2020-2021学年浙江省杭州之江高级中学高一（上）期末数学试练习题

这是一份2020-2021学年浙江省杭州之江高级中学高一（上）期末数学试练习题，共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2020-2021学年浙江省杭州之江高级中学高一（上）期末数学试卷
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（4分）已知集合A＝{﹣2，﹣1，0，1}，B＝{1，2，﹣2}，则A∩B＝（　　）
A．{﹣1，2} B．{﹣2，﹣1，0，1，2}
C．{1，﹣2} D．∅
2．（4分）＝（　　）
A． B． C．﹣1 D．1
3．（4分）命题“∀x∈R，x2﹣x+1＞0”的否定是（　　）
A．∀x0∈R，x02﹣x0+1＜0 B．∀x0∈R，x02﹣x0+1≤0
C．∃x0R，x02﹣x0+1＜0 D．∃x0∈R，x02﹣x0+1≤0
4．（4分）下列哪组中的两个函数是同一函数（　　）
A．与y＝x B．y＝x0与y＝1
C．与y＝x+1 D．与y＝|x|
5．（4分）设a，b∈R，则“a＞|b|”是“a＞b”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6．（4分）设a＞1＞b＞﹣1，则下列不等式中恒成立的是（　　）
A． B． C．a＞b2 D．a2＞2b
7．（4分）若函数y＝x2﹣4x﹣2的定义域为[0，m]，值域为[﹣6，﹣2]，则m的取值范围是（　　）
A．（0，2] B．（0，4] C．[2，4] D．（2，4）
8．（4分）已知正实数x，y满足x+y＝2，则的最小值是（　　）
A． B． C．2 D．
9．（4分）已知定义在[﹣1，1]上的偶函数f（x）在[0，1]上为减函数，且，则实数x的取值范围是（　　）
A． B．
C． D．
10．（4分）有下列叙述，
①函数y＝tanx的对称中心是（kπ，0）；
②若函数f（x）＝2sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）对于任意x∈R都有成立，则；
③函数f（x）＝x﹣sinx在R上有且只有一个零点；
④已知定义在R上的函数，当且仅当（k∈Z）时，f（x）＞0成立．
则其中正确的叙述有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题：本大题共7小题，多空题每小题6分，单空题每小题6分，共36分。
11．（6分）已知角α的顶点为坐标原点，以x轴的非负半轴为始边，它的终边过点，则sinα＝　 　，cosα＝　 　．
12．（6分）已知函数，则f（1）＝　 　，函数y＝f（x）的定义域为 　 　．
13．（6分）函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A，ω，φ是常数，A＞0，ω＞0）的部分图象如图，则A＝　 　，ω＝　 　．

14．（6分）已知锐角α，β满足，tanβ＝3，则tan（α+β）＝　 　，α+β＝　 　．
15．（4分）已知lga+b＝3，ab＝100，则alg2•b＝　 　．
16．（4分）化简＝　 　．
17．（4分）若不等式x2+mx+m≥0在x∈[1，2]上恒成立，则实数m的最小值为　 　．
三、解答题：本大题共5小题，共74分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
18．（15分）已知sinα+2cosα＝．
（Ⅰ）求tanα的值；
（Ⅱ）求的值．
19．（14分）为了预防某流感病毒，某学校对教室进行药熏消毒，室内每立方米空气中的含药量y（单位：毫克）随时间x（单位：h）的变化情况如图所示，在药物释放的过程中，y与x成正比：药物释放完毕后，y与x的函数关系式为（a为常数），根据图中提供的信息，回答下列问题：
（1）写出从药物释放开始，y与x之间的函数关系式．
（2）据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室学习，那么从药物释放开始，至少需要经过多少小时后，学生才能回到教室？

20．（15分）已知函数f（x）＝x+sinx•cosx．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）求函数f（x）在[0，π]的单调递增区间．
21．（15分）已知函数f（x）＝log2（4x+a•2x+a+1），x∈R．
（Ⅰ）若a＝1，求方程f（x）＝3的解集；
（Ⅱ）若方程f（x）＝x有两个不同的实数根，求实数a的取值范围．
22．（15分）已知f（x）＝ax2+bx+c（a≠0），满足条件f（x+1）﹣f（x）＝2x（x∈R），且f（0）＝1．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）设g（x）＝mx﹣3，已知当x∈[，3]时，函数y＝g（x）的图象与y＝f（2x）的图象有且只有一个公共点，求m的取值范围．

2020-2021学年浙江省杭州之江高级中学高一（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（4分）已知集合A＝{﹣2，﹣1，0，1}，B＝{1，2，﹣2}，则A∩B＝（　　）
A．{﹣1，2} B．{﹣2，﹣1，0，1，2}
C．{1，﹣2} D．∅
【分析】进行交集的运算即可．
【解答】解：∵A＝{﹣2，﹣1，0，1}，B＝{1，2，﹣2}，
∴A∩B＝{﹣2，1}．
故选：C．
【点评】本题考查了列举法的定义，交集的定义及运算，考查了计算能力，属于基础题．
2．（4分）＝（　　）
A． B． C．﹣1 D．1
【分析】由已知利用诱导公式，特殊角的三角函数值即可求解．
【解答】解：＝tan（π+）＝tan＝1．
故选：D．
【点评】本题主要考查了诱导公式，特殊角的三角函数值在三角函数化简求值中的应用，属于基础题．
3．（4分）命题“∀x∈R，x2﹣x+1＞0”的否定是（　　）
A．∀x0∈R，x02﹣x0+1＜0 B．∀x0∈R，x02﹣x0+1≤0
C．∃x0R，x02﹣x0+1＜0 D．∃x0∈R，x02﹣x0+1≤0
【分析】直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可．
【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题“∀x∈R，x2﹣x+1＞0”的否定是：∃x0∈R，x02﹣x0+1≤0．
故选：D．
【点评】本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，基本知识的考查．
4．（4分）下列哪组中的两个函数是同一函数（　　）
A．与y＝x B．y＝x0与y＝1
C．与y＝x+1 D．与y＝|x|
【分析】根据两个函数的定义域相同，对应关系也相同，即可判定它们是同一个函数．
【解答】解：对于A，y＝＝x，x∈[0，+∞），与y＝x，x∈R的定义域不同，不是同一函数；
对于B，y＝x0＝1，x≠0，与y＝1，x∈R的定义域不同，不是同一函数；
对于C，y＝＝x+1，x≠1，与y＝x+1，x∈R的定义域不同，不是同一函数；
对于D，y＝＝|x|，x∈R，与y＝|x|，x∈R的定义域相同，对应关系也相同，是同一函数．
故选：D．
【点评】本题考查了判断两个函数是否为同一函数的应用问题，是基础题．
5．（4分）设a，b∈R，则“a＞|b|”是“a＞b”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【分析】由“a＞|b|”可得“a＞b“，反之不成立．即可判断出关系．
【解答】解：“a＞|b|”⇒“a＞b“，反之不成立．
∴“a＞|b|”是“a＞b“的充分不必要条件．
故选：A．
【点评】本题考查了不等式的基本性质、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
6．（4分）设a＞1＞b＞﹣1，则下列不等式中恒成立的是（　　）
A． B． C．a＞b2 D．a2＞2b
【分析】通过举反例说明选项A，B，D错误，通过不等式的性质判断出C正确．
【解答】解：对于A，例如a＝2，b＝此时满足a＞1＞b＞﹣1但故A错
对于B，例如a＝2，b＝此时满足a＞1＞b＞﹣1但故B错
对于C，∵﹣1＜b＜1∴0≤b2＜1∵a＞1∴a＞b2故C正确
对于D，例如a＝ 此时满足a＞1＞b＞﹣1，a2＜2b故D错
故选：C．
【点评】想说明一个命题是假命题，常用举反例的方法加以论证．
7．（4分）若函数y＝x2﹣4x﹣2的定义域为[0，m]，值域为[﹣6，﹣2]，则m的取值范围是（　　）
A．（0，2] B．（0，4] C．[2，4] D．（2，4）
【分析】由已知函数的解析式，我们可以判断出函数图象的形状及最值，根据函数y＝x2﹣4x﹣2的定义域为[0，m]，值域为[﹣6，﹣2]，易结合二次函数的图象和性质得到答案．
【解答】解：∵函数y＝x2﹣4x﹣2的图象是开口方向朝上，以直线x＝2为对称轴的抛物线；
且f（0）＝f（4）＝﹣2，f（2）＝﹣6
若定义域为[0，m]，值域为[﹣6，﹣2]，
则2≤m≤4
故选：C．
【点评】本题考查的知识点是二次函数的性质，其中根据已知条件确定二次函数的图象和性质，是解答本题的关键．
8．（4分）已知正实数x，y满足x+y＝2，则的最小值是（　　）
A． B． C．2 D．
【分析】利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．
【解答】解：因为正实数x，y满足x+y＝2，
则＝（）＝≥＝，
当且仅当且x+y＝2即y＝，x＝时的最小值．
故选：B．
【点评】本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，解题的关键是应用条件的配凑．
9．（4分）已知定义在[﹣1，1]上的偶函数f（x）在[0，1]上为减函数，且，则实数x的取值范围是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据函数奇偶性和单调性之间的关系，即可得到结论．
【解答】解：定义在[﹣1，1]上的偶函数f（x）在[0，1]上为减函数，
所以f（x）在[﹣1，0]上单调递增，
由可得|x﹣1|，且﹣1≤x﹣1≤1，
解得，0或．
故选：B．
【点评】本题主要考查不等式的解法，利用函数的奇偶性和单调性之间的关系是解决本题的关键，综合考查函数性质的应用．
10．（4分）有下列叙述，
①函数y＝tanx的对称中心是（kπ，0）；
②若函数f（x）＝2sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）对于任意x∈R都有成立，则；
③函数f（x）＝x﹣sinx在R上有且只有一个零点；
④已知定义在R上的函数，当且仅当（k∈Z）时，f（x）＞0成立．
则其中正确的叙述有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】由正切函数的对称性可判断①；由正弦函数的对称轴可判断②；由f（x）的导数判断单调性，结合零点存在定理可判断③；由正弦函数和余弦函数的图象和性质，可判断④．
【解答】解：①，函数y＝tanx的对称中心是（，0），k∈Z，故①错误；
②，若函数f（x）＝2sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）
对于任意x∈R都有成立，可得f（x）的图象关于直线x＝对称，
可得f（）＝±2，故②错误；
③，函数f（x）＝x﹣sinx的导数为f′（x）＝1﹣cosx≥0，可得f（x）在R上递增，又f（0）＝0，
即f（x）在R上有且只有一个零点0，故③正确；
④，已知定义在R上的函数，
当sinx≥cosx，即2kπ≤x≤2kπ+，k∈Z时，f（x）＝sinx；
当sinx＜cosx，即2kπ﹣＜x＜2kπ+，k∈Z时，f（x）＝cosx；
当2kπ≤x≤2kπ+和2kπ﹣＜x＜2kπ，2kπ+＜x＜2kπ+π时，f（x）＞0，
当且仅当（k∈Z）时，f（x）＞0成立．故④正确．
故选：B．
【点评】本题考查三角函数的图象和性质，主要是对称性和函数的零点个数、以及函数值的符号，考查化简变形能力和推理能力，属于中档题．
二、填空题：本大题共7小题，多空题每小题6分，单空题每小题6分，共36分。
11．（6分）已知角α的顶点为坐标原点，以x轴的非负半轴为始边，它的终边过点，则sinα＝　　，cosα＝　　．
【分析】根据三角函数的定义直接进行计算即可．
【解答】解：由三角函数的定义得r＝＝＝1，
则sinα＝＝，cosα＝，
故答案为：，．
【点评】本题主要考查三角函数值的计算，利用三角函数的定义是解决本题的关键．
12．（6分）已知函数，则f（1）＝　2　，函数y＝f（x）的定义域为 　（﹣∞，0）∪（0，5]　．
【分析】根据函数f（x）的解析式求出f（1）的值，再求使解析式有意义的x的取值范围．
【解答】解：函数，
则f（1）＝＝2，
令，
解得x≤5且x≠0，
∴函数y＝f（x）的定义域为（﹣∞，0）∪（0，5]．
故答案为：2，（﹣∞，0）∪（0，5]．
【点评】本题考查了函数的定义域与求函数值的应用问题，是基础题．
13．（6分）函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A，ω，φ是常数，A＞0，ω＞0）的部分图象如图，则A＝　　，ω＝　2　．

【分析】根据函数的图象和性质求出周期和A即可．
【解答】解：由图象知A＝，＝﹣＝，
即T＝π，则T＝＝π，得ω＝2，
即f（x）＝sin（2x+φ），
由f（）＝sin（2×+φ）＝，
得sin（+φ）＝﹣1，
得+φ＝+2kπ，
得φ＝2kπ+，k∈Z，
则f（x）＝sin（2x+），
故答案为：，2．
【点评】本题主要考查三角函数解析式的求解，根据图象求出周期和A是解决本题的关键．
14．（6分）已知锐角α，β满足，tanβ＝3，则tan（α+β）＝　﹣1　，α+β＝　　．
【分析】由题意利用同角三角函数的基本关系求得tanα的值，再利用两角和的正切公式求得tan（α+β）及α+β的值．
【解答】解：锐角α，β满足，∴sinα＝＝，∴tanα＝2．
∵tanβ＝3，则tan（α+β）＝＝﹣1，
∴α+β＝，
故答案为：﹣1；．
【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系、两角和的正切公式，属于基础题．
15．（4分）已知lga+b＝3，ab＝100，则alg2•b＝　4　．
【分析】根据条件即可得出a＝10，b＝2或a＝100，b＝1，从而可求出alg2•b＝4．
【解答】解：lga+b＝3，a＝103﹣b，
又∵ab＝100，∴10（3﹣b）b＝100，
b（3﹣b）＝2，
∴b＝1或2，a＝100或10，
∴alg2•b＝10lg2•2＝2•2＝4或alg2•b＝102lg2•1＝4．
故答案为：4．
【点评】考查对数的定义，以及对数的运算．
16．（4分）化简＝　1　．
【分析】结合同角基本关系及两角差的正弦公式即可化简求值．
【解答】解：＝，
＝＝，
＝．
故答案为：1
【点评】本题主要考查了同角基本关系及两角和与差的三角公式在三角函数化简求值中的应用．
17．（4分）若不等式x2+mx+m≥0在x∈[1，2]上恒成立，则实数m的最小值为　　．
【分析】根据题意，令f（x）＝x2+mx+m，分析可以将不等式x2+mx+m≥0在x∈[1，2]上恒成立转化为二次函数的性质列出不等式组，解可得m的取值范围，即可得答案．
【解答】解：根据题意，令f（x）＝x2+mx+m，
若不等式x2+mx+m≥0在x∈[1，2]上恒成立，
则有△＝m2﹣4m≤0或或，解可得m∈[﹣，4]，
实数m的最小值为：﹣，
故答案为：．
【点评】本题考查二次函数的性质，关键是将x2+mx+m≥0在x∈[1，2]上恒成立转化为二次函数y＝x2+mx+m在x∈[1，2]上的最值问题．
三、解答题：本大题共5小题，共74分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
18．（15分）已知sinα+2cosα＝．
（Ⅰ）求tanα的值；
（Ⅱ）求的值．
【分析】（Ⅰ）利用平方关系与已知条件，通过方程求解tanα的值；
（Ⅱ）化简为正切函数的表达式，然后求解它的值．
【解答】解：（Ⅰ）因为，
所以，
代入sin2α+cos2α＝1可得，
所以，
故，，
所以．
（Ⅱ）因为，
所以．
【点评】本题考查两角和与差的三角函数，三角函数的平方关系的应用，考查计算能力．
19．（14分）为了预防某流感病毒，某学校对教室进行药熏消毒，室内每立方米空气中的含药量y（单位：毫克）随时间x（单位：h）的变化情况如图所示，在药物释放的过程中，y与x成正比：药物释放完毕后，y与x的函数关系式为（a为常数），根据图中提供的信息，回答下列问题：
（1）写出从药物释放开始，y与x之间的函数关系式．
（2）据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室学习，那么从药物释放开始，至少需要经过多少小时后，学生才能回到教室？

【分析】（1）分段求y的解析式，代入特殊点坐标即可；
（2）由题意可知，解得x的范围即可．
【解答】解：（1）依题意，当0≤x≤0.1时，可设y＝kx，且1＝0.1k，
解得k＝10，∴y＝10x，
又由，解得a＝0.1，
所以；
（2）令，解得x＞0.6，
即至少需要经过0.6h后，学生才能回到教室．
【点评】本题主要考查了函数的实际运用，是中档题．
20．（15分）已知函数f（x）＝x+sinx•cosx．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）求函数f（x）在[0，π]的单调递增区间．
【分析】（Ⅰ）利用三角恒等变换化简函数f（x）的解析式，再根据正弦函数的周期性得到f（x）的最小正周期．
（Ⅱ）利用正弦函数的单调性得到f（x）的增区间
【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）＝sin2x+sinxcosx＝•+sin2x＝sin（2x﹣）+的最小正周期为＝π；
（Ⅱ）令2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+，求得kπ﹣≤x≤kπ+，
故函数的增区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈Z．
结合x∈[0，π]，可得增区间为[0，]、[，π]．
【点评】本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的周期性、单调性，属于中档题．
21．（15分）已知函数f（x）＝log2（4x+a•2x+a+1），x∈R．
（Ⅰ）若a＝1，求方程f（x）＝3的解集；
（Ⅱ）若方程f（x）＝x有两个不同的实数根，求实数a的取值范围．
【分析】（Ⅰ）由题意可得，（2x+3）（2x﹣2）＝0，由此求得x的值．
（Ⅱ）由题意可得4x+a•2x+a+1＝2x，有两个不同的实数根，设t＝2x，则 t2+（a﹣1）t+（a+1）＝0在（0，+∞）有两个不同的解，再利用二次函数的性质求得a的范围．
【解答】解：（Ⅰ）当a＝1时，∵，
所以4x+2x+2＝23，∴4x+2x﹣6＝0，即 （2x+3）（2x﹣2）＝0，
解得x＝1，所以解集为{1}．
（Ⅱ）因为方程有两个不同的实数根，
即4x+a•2x+a+1＝2x，有两个不同的实数根，
设t＝2x，则 t2+（a﹣1）t+（a+1）＝0在（0，+∞）有两个不同的解．
令f（t）＝t2+（a﹣1）t+（a+1），由已知可得，
解得，即a的范围为（﹣1，3﹣2）．
【点评】本题主要考查复合函数的单调性，对数函数、二次函数的性质，属于中档题．
22．（15分）已知f（x）＝ax2+bx+c（a≠0），满足条件f（x+1）﹣f（x）＝2x（x∈R），且f（0）＝1．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）设g（x）＝mx﹣3，已知当x∈[，3]时，函数y＝g（x）的图象与y＝f（2x）的图象有且只有一个公共点，求m的取值范围．
【分析】（Ⅰ）由方程恒成立，等式两边对应项系数相等可求得a，b，c；
（Ⅱ）将函数图象交点问题转化为方程的根的问题，再构造函数，利用函数函数草图可得．
【解答】解：（Ⅰ）由f（0）＝1 得 c＝1，
由f（x+1）﹣f（x）＝2x（x∈R），得[a（x+1）2+b（x+1）+1]﹣（ax2+bx+1）＝2x，
化简得，2ax+a+b＝2，
所以2a＝2，a+b＝0，则a＝1，b＝﹣1．所以f（x）＝x2﹣x+1；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得f（2x）＝4x2﹣2x+1
由题意得mx﹣3＝4x2﹣2x+1在x上只有唯一解，
m＝＝4（x+）﹣2在x上只有唯一解，
令y＝m，h（x）＝4（x+）﹣2，x，
又h′（x）＝4﹣，
令h′（x）＜0，得≤x＜1，令h′（x）＞0，得1＜x≤3，
所以h（x）在[]上单调递减，在[1，3]上单调递增，
又h（）＝8，h（1）＝6，h（3）＝，
所以m＝6或8．
【点评】本题考查了二次函数、函数与方程思想、导数的应用．属中档题．
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