别代入，得

解得

．

当时，抛物线C与x轴的交点坐标是和同理可得直线l过点，，将这两个点的坐标分别代入，得

解得

．

综上所述，直线l的解析式为或．

【解析】根据题目条件，易得抛物线C的顶点B的坐标，然后利用顶点式求其解析式．
 

25.【答案】解：抛物线经过点，，

解得

抛物线的解析式为．

由知抛物线的对称轴为直线把代入得，

则点C的坐标为．

设直线AB的解析式为．

将，的坐标代入，可求得，，

直线AB的解析式为．

如图，设抛物线的对称轴l与直线AB的交点D的坐标为，

将点的坐标代入，得，

点D的坐标为，

．

过点B作于点F．

．

．

．

【解析】见答案