高中数学第一章 空间向量与立体几何1.1 空间向量及其运算优秀随堂练习题
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1.1.2空间向量的数量积运算同步练习人教 A版（2019）高中数学选择性必修第一册
一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）
- 如图，在平行六面体中，底面是边长为1的正方形，若，且，则的长为
A.
B.
C.
D.
- 二面角等于，A，B是棱l上两点，AC、BD分别在半平面、内，，，且，则CD的长等于
A. B. C. 2 D.
- 已知MN是正方体内切球的一条直径，点P在正方体表面上运动，正方体的棱长是2，则的取值范围为
A. B. C. D.
- 已知向量，则向量在向量上的投影向量为
A. B. C. D.
- 如图，在三棱锥中，DA，DB，DC两两垂直，且，，E为BC的中点，则等于
A. 3
B. 2
C. 1
D. 0
- 三棱锥中，，，，则等于
A. 2 B. C. D.
- 如图，平行六面体中，，，，则
A. 1
B. 2
C.
D.
- 如图，空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1，点E，F，G分别是AB，AD，DC的中点，则
A.
B.
C.
D.
- 如图，平行六面体中，，，，则
A. 1
B. 2
C.
D.
- 定义若向量，向量为单位向量．则的取值范围是
A. B. C. D.
- 如图，在平行六面体中，底面是边长为1的正方形，若，且，则的长为
A.
B.
C.
D.
- 在棱长为1的正四面体ABCD中，点M满足，点N满足，当AM、DN最短时，
A. B. C. D.
二、单空题（本大题共6小题，共30.0分）
- 如图，甲站在水库底面上的点D处，乙站在水坝斜面上的点C处，已知库底与水坝所成的二面角为，测得从D，C到库底与水坝的交线的距离分别为，，若，则甲、乙两人相距
- 已知空间向量，则向量在向量上的投影向量是 ．
- 如图，平行六面体中，，，，，，则的长为______．
|
- 如图，的二面角的棱上有A，B两点，直线AC，BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于已知，，，则CD的长为 ．
- 已知球O是棱长为2的正八面体八个面都是全等的等边三角形的内切球，MN为球O的一条直径，点P为正八面体表面上的一个动点，则的取值范围是 ．
- 平行六面体中，棱AB、AD、的长均为1，，则对角线的长为 ．
三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）
- 如图所示，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1，点E，F，G分别是AB，AD，CD的中点．
求
求EG的长．
- 已知平行六面体，，，，，设，，；
试用、、表示；
求MN的长度；
- 在棱长均为2的平行六面体中，M为与的交点．若，，，
试用，，表示向量；
求向量的模长．
- 如图，三棱锥各棱的棱长都是1，点D是棱AB的中点，点E在棱OC上，且，记，，．
用向量，，表示向量；
求的最小值．
- 如图，在正四棱锥中，O为底面中心，求平面SBD的法向量与的夹角．
|
答案和解析
1.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查了空间向量的应用，属于基础题．
用空间向量解答，由展开可得答案．
【解答】
解：；
；
即
；
，
．
故选A．
2.【答案】C
【解析】
【分析】
本题主要考查了利用空间向量的数量积求线段的长度，属于基础题．
要求CD的长，即求向量的模，也就是求向量的模，利用向量模的求法和数量积的运算即可求得．
【解答】
解：二面角为，，，
，，则，，
且，，
，
．
故选C．
3.【答案】B
【解析】
【分析】
本题以正方体为载体，考查了空间向量的数量积应用问题，是中档题．
利用空间向量的数量积求解即可．
【解答】
解：设正方体内切球球心为S，MN是该内切球的任意一条直径，
设正方体的棱长为2，则内切球的半径为1，
所以
，
由正方体的特征可知，
当P点为正方体的顶点时，最大，为，即最大值为；
当P点为正方体的侧面中心时，最小，为1，即最小值为，
所以的取值范围是．
故选：B．
4.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查了平面向量的投影向量计算问题，是基础题．
根据平面向量的投影向量的定义，计算向量在向量上的投影向量．
【解答】
解：向量，设的夹角为，
；
所以向量在向量上的投影向量为2，，，
故选：B．
5.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查空间向量的三角形法则以及数量积运算，属于基础题．
利用向量的三角形法则将表示成，根据垂直和长度关系即可得到结果．
【解答】
解：
，
，DB，DC两两垂直，且，
．
故选D
6.【答案】B
【解析】
【分析】
本题主要考查向量的加减运算及数量积运算，属于基础题．
将化为，再利用数量积公式即可求解．
【解答】
解： 由已知得，
因为，
所以
．
故选B．
7.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查运用空间向量求距离，考查向量的加法运算法则与运算律、数量积的运算等知识，属于基础题．
结合，两边平方，同时结合数量积的运算法则进行计算即可．
【解答】
解：由题，
平方可得：
，
，
故选D．
8.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查空间向量的数量积运算，属于基础题．
由题意可得，即可得答案．
【解答】
解：由空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于1，
可知为等边三角形，故，
又点F、G分别是AD、DC的中点，
所以，
故
．
故选B．
9.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查了空间向量的应用，属于基础题．
利用，平方后即可求解．
【解答】
解：，
，
，
故选：D．
10.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查了空间向量的数量积，属于基础题．
根据空间向量的数量积的运算性质求出的解析式，即可得解．
【解答】
解：由题意得，，
设，，则，
又，，
，
故选：B．
11.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查空间向量的模求解问题及空间向量的加减运算，同时考查空间向量的数量积运算，属于中档题．
由已知，然后两边平方，结合已知和空间向量的数量积运算求解即可．
【解答】
解： 因为为平行六面体，
所以，
又ABCD为边长为1的正方形，，且，
所以，，
所以
，
所以．
故选A．
12.【答案】A
【解析】
【分析】
根据题意可知，平面BCD，直线AB，从而得出：当AM、DN最短时，点M为的中心，N为线段AB的中点，从而可得出AM的长，从而求出的值即可．
本题考查了三点A，B，C共线的充要条件是：，且；四点A，B，C，D共面的充要条件是：且，向量减法和数乘的几何意义，向量数量积的运算及计算公式，正四面体的定义，考查了计算能力．
【解答】
解：，，
平面BCD，直线AB，
当AM、DN最短时，
平面BCD，，
为的中心，N为线段AB的中点，
如图：
又正四面体的棱长为1，
，．
则，
平面BCD，
，
．
故选：A．
13.【答案】70
【解析】
【分析】
本题考查空间向量的运算，空间向量的数量积．
根据已知可得，由，平方求解即可．
【解答】
解：由于，
所以
，于是，
故甲、乙两人相距70m．
故答案为70．
14.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查空间向量的坐标运算、向量的数量积，投影向量概念，考查学生的逻辑推理能力及运算求解能力，考查数学运算核心素养，属于基础题．
根据在方向上的投影向量 ，然后进行后面的求解即可得．
【解答】
解：由题意可得：，，，
且．
所以向量在向量上的投影向量是，
故答案为．
15.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查利用空间向量法求线段长，解答的关键就是选择合适的基底表示向量，考查计算能力，属于中档题．
根据，两边平方，然后根据向量的数量积进行计算即可．
【解答】
解：在平行六面体中，
，，，，
，
则
．
．
故答案为：．
16.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查线段长的求法，解题时要注意空间思维能力的培养，属于中档题．
由题设条件知，由此利用向量法能求出CD的长．
【解答】
解：在一个的二面角的棱上，
有两个点A、B，AC、BD分别是在这个二面角的两个半平面内垂直于AB的线段，
且，，，
．
的长．
故答案为．
17.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了空间向量的数量积及运算律的相关知识，属较难题．
设球心O与正四棱锥的侧面SBC相切于点F，E是BC的中点，可求得正八面体的内切球的半径，再由展开计算即可．
【解答】
解：如图所示，
设已知的正八面体SABCDI，易知平面ABCD于球心O，
且点O为正方形ABCD的中心，设球心O与正四棱锥的侧面SBC相切于点F，E是BC的中点，
连接，则，，
由，得
即正八面体的内切球的半径为
为正八面体表面上的任意一点
则，
即的取值范围是．
18.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查向量法的应用，涉及空间向量模长计算以及加减运算，属于基础题．
由向量法可得，进而求解．
【解答】
解：如图，由题意可知，
，
，
，
故答案为：．
19.【答案】解：设，，，
则，，
，，
，
，
，即EG的长为．
【解析】本题考查空间向量的数量积及向量的线性运算，考查空间向量的基本定理及应用，属于基础题．
设，，，，，，，计算即可；
，计算求解即可得到答案．
20.【答案】解：
．
．
，，
，
的长度为．
【解析】本题考查空间向量的基本定理，考查空间向量的线性运算，考查利用空间向量数量积求模等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
，由此能求出结果．
由，，两边同时平方，由此能求出MN的长度．
21.【答案】解：连接，AC，，如图：
，，，
在，根据向量减法法则可得：，
底面ABCD是平行四边形，，
且，，
又为线段中点，，
在中
；
，
所以向量的模长为．
【解析】本题考查空间向量的线性运算以及向量的模、向量的数量积，属于中档题．
根据向量的线性运算求解；
由向量的线性运算，以及向量的数量积求解模长；
22.【答案】解：
．
三棱锥棱长都为1，故，
，
，
故当时，取得最小值，且．
【解析】本题考查了空间向量的加减运算，与模长最值问题，属于中档题．
23.【答案】解：在正四棱锥中，，．
又，
平面SBD．
为平面SBD的一个法向量．
，．
【解析】本题主要考查正四棱锥的性质，线面垂直的判定定理，平面法向量的定义以及向量夹角的定义，意在考查空间想象能力以及综合应用所学知识解决问题的能力，属于基础题．
由正四棱锥的性质可得，根据线面垂直的判定定理可得平面则为平面SBD的一个法向量，由正方形的性质与向量夹角的定义可得结果．
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【同步练习】高中数学人教A版(2019)选修第一册--1.1.2空间向量的数量积运算 练习（含解析）： 这是一份【同步练习】高中数学人教A版(2019)选修第一册--1.1.2空间向量的数量积运算 练习（含解析），共8页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
