高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册2.2 直线的方程优秀课后练习题

2.2.1直线的点斜式方程同步练习人教   A版（2019）高中数学选择性必修第一册

一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）

1. 已知点，，则线段AB的垂直平分线的方程为   

A.  B.  C.  D.

2. 直线l分别交x轴和y轴于A、B两点，若是线段AB的中点，则直线l的方程为   

A.  B.  C.  D.

3. 若直线l经过点，且点，到它的距离相等，则l的方程为

A.  B.
C. 或 D. 或

4. 已知直线l：，则直线l经过哪几个象限

A. 一、二、三象限 B. 一、二、四象限
C. 二、三、四象限 D. 一、三、四象限

5. 已知直线，则直线l经过哪几个象限   

A. 一、二、三象限 B. 一、二、四象限
C. 二、三、四象限 D. 一、三、四象限

6. 已知，，若点在线段AB上，则的最小值为

A.  B. 3 C. 7 D. 8

7. 数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半这条直线被后人称为三角形的欧拉线已知的顶点，，且，则的欧拉线的方程为

A.  B.  C.  D.

8. 过点，且与直线垂直的直线方程为

A.  B.  C.  D.

9. 已知过点的直线与x轴、y轴分别交于P，Q两点若M为线段PQ的中点，则这条直线的方程为

A.  B.  C.  D.

10. 过点且垂直于直线的直线方程为

A.  B.  C.  D.

11. 过点且垂直于直线的直线方程为 

A.  B.  C.  D.

12. 过两点，的直线的方程为   

A.  B.
C.  D.

二、单空题（本大题共3小题，共15.0分）

13. 已知直线l的倾斜角是，且过点，则直线l在y轴上的截距是          ．
14. 经过点作直线l分别交x轴、y轴的正半轴于A、B两点，当面积最小时直线l的方程为          ．
15. 过直线与的交点，且垂直于直线的直线方程是          ．

三、多空题（本大题共3小题，共15.0分）

16. 设直线l的方程为，若直线l的斜率为，则          ；若直线l在x轴、y轴上的截距之和等于0，则          ．
17. 已知直线l的斜率为1，过点，则l的方程为          ，过点且与l平行的直线方程为          ．
18. 直线l：过定点          ；若l的倾斜角为，则直线l在y轴上的截距为          ．

四、解答题（本大题共5小题，共60.0分）

19. 已知直线l：．

Ⅰ求证：不论m为何实数，直线l恒过一定点；

Ⅱ过点作一条直线，使夹在两坐标轴之间的线段被M点平分，求直线的方程．






 

20. 在平面直角坐标系xOy中，已知三个顶点坐标为，，．
    求BC边上的中线所在直线的方程；
    求BC边上的高所在直线的方程．
    
    
    
    
    
    
     
21. 已知直线及点．

证明直线l过某定点，并求该定点的坐标．

当点P到直线l的距离最大时，求直线l的方程．






 

22. 已知直线：和点，设过A点与垂直的直线为．
    求直线的方程；
    求直线与两坐标轴围成的三角形的面积．
    
    
    
    
    
    
     
23. 写出下列直线的点斜式方程．

经过点，且与直线平行；

经过点，且与x轴平行；

经过点，且与x轴垂直；

经过点，两点．

答案和解析

1.【答案】B
 

【解析】

【分析】

本题考查线段的垂直平分线的性质，直线的斜率及直线的点斜式方程，属于基础题．
由已知，求出直线AB的斜率，进而可得到线段AB的垂直平分线的斜率，在利用直线点斜式方程即可求解．

【解答】

解：因为，，
所以线段AB的中点坐标为，
又直线AB的斜率为，
所以线段AB垂直平分线的斜率为，
所以线段AB的垂直平分线的方程为，
整理得．
故选B．

2.【答案】C
 

【解析】

【分析】

本题主要考查中点坐标公式以及截距式直线方程，属于基础题．
根据题意设A点的坐标为，B点的坐标为，得到，，即可得到直线l的截距式方程，进而转化为一般方程．

【解答】

解：设A点的坐标为，B点的坐标为，
因为是线段AB的中点，
所以，，
所以，，
即A点的坐标为，B点的坐标为，
设直线l的方程为，即．
故选C．

3.【答案】C
 

【解析】

【分析】

本题考查用点斜式求直线的方程，求直线方程是解析几何常见的问题之一，属于中档题．
求直线方程时，要注意斜率是否存在．

【解答】

解：根据题意，分情况讨论可得：
当两个点，在所求直线的异侧时，
即过线段AB的中点．
此时直线的斜率不存在，即满足题意的直线方程为；
当，在所求直线同侧时，
直线AB与所求的直线平行，
又因为，
所以所求的直线斜率为，
直线方程为，
化简得：，
综上，满足条件的直线为或，
故选C．

4.【答案】D
 

【解析】

【分析】

本题考查直线的斜截式方程，是一道基础题．
分别求得直线的斜率和纵截距，可得直线经过的象限．

【解答】

解：直线l：的斜率为，在y轴上的纵截距为，
可得直线经过第一、三和四象限，
故选：D．

5.【答案】D
 

【解析】

【分析】

本题考查直线的斜截式方程，为基础题．
直接根据，，进行判断即可．

【解答】

解：在直线中，，，
所以此直线经过一、三、四象限．
故答案为D．

6.【答案】A
 

【解析】

【分析】

本题考查直线方程的应用，属于拔高题．
由题可得直线AB的方程，从而可表示，令，可得，根据函数的单调性求解函数的最小值．

【解答】

解：，，直线AB的方程为即，
若点在线段AB上，即，
令，可得，函数在定义域上单调递增，
当时，取得最小值．
故选：A．

7.【答案】B
 

【解析】

【分析】

本题考查直线的点斜式方程，直线的斜率，两直线垂直的判断，中点坐标公式属于基础题．
由题意可知欧拉线为AB的中垂线，根据直线的斜率公式及两直线垂直的判断可得中垂线的斜率，由中点坐标公式得出中点坐标，代入点斜式方程得出直线方程．

【解答】

解：因为，所以欧拉线为AB的中垂线，
又，，
故AB的中点为，，
故AB的中垂线方程为，
即．
故选B．

8.【答案】A
 

【解析】

【分析】

本题考查直线方程的求法，属于基础题．
与直线垂直的直线方程的斜率，由此能求出过点与直线垂直的直线方程．

【解答】

解：直线的斜率为，
与直线垂直的直线方程的斜率，
过点与直线垂直的直线方程为：，
整理，得．
故选：A．

9.【答案】C
 

【解析】

【分析】

本题考查直线点斜式方程、中点坐标公式，属于基础题 
设所求直线的方程为，得Q点坐标为，P点纵坐标为0，所以根据中点坐标公式有，解得，故所求直线的方程为．

【解答】

解：设所求直线的方程为．
令得，
所以Q点坐标为，
又因为M为线段PQ的中点，P点纵坐标为0，
所以根据中点坐标公式有，解得，
故所求直线的方程为．

10.【答案】A
 

【解析】

【分析】

本题考查了两条直线垂直的判定以及直线方程的求法，属于基础题．
由在斜率存在的条件下，两条直线垂直的充要条件是斜率互为负倒数，可得斜率，又所求直线过点，可得直线方程．

【解答】

解：在斜率存在的条件下，两条直线垂直的充要条件是斜率互为负倒数，
则所求直线的斜率为，
又所求直线过点，
所以直线的方程为，
即．
故选A．

11.【答案】A
 

【解析】

【分析】

本题考查了利用点斜式求直线方程，考查了两条直线的垂直关系，属于基础题．
由题意可得直线的斜率为，则过点且垂直于直线的直线方程为，化为一般式可得结果．

【解答】

解：由题意可得直线的斜率为，
则过点且垂直于直线的直线方程为，
化为一般式为．
故选A．

12.【答案】A
 

【解析】

【分析】

本题主要考查直线方程，属于基础题．
先根据两点坐标求斜率，然后用点斜式写出直线方程，化为一般方程即可．

【解答】

解：，，
则直线的方程为，即
故选A

13.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题考查了直线的点斜式方程，考查直线的斜率问题，属于基础题．
算出直线l的斜率，利用直线方程的点斜式，从而求得结果． 

【解答】

解：直线l的倾斜角为， 
直线l的斜率， 
由此可得直线l的方程为：，即．
令，可得，
直线l在y轴上的截距是，
故答案为 

14.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题主要考查了直线方程的应用及基本不等式的条件的应用，属于中档题．
先设出直线方程，然后表示出三角形的面积，结合基本不等式即可求解．

【解答】

解：由题意可知，直线l的斜率一定存在，故可设直线l的方程为，，
令可得，，令可得，
则，
当且仅当即时取等号，
此时直线方程为，即．
故答案为：．

15.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题考查了直线的交点、相互垂直的直线斜率之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
联立，解得交点坐标，利用相互垂直的直线斜率之间的关系可得要求直线的斜率．

【解答】

解：联立，解得，．
可得与直线垂直的直线方程是：，
化为：．
故答案为．
 

16.【答案】5

1

【解析】

【分析】

本题考查了直线的斜截式方程和直线的截距式方程，属于基础题．
将直线方程转化成斜截式和截距式，可得结果．

【解答】

解：因为直线l的斜率存在，所以直线l的方程可化为，
由直线l的斜率为，得，解得．
直线l的方程可化为，由题意得，解得．
故答案为5；1

17.【答案】；
 

【解析】

【分析】

本题主要考查直线的点斜式方程，属于基础题．
已知直线l的斜率以及直线上的点坐标，代入点斜式方程即可求解，与直线l平行即斜率相同，同理代入点斜式方程即可求解．

【解答】

解：根据题意可得直线l的点斜式方程为：，即，
过点且与直线l平行的直线方程为：，即，
故答案为；．

18.【答案】

【解析】

【分析】

本题考查直线恒过定点问题，利用点斜式方程是解决问题的关键，属基础题．
化直线的方程为，由直线的点斜式方程可得，由l的倾斜角为，可得斜率，求出直线方程即可得直线l在y轴上的截距．

【解答】

解：直线l的方程为：，
即，
由直线的点斜式方程可知直线过定点，
若l的倾斜角为，即，
直线l的方程为：即，
令，得，则直线l在y轴上的截距为．
故答案为：；．

19.【答案】解：Ⅰ证明：由直线得
，
由得
直线l恒过定点．
Ⅱ由题意得，所求直线斜率存在且不为零，
设所求直线的方程为，
与x轴交点为A，y轴交点为B，
则，，
的中点为M，
，解得，
所求直线的方程为．
 

【解析】本题考查直线方程过定点以及直线方程点斜式的应用，考查转化思想及计算能力．
Ⅰ利用直线得，方程列出方程组，即可得到直线l恒过一定点；
Ⅱ设出直线的方程，求出AB坐标，根据AB的中点为M，即可求解直线方程．
 

20.【答案】解：由，，得BC中点D的坐标为，
所以直线AD的斜率为，
所以BC边上的中线AD所在直线的方程为，
即                                      
由，，得BC所在直线的斜率为，
所以BC边上的高AH所在直线的斜率为，
所以BC边上的高AH所在直线的方程为，
即
 

【解析】本题考查直线方程的求解及两直线垂直的条件，同时考查中点坐标公式，属于基础题．
求出BC中点D的坐标，直线AD的斜率，即可求BC边上的中线所在直线的方程；
求出BC边上的高AH所在直线的斜率，即可求BC边上的高AH所在直线的方程．
 

21.【答案】解：直线l方程可化为：，      

由，解得且，

直线l恒过定点，该定点坐标为               

记点为A点，
因为直线l恒过定点，

当点P在直线l上的射影点恰好是A时，

即时，点P到直线l的距离最大                  

的斜率，直线l的斜率，

由此可得点P到直线l的距离最大时，

直线l的方程为，即         

【解析】本题考查直线方程的求法、两直线垂直的条件，考查计算能力和转化能力，属于中档题．
将直线l方程可化为： ，解方程组即可得到直线l过定点；     

因为直线l恒过定点，当时，点P到直线l的距离最大，由斜率关系即可求出直线l的斜率，进一步得到直线l的方程．

22.【答案】解：由直线：，知，
因为，所以，解得．
所以的方程为，
整理的；
由的方程，
当时，解得；当时，解得；
所以，
即该直线与两坐标轴围成的面积为．
 

【解析】本题考查了点斜式求直线方程，以及直线与两坐标轴围成的三角形面积，考查了学生的计算能力，培养了学生分析问题与解决问题的能力，属于较易题．
利用垂直关系推得斜率为，故直线方程为；
由知与坐标轴的交点分别为与，由此易得面积．
 

23.【答案】解：由题意知，所求直线的斜率为2，

所以其点斜式方程为．

由题意知，直线的斜率，

所以直线的点斜式方程为．

由题意可知直线的斜率不存在，

所以直线的方程为，该直线没有点斜式方程．

，

所以该直线的点斜式方程为．

【解析】本题考查直线点斜式方程、直线斜率公式、直线平行与垂直的应用，属于基础题．
根据直线平行斜率关系可得所求直线的斜率为2，代入点斜式方程即可；
直线的斜率，代入点斜式方程即可；
由题意可知直线的斜率不存在，可得直线的方程为；
代入公式可得，即可得直线点斜式方程．