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高中数学沪教版高中三年级 第一学期16.5二项式原理图片ppt课件
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这是一份高中数学沪教版高中三年级 第一学期16.5二项式原理图片ppt课件，共54页。PPT课件主要包含了误区警示等内容，欢迎下载使用。
类型一 无限制条件的组合问题 【典型例题】1.某人决定投资3种股票和4种债券，经纪人向他推荐了6种股票和5种债券，则此人不同的投资方式有______种.
2.某高中学生会由6名男生和4名女生组成.(1)从中选4名学生参与学校卫生大检查，共有多少种不同的选法？(2)从男生和女生中各选2名学生去“阳光敬老院”进行某项社会调查，共有多少种不同的选法？
【解题探究】1.题1中投资需分几步？每步选法如何用组合数表示？2.题2(2)中完成此件事需分几步走？分别是什么？探究提示：1.投资需分两步：第一步投资股票有 种，第二步，投资债券有 种.2.分两步走，第一步从6名男生中任选2名学生.第二步从4名女生中任选2名学生.
【解析】1.需分两步：第一步，根据经纪人的推荐在6种股票中选3种，共有 种选法；第二步，根据经纪人的推荐在5种债券中选4种，共有 种选法.根据分步乘法计数原理，此人有 种不同的投资方式.答案：100
2.(1)本问题相当于从10个不同的元素中，任取4个元素，所以共有 种不同的选法.(2)完成这件事分两步走：第一步从6名男生中任选2名学生，共有 种不同的选法；第二步从4名女生中任选2名学生，共有 种不同的选法.由分步乘法计数原理得，共有15×6=90种不同的选法.
【拓展提升】求解无限制条件组合问题的步骤与关注点1.求解步骤
2.关注点及注意点：要关注将要计的数是分类还是分步，在分类和分步时，一定要注意有无重复或遗漏.
【变式训练】(2013·成都高二检测)给一个正方体的六个面涂上四种不同颜色(红、黄、绿、蓝)，要求相邻两个面涂不同的颜色，则共有涂色方法多少种(涂色后，任意翻转正方体，能使正方体各面颜色一致，我们认为是同一种涂色方法)( )A.6种 B.12种 C.24种 D.48种
【解析】选A.由于涂色过程中，要保证满足条件(用四种颜色，相邻的面不同色)，正方体的三对面，必然有两对同色，一对不同色，而且三对面具有“地位对等性”，因此，只需从四种颜色中选择2种涂在其中一对面上，剩下的两种颜色涂在另外两对面即可.因此共有 (种)不同的涂法.
类型二 有限制条件的组合问题 【典型例题】1.以正方体的顶点为顶点，可以确定______个四面体.
2.(2013·青岛高二检测)某医院从10名医疗专家中抽调6名奔赴灾区救灾，其中这10名医疗专家中有4名是外科专家.问：(1)抽调的6名专家中恰有2名是外科专家的抽调方法有多少种？(2)抽调的6名专家中至少有2名外科专家的抽调方法有多少种？(3)抽调的6名专家中至多有2名外科专家的抽调方法有多少种？
【解题探究】1.构成四面体的四个点需具备什么限制条件？2.题2中“恰有2名外科专家”“至少有2名外科专家”与“至多有2名外科专家”的含义分别是什么？
探究提示：1.构成四面体的四个点需具备不共面这一限制条件.2.“恰有2名外科专家”指的是抽调的6名专家中有2名是外科专家，其余4名是非外科专家.“至少有2名外科专家”指的是有可能是2名外科专家，也可能是3名或4名.“至多有2名外科专家”指的是可能有2名外科专家，也可能1名或没有.
【解析】1.正方体8个顶点可构成 个四点组，其中共面的四点组有正方体的6个表面的四个顶点和正方体相对棱分别所在6个平面的四个顶点，故可以确定的四面体有(个).答案：58
2.(1)分步：首先从4名外科专家中任选2名，有 种选法，再从除外科专家的6人中选取4人，有 种选法，所以共有 种抽调方法.(2)“至少”的含义是不低于，有两种解答方法，方法一(直接法)：按选取的外科专家的人数分类：①选2名外科专家，共有 种选法；②选3名外科专家，共有 种选法；③选4名外科专家，共有 种选法.
根据分类加法计数原理，共有种抽调方法.方法二(间接法)：不考虑是否有外科专家，共有 种选法，考虑选取1名外科专家参加，有 种选法；没有外科专家参加，有 种选法，所以共有 种抽调方法.
(3)“至多2名”包括“没有”“有1名”“有2名”三种情况，分类解答.①没有外科专家参加，有 种选法；②有1名外科专家参加，有 种选法；③有2名外科专家参加，有 种选法.所以共有 种抽调方法.
【拓展提升】有限制条件的组合应用题的常见类型及求解思路1.“含”与“不含”问题这类问题的解题思路是将限制条件视为特殊元素和特殊位置，一般来讲，特殊要先满足，其余则“一视同仁”.若正面入手不易，则从反面入手，寻找问题的突破口，即采用间接法.解题时要注意分清“恰有”“有且仅有”“至多”“至少”“全是”“都不是”“不都是”等词语的确切含义，准确把握分类标准.
2.几何中的计数问题在处理几何问题中的组合应用问题时，应先明确几何中的点、线、面及构型，明确平面图形和立体图形中的点、线、面之间的关系，将几何问题抽象成组合问题来解决.
【变式训练】1.在四棱锥P-ABCD中，顶点为P，从其他的顶点和各棱的中点中取3个，使它们和点P在同一平面内，不同的取法有( )A.40种 B.48种 C.56种 D.62种
【解析】选C.如图，满足题设的取法可分为三类：①在四棱锥的每个侧面上除点P外任取3点，有 (种)不同的取法；②在两个对角面上除点P外任取3点，共有 (种)不同的取法；③过点P的每一条棱上的三点和与这条棱异面的棱的中点也共面，共有 (种)不同的取法.故不同的取法共有40+8+8=56(种).
2.一个口袋内装有大小相同的7个白球和1个黑球.(1)从口袋内取出3个球,共有多少种取法?(2)从口袋内取出3个球,使其中含有1个黑球,有多少种取法?(3)从口袋内取出3个球,使其中不含黑球,有多少种取法?
【解析】(1) (种).(2)从7个白球中任选2个，共有 (种).(3)从7个白球中任选3个，共有 (种).
类型三 排列、组合的综合应用 【典型例题】1.(2013·长春高二检测)某校高二年级共有六个班级，现从外地转入4名学生，要安排到该年级的两个班级且每班安排2名，则不同的安排方案种数有( )A.6种 B.24种 C.180种 D.90种
2.(2013·安阳高二检测)从1到9的九个数字中取三个偶数四个奇数.试问：(1)能组成多少个没有重复数字的七位数？(2)上述七位数中三个偶数排在一起的有几个？(3)(1)中的七位数中，偶数排在一起，奇数也排在一起的有几个？(4)(1)中任意两个偶数都不相邻的七位数有几个？
【解题探究】1.题1中的4名学生安排到两个班级是平均分组还是非平均分组?分组后还要分配吗？2.题2(1)中组成没有重复数字的七位数，需要分几步完成？各是什么问题？题2(2)中七位数中要求三个偶数排在一起，应如何安排？题2(3)中的七位数应如何排？题2(4)中的七位数应如何排？
探究提示：1.是平均分组，且分组后需要分配.2.组成题2(1)中的七位数，需分三步即第1步取3个偶数为组合问题，第二步取4个奇数为组合问题，第3步将取出的7个数排序，为排列问题.题2(2)可用“捆绑法”安排.题2(3)分别用“捆绑法”安排.题2(4)可对偶数用插空法安排.
【解析】1.选D.先把4名学生分两组有 (种)，然后再把这两组给这6个班中的两个班有 (种)，根据分步乘法计数原理得不同的安排方案种数有3×30=90(种).
2.(1)分步完成：第一步在4个偶数中取3个，可有 种情况；第二步在5个奇数中取4个，可有 种情况；第三步3个偶数，4个奇数进行排列，可有 种情况，所以符合题意的七位数有 (个).(2)上述七位数中，三个偶数排在一起的有=14 400(个).
(3)上述七位数中，3个偶数排在一起，4个奇数也排在一起的有 (个).(4)上述七位数中，偶数都不相邻，可先把4个奇数排好，再将3个偶数分别插入5个空档，共有 (个).
【拓展提升】1.解答排列、组合综合问题的一般思路和注意点(1)一般思路：“先选后排”，也就是把符合题意的元素都选出来，再对元素或位置进行排列.(2)注意点：①元素是否有序是区分排列与组合的基本方法，无序的问题是组合问题，有序的问题是排列问题.②对于有多个限制条件的复杂问题，应认真分析每个限制条件，然后再考虑是分类还是分步，这是处理排列、组合的综合问题的一般方法.
2.分组、分配问题的求解策略(1)分组问题属于“组合”问题,按组合问题求解，常见的分组问题有三种:①完全均匀分组，每组的元素个数均相等；②部分均匀分组，应注意不要重复，若有n组均匀，最后必须除以n!；③完全非均匀分组，这种分组不考虑重复现象.(2)分配问题属于“排列”问题，可以按要求逐个分配，也可以分组后再分配.
【变式训练】1.(2013·嘉兴高二检测)将红、黑、蓝、黄4个不同的小球放入3个不同的盒子，每个盒子至少放一个球，且红球和蓝球不能放在同一个盒子，则不同的放法有( )A.18种 B.24种 C.30种 D.36种
【解析】选C.将4个小球放入3个不同的盒子，先在4个小球中任取2个作为1组，再将其与其他2个小球对应3个盒子，共有 种情况，若红球和蓝球放到同一个盒子，则黑、黄球放进其余的盒子里，有 种情况，则红球和蓝球不放到同一个盒子的放法种数为36-6=30种.
2.6本不同的书，按下列要求各有多少种不同的分法：(1)分给甲、乙、丙三人，每人两本.(2)分为三份，每份两本.(3)分为三份，一份一本，一份两本，一份三本.(4)分给甲、乙、丙三人，一人一本，一人两本，一人三本.
【解析】(1)根据分步乘法计数原理得有 种.(2)分给甲、乙、丙三人，每人两本有 种方法，这个过程可以分两步完成：第一步分为三份，每份两本设有x种方法；第二步再将这三份分给甲、乙、丙三名同学有 种方法.根据分步乘法计数原理可得： 所以因此分为三份，每份两本一共有15种方法.
(3)这是“不均匀分组”问题，一共有 种方法.(4)在(3)的基础上再进行全排列，所以一共有=360种方法.
【易错误区】组合应用问题中考虑不周致误【典例】已知集合A={1，2，3，4，5}，则至少含一个偶数的集合A的子集个数为______.
【解析】直接法：当子集中含有1个偶数时,①共有个数(个)；当子集中含有2个偶数时：①共有 (个)；满足题意的集合A的子集个数为：16+8=24(个)．
间接法：集合A的子集共有 (个),②不符合题意的子集有空集、分别只含有1，2，3个奇数的子集，有 (个)，故符合题意的子集个数为32-8=24(个).答案：24
【防范措施】1.分类不重复、不遗漏分类时要选择一个确定的分类标准，其原则是分类不能重复，不能遗漏.如本例中对偶数个数的分类.2.重视特殊情况在解题中的作用解题过程中要注意分析特殊元素、特殊情况对结果的影响，并注意总结、避免因考虑问题不全面而失分.如本例中子集的特殊情况空集就容易遗漏.
【类题试解】从5名男学生、4名女学生中选3名学生组成一个研究性学习小组，要求其中男、女学生都有，则不同的选法有______.【解析】根据题意，共有9名学生，从中任取3人，有 (种)取法，其中只有男生的有 (种)取法，只有女生的有 (种)取法，则男、女学生都有的选法有84-10-4=70(种).答案：70种
1.楼道里有12盏灯，为了节约用电，需关掉3盏不相邻的灯，则关灯方案有( )A.72种 B.84种 C.120种 D.168种【解析】选C.需关掉3盏不相邻的灯，即将这3盏灯插入9盏亮着的灯的空中，所以关灯方案共有 (种).
2.今有甲、乙、丙三项任务，甲需2人承担，乙、丙各需1人承担，现从10人中选派4人承担这三项任务，不同的选派方法有( )A.1 260种 B.2 025种 C.2 520种 D.5 054种【解析】选C.先从10人中选出4个人，再在这4个人中选两个从事甲任务，剩下的两个人从事乙、丙任务，故可得出： (种).
3.甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有( )A.6种 B.12种C.24种 D.30种【解析】选C.所有两人各选修2门的种数是 两人所选两门都相同和都不同的种数均为 故只恰好有1门相同的选法有 (种).
4.如图，要用三根数据线将四台电脑A，B，C，D连接起来以实现资源共享，则不同的连接方案的种数是( )A.16 B.18 C.20 D.22
【解析】选A.画一个正方形和它的两条对角线，在这6条线段中，选3条的选法有 (种).其中4个直角三角形不是连接方案，故不同的连接方案共有 (种).
5.某科技小组有女同学2名、男同学x名，现从中选出3名去参加展览.若恰有1名女生入选时的不同选法有20种，则该科技小组中男生的人数为______.【解析】由题意得 解得x=5.答案：5
6.课外活动小组共13人，其中男生8人，女生5人，并且男、女生各指定一名队长，现从中选5人主持某种活动，依下列条件各有多少种选法？(1)只有1名女生当选.(2)两名队长当选.(3)至少有1名队长当选.(4)至多有2名女生当选.(5)既要有队长，又要有女生当选.
【解析】(1)1名女生，4名男生，故共有 (种).(2)将两名队长作为一类，其他11人作为一类，故共有 (种).(3)方法一：至少有1名队长含有两类：只有1名队长；2名队长，故共有选法 (种).方法二：采用间接法共有 (种).
类型一 无限制条件的组合问题 【典型例题】1.某人决定投资3种股票和4种债券，经纪人向他推荐了6种股票和5种债券，则此人不同的投资方式有______种.
2.某高中学生会由6名男生和4名女生组成.(1)从中选4名学生参与学校卫生大检查，共有多少种不同的选法？(2)从男生和女生中各选2名学生去“阳光敬老院”进行某项社会调查，共有多少种不同的选法？
【解题探究】1.题1中投资需分几步？每步选法如何用组合数表示？2.题2(2)中完成此件事需分几步走？分别是什么？探究提示：1.投资需分两步：第一步投资股票有 种，第二步，投资债券有 种.2.分两步走，第一步从6名男生中任选2名学生.第二步从4名女生中任选2名学生.
【解析】1.需分两步：第一步，根据经纪人的推荐在6种股票中选3种，共有 种选法；第二步，根据经纪人的推荐在5种债券中选4种，共有 种选法.根据分步乘法计数原理，此人有 种不同的投资方式.答案：100
2.(1)本问题相当于从10个不同的元素中，任取4个元素，所以共有 种不同的选法.(2)完成这件事分两步走：第一步从6名男生中任选2名学生，共有 种不同的选法；第二步从4名女生中任选2名学生，共有 种不同的选法.由分步乘法计数原理得，共有15×6=90种不同的选法.
【拓展提升】求解无限制条件组合问题的步骤与关注点1.求解步骤
2.关注点及注意点：要关注将要计的数是分类还是分步，在分类和分步时，一定要注意有无重复或遗漏.
【变式训练】(2013·成都高二检测)给一个正方体的六个面涂上四种不同颜色(红、黄、绿、蓝)，要求相邻两个面涂不同的颜色，则共有涂色方法多少种(涂色后，任意翻转正方体，能使正方体各面颜色一致，我们认为是同一种涂色方法)( )A.6种 B.12种 C.24种 D.48种
【解析】选A.由于涂色过程中，要保证满足条件(用四种颜色，相邻的面不同色)，正方体的三对面，必然有两对同色，一对不同色，而且三对面具有“地位对等性”，因此，只需从四种颜色中选择2种涂在其中一对面上，剩下的两种颜色涂在另外两对面即可.因此共有 (种)不同的涂法.
类型二 有限制条件的组合问题 【典型例题】1.以正方体的顶点为顶点，可以确定______个四面体.
2.(2013·青岛高二检测)某医院从10名医疗专家中抽调6名奔赴灾区救灾，其中这10名医疗专家中有4名是外科专家.问：(1)抽调的6名专家中恰有2名是外科专家的抽调方法有多少种？(2)抽调的6名专家中至少有2名外科专家的抽调方法有多少种？(3)抽调的6名专家中至多有2名外科专家的抽调方法有多少种？
【解题探究】1.构成四面体的四个点需具备什么限制条件？2.题2中“恰有2名外科专家”“至少有2名外科专家”与“至多有2名外科专家”的含义分别是什么？
探究提示：1.构成四面体的四个点需具备不共面这一限制条件.2.“恰有2名外科专家”指的是抽调的6名专家中有2名是外科专家，其余4名是非外科专家.“至少有2名外科专家”指的是有可能是2名外科专家，也可能是3名或4名.“至多有2名外科专家”指的是可能有2名外科专家，也可能1名或没有.
【解析】1.正方体8个顶点可构成 个四点组，其中共面的四点组有正方体的6个表面的四个顶点和正方体相对棱分别所在6个平面的四个顶点，故可以确定的四面体有(个).答案：58
2.(1)分步：首先从4名外科专家中任选2名，有 种选法，再从除外科专家的6人中选取4人，有 种选法，所以共有 种抽调方法.(2)“至少”的含义是不低于，有两种解答方法，方法一(直接法)：按选取的外科专家的人数分类：①选2名外科专家，共有 种选法；②选3名外科专家，共有 种选法；③选4名外科专家，共有 种选法.
根据分类加法计数原理，共有种抽调方法.方法二(间接法)：不考虑是否有外科专家，共有 种选法，考虑选取1名外科专家参加，有 种选法；没有外科专家参加，有 种选法，所以共有 种抽调方法.
(3)“至多2名”包括“没有”“有1名”“有2名”三种情况，分类解答.①没有外科专家参加，有 种选法；②有1名外科专家参加，有 种选法；③有2名外科专家参加，有 种选法.所以共有 种抽调方法.
【拓展提升】有限制条件的组合应用题的常见类型及求解思路1.“含”与“不含”问题这类问题的解题思路是将限制条件视为特殊元素和特殊位置，一般来讲，特殊要先满足，其余则“一视同仁”.若正面入手不易，则从反面入手，寻找问题的突破口，即采用间接法.解题时要注意分清“恰有”“有且仅有”“至多”“至少”“全是”“都不是”“不都是”等词语的确切含义，准确把握分类标准.
2.几何中的计数问题在处理几何问题中的组合应用问题时，应先明确几何中的点、线、面及构型，明确平面图形和立体图形中的点、线、面之间的关系，将几何问题抽象成组合问题来解决.
【变式训练】1.在四棱锥P-ABCD中，顶点为P，从其他的顶点和各棱的中点中取3个，使它们和点P在同一平面内，不同的取法有( )A.40种 B.48种 C.56种 D.62种
【解析】选C.如图，满足题设的取法可分为三类：①在四棱锥的每个侧面上除点P外任取3点，有 (种)不同的取法；②在两个对角面上除点P外任取3点，共有 (种)不同的取法；③过点P的每一条棱上的三点和与这条棱异面的棱的中点也共面，共有 (种)不同的取法.故不同的取法共有40+8+8=56(种).
2.一个口袋内装有大小相同的7个白球和1个黑球.(1)从口袋内取出3个球,共有多少种取法?(2)从口袋内取出3个球,使其中含有1个黑球,有多少种取法?(3)从口袋内取出3个球,使其中不含黑球,有多少种取法?
【解析】(1) (种).(2)从7个白球中任选2个，共有 (种).(3)从7个白球中任选3个，共有 (种).
类型三 排列、组合的综合应用 【典型例题】1.(2013·长春高二检测)某校高二年级共有六个班级，现从外地转入4名学生，要安排到该年级的两个班级且每班安排2名，则不同的安排方案种数有( )A.6种 B.24种 C.180种 D.90种
2.(2013·安阳高二检测)从1到9的九个数字中取三个偶数四个奇数.试问：(1)能组成多少个没有重复数字的七位数？(2)上述七位数中三个偶数排在一起的有几个？(3)(1)中的七位数中，偶数排在一起，奇数也排在一起的有几个？(4)(1)中任意两个偶数都不相邻的七位数有几个？
【解题探究】1.题1中的4名学生安排到两个班级是平均分组还是非平均分组?分组后还要分配吗？2.题2(1)中组成没有重复数字的七位数，需要分几步完成？各是什么问题？题2(2)中七位数中要求三个偶数排在一起，应如何安排？题2(3)中的七位数应如何排？题2(4)中的七位数应如何排？
探究提示：1.是平均分组，且分组后需要分配.2.组成题2(1)中的七位数，需分三步即第1步取3个偶数为组合问题，第二步取4个奇数为组合问题，第3步将取出的7个数排序，为排列问题.题2(2)可用“捆绑法”安排.题2(3)分别用“捆绑法”安排.题2(4)可对偶数用插空法安排.
【解析】1.选D.先把4名学生分两组有 (种)，然后再把这两组给这6个班中的两个班有 (种)，根据分步乘法计数原理得不同的安排方案种数有3×30=90(种).
2.(1)分步完成：第一步在4个偶数中取3个，可有 种情况；第二步在5个奇数中取4个，可有 种情况；第三步3个偶数，4个奇数进行排列，可有 种情况，所以符合题意的七位数有 (个).(2)上述七位数中，三个偶数排在一起的有=14 400(个).
(3)上述七位数中，3个偶数排在一起，4个奇数也排在一起的有 (个).(4)上述七位数中，偶数都不相邻，可先把4个奇数排好，再将3个偶数分别插入5个空档，共有 (个).
【拓展提升】1.解答排列、组合综合问题的一般思路和注意点(1)一般思路：“先选后排”，也就是把符合题意的元素都选出来，再对元素或位置进行排列.(2)注意点：①元素是否有序是区分排列与组合的基本方法，无序的问题是组合问题，有序的问题是排列问题.②对于有多个限制条件的复杂问题，应认真分析每个限制条件，然后再考虑是分类还是分步，这是处理排列、组合的综合问题的一般方法.
2.分组、分配问题的求解策略(1)分组问题属于“组合”问题,按组合问题求解，常见的分组问题有三种:①完全均匀分组，每组的元素个数均相等；②部分均匀分组，应注意不要重复，若有n组均匀，最后必须除以n!；③完全非均匀分组，这种分组不考虑重复现象.(2)分配问题属于“排列”问题，可以按要求逐个分配，也可以分组后再分配.
【变式训练】1.(2013·嘉兴高二检测)将红、黑、蓝、黄4个不同的小球放入3个不同的盒子，每个盒子至少放一个球，且红球和蓝球不能放在同一个盒子，则不同的放法有( )A.18种 B.24种 C.30种 D.36种
【解析】选C.将4个小球放入3个不同的盒子，先在4个小球中任取2个作为1组，再将其与其他2个小球对应3个盒子，共有 种情况，若红球和蓝球放到同一个盒子，则黑、黄球放进其余的盒子里，有 种情况，则红球和蓝球不放到同一个盒子的放法种数为36-6=30种.
2.6本不同的书，按下列要求各有多少种不同的分法：(1)分给甲、乙、丙三人，每人两本.(2)分为三份，每份两本.(3)分为三份，一份一本，一份两本，一份三本.(4)分给甲、乙、丙三人，一人一本，一人两本，一人三本.
【解析】(1)根据分步乘法计数原理得有 种.(2)分给甲、乙、丙三人，每人两本有 种方法，这个过程可以分两步完成：第一步分为三份，每份两本设有x种方法；第二步再将这三份分给甲、乙、丙三名同学有 种方法.根据分步乘法计数原理可得： 所以因此分为三份，每份两本一共有15种方法.
(3)这是“不均匀分组”问题，一共有 种方法.(4)在(3)的基础上再进行全排列，所以一共有=360种方法.
【易错误区】组合应用问题中考虑不周致误【典例】已知集合A={1，2，3，4，5}，则至少含一个偶数的集合A的子集个数为______.
【解析】直接法：当子集中含有1个偶数时,①共有个数(个)；当子集中含有2个偶数时：①共有 (个)；满足题意的集合A的子集个数为：16+8=24(个)．
间接法：集合A的子集共有 (个),②不符合题意的子集有空集、分别只含有1，2，3个奇数的子集，有 (个)，故符合题意的子集个数为32-8=24(个).答案：24
【防范措施】1.分类不重复、不遗漏分类时要选择一个确定的分类标准，其原则是分类不能重复，不能遗漏.如本例中对偶数个数的分类.2.重视特殊情况在解题中的作用解题过程中要注意分析特殊元素、特殊情况对结果的影响，并注意总结、避免因考虑问题不全面而失分.如本例中子集的特殊情况空集就容易遗漏.
【类题试解】从5名男学生、4名女学生中选3名学生组成一个研究性学习小组，要求其中男、女学生都有，则不同的选法有______.【解析】根据题意，共有9名学生，从中任取3人，有 (种)取法，其中只有男生的有 (种)取法，只有女生的有 (种)取法，则男、女学生都有的选法有84-10-4=70(种).答案：70种
1.楼道里有12盏灯，为了节约用电，需关掉3盏不相邻的灯，则关灯方案有( )A.72种 B.84种 C.120种 D.168种【解析】选C.需关掉3盏不相邻的灯，即将这3盏灯插入9盏亮着的灯的空中，所以关灯方案共有 (种).
2.今有甲、乙、丙三项任务，甲需2人承担，乙、丙各需1人承担，现从10人中选派4人承担这三项任务，不同的选派方法有( )A.1 260种 B.2 025种 C.2 520种 D.5 054种【解析】选C.先从10人中选出4个人，再在这4个人中选两个从事甲任务，剩下的两个人从事乙、丙任务，故可得出： (种).
3.甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有( )A.6种 B.12种C.24种 D.30种【解析】选C.所有两人各选修2门的种数是 两人所选两门都相同和都不同的种数均为 故只恰好有1门相同的选法有 (种).
4.如图，要用三根数据线将四台电脑A，B，C，D连接起来以实现资源共享，则不同的连接方案的种数是( )A.16 B.18 C.20 D.22
【解析】选A.画一个正方形和它的两条对角线，在这6条线段中，选3条的选法有 (种).其中4个直角三角形不是连接方案，故不同的连接方案共有 (种).
5.某科技小组有女同学2名、男同学x名，现从中选出3名去参加展览.若恰有1名女生入选时的不同选法有20种，则该科技小组中男生的人数为______.【解析】由题意得 解得x=5.答案：5
6.课外活动小组共13人，其中男生8人，女生5人，并且男、女生各指定一名队长，现从中选5人主持某种活动，依下列条件各有多少种选法？(1)只有1名女生当选.(2)两名队长当选.(3)至少有1名队长当选.(4)至多有2名女生当选.(5)既要有队长，又要有女生当选.
【解析】(1)1名女生，4名男生，故共有 (种).(2)将两名队长作为一类，其他11人作为一类，故共有 (种).(3)方法一：至少有1名队长含有两类：只有1名队长；2名队长，故共有选法 (种).方法二：采用间接法共有 (种).
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