高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册2.3 直线的交点坐标与距离公式精品课后复习题

2.3.3点到直线的距离公式同步练习人教   A版（2019）高中数学选择性必修第一册

一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）

1. 已知直线过定点M，点在直线上，则的最小值是

A.  B.  C.  D.

2. 在平面直角坐标系中，记d为点到直线的距离．当、m变化时，d的最大值为   

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

3. 平面直角坐标系xOy中，P是曲线上的一个动点，则点P到直线的距离的最小值是   

A.  B. 4 C.  D.

4. 点到直线的距离等于

A. 7 B. 5 C. 3 D. 2

5. 经过两直线和的交点，且和原点距离为1的直线的条数为       

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

6. 已知直线：与直线：的交点为P，则点P到直线l：的距离为   

A.  B.  C.  D.

7. 正方形ABCD的中心为点，AB边所在的直线方程是，则CD边所在的直线的方程为 

A.  B.  C.  D.

8. 已知a，b，c为直角三角形中的三边长，c为斜边长，若点在直线l：上，则的最小值为

A. 2 B. 3 C. 4 D. 9

9. 已知圆，则圆心C到直线的距离等于           

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

10. 已知定点和直线l：，则点P到直线l的距离d的最大值为

A.  B.  C.  D.

11. 已知实数满足，则的最小值为       

A. 2 B.  C.  D.

12. 圆的圆心到直线的距离为1，则   

A.  B.  C.  D. 2

二、单空题（本大题共3小题，共15.0分）

13. 已知点，到直线l：的距离相等，则实数a的值为          ．
14. 点到直线l：R距离的最大值为          ．
15. 点在直线上，则的最小值是          ．

三、多空题（本大题共3小题，共15.0分）

16. 已知直线，则点到直线l的距离等于          ；直线l关于点M对称的直线方程为          。
17. 若点关于直线的对称点为B，则点B的坐标为          ，若点B在直线l上，且点到直线l的距离为2，则直线l的方程为          ．
18. 已知点，直线，则点P到直线l的距离为          ，点P关于直线l对称点的坐标为          ．

四、解答题（本大题共5小题，共60.0分）

19. 已知直线l的方程为．

证明：直线l恒过定点，并求出定点坐标；

当时，求点到直线l的距离；

若直线l分别与x轴，y轴的负半轴交于两点，求面积的最小值．






 

20. 已知直线和直线的交点为P．

Ⅰ求过点P且与直线平行的直线方程；

Ⅱ若直线与直线垂直，且P到的距离为，求直线的方程．






 

21. 在平面直角坐标系中，已知三个顶点的坐标分别为，
    ，．

求BC边上的高所在的直线方程；

求的面积．






 

22. 求直线与的交点，并求这个点到直线的距离；

已知直线l平行于直线，并且与两坐标轴围成的三角形的面积为24，求直线l的方程．






 

23. 直线l经过两直线和的交点．

若直线l与直线平行，求直线l的方程；

若点到直线l的距离为5，求直线l的方程．

答案和解析

1.【答案】B
 

【解析】

【分析】

本题主要考查了直线方程的综合应用，两点间的最小距离，点到直线的距离，属于基础题．
由题意求出点M，
方法一：设点，利用两点间的距离公式列式求解即可．
方法二：利用点到直线的距离公式求解即可．

【解答】

解：直线，
即，过定点．

方法一：点在直线上，
所以，
所以
，
故当时，取得最小值，
故选B．

方法二：的最小值即点到直线的距离，
即，
故选B．

2.【答案】C
 

【解析】

【分析】

本题考查点到直线的距离公式，考查运算求解能力，是中档题．
由题意分两种情况讨论，结合三角函数的最值即可得解．

【解答】

解：由题意，
当时，，
当时，
当时，
 ，
其中，
当时，，
的最大值为3．
故选C．

3.【答案】D
 

【解析】

【分析】

本题考查利用基本不等式求最值，点到直线距离公式，属于基础题．
设，，则点P到直线的距离为，利用基本不等式求最值即可．

【解答】

解：P是曲线上的一个动点，设 ，．
则点P到直线的距离为
，
当且仅当，即时等号成立．
所以点P到直线的距离的最小值是．
故选D．

4.【答案】A
 

【解析】

【分析】

本题考查点到直线的距离公式，属基础题．
由已知代入点到直线的距离公式即可求解．

【解答】

解：由已知代入点到直线的距离公式可得：
，
故选：A．

5.【答案】C
 

【解析】

【分析】

本题考查了点到直线的距离公式，两条直线的交点坐标，属于中档题．
方法一：设出所求直线方程为，根据点到直线的距离公式解出参数即可；
方法二：求出两条直线的交点坐标，当直线的斜率存在时，设出所求直线的方程，由点到直线的距离公式，求出直线方程；当直线的斜率不存在时，直接得出直线方程．

【解答】

解：方法一：设所求直线的方程为，
即，
因为原点到直线的距离，
所以，
则直线方程为或，
所以和原点距离为1的直线的条数为2．
故选C．

方法二：直线和的交点坐标为，
设过点且与原点距离为1的直线为l．
若l的斜率不存在，则直线l的方程为，此时原点到该直线l距离恰好是1，符合题意．
若l的斜率存在，设为k，则直线l的方程为，即．
又原点到l的距离为1，
所以，解得，则直线l的方程为．
所以和原点距离为1的直线的条数为2．
故选C．

6.【答案】C
 

【解析】

【分析】

本题考查了两条直线的交点和点到直线距离公式的应用，属于基础题．
先联立方程组求出点P坐标，再求出P点到直线l的距离即可．

【解答】

解：直线：与直线：，
由，解得，
点坐标为，
P点到直线l：的距离为
，
故选C．

7.【答案】A
 

【解析】

【分析】

本题主要考查了点到直线的距离，属于基础题．
通过正方形对边平行，中心点到各边的距离相等，列出方程，即可求解．

【解答】

解：点到直线的距离
设与边AB平行的边CD所在直线的方程是，
则点到直线的距离，
解得舍去或，
所以CD边所在直线的方程是．
故选A．

8.【答案】D
 

【解析】

【分析】

本题考查最值的求法，注意运用点到直线的距离公式，同时考查勾股定理的运用，考查运算能力，属于中档题．
运用直角三角形的勾股定理，又表示原点到的距离的平方，原点到直线l的距离平方即为所求最小值，运用点到直线的距离，即可得到所求值．

【解答】

解：a，b，c为直角三角形中的三边长，c为斜边长，
可得，
点在直线l：上，
又表示原点到的距离的平方，
原点到直线l的距离的平方即为所求最小值，
可得距离为．
则的最小值为9．
故选：D．

9.【答案】D
 

【解析】

【分析】

本题考查圆的标准方程及点到直线的距离，属于基础题．
将圆C方程化为标准方程，求出圆心，利用点到直线的距离公式即可求解．

【解答】

解：圆C：化为标准方程为，
圆心C的坐标为，
圆心C到直线的距离为4．
故选D．

10.【答案】B
 

【解析】

【分析】

本题考查了直线过定点问题，两点之间的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
直线l：，化为，可得直线l过定点Q，即可得出点P到直线l的距离的最大值为．

【解答】

解：由，得，
此方程是过两直线和交点的定点直线系方程．
设交点为Q，解方程组，可知两直线的交点为，
故直线l恒过定点，
如图所示，可知，即，
故选B．
 

11.【答案】A
 

【解析】

【分析】

本题考查点到直线的距离公式，注意运用几何意义，属于一般题．
由实数满足，则表示点到直线上的点的距离，从而可用点到直线的距离公式求解．

【解答】

解：由实数满足，
则表示点与直线上的点之间的距离， 
所以的最小值为点到直线的距离，
由点到直线的距离公式可得最小值为 
故选A 

12.【答案】B
 

【解析】

【分析】

本题考查了圆的一般方程和标准方程，点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
圆，即，圆心为，再利用点到直线的距离公式即可得出结论．

【解答】

解：圆，化为标准方程得：，圆心，
所以圆心到直线的距离，
．
故选B．

13.【答案】或
 

【解析】

【分析】

本题考查点到直线的距离公式，属于基础题．
由已知条件结合点到直线的距离公式得，由此能求出a的值．

【解答】

解：，到直线l：的距离相等，
，
解得或．
故答案为或．

14.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题考查点到直线的距离，涉及直线过定点的问题，属于基础题．
根据题意，分析直线l经过定点，进而由点到直线的距离公式分析可得答案．

【解答】

解：根据题意，直线l：，
即，过定点，
当直线l与直线AM垂直时，点到l的距离最大，
其最大值为，
故答案为．

15.【答案】8
 

【解析】

【分析】

本题考查点到直线的距离，属于基础题．
根据点到直线的距离公式直接求解即可．

【解答】

解：可以看作点到点的距离的平方，
所以的最小值是原点到直线的距离的平方，
即，
故答案为：8．

16.【答案】

【解析】

【分析】

本题主要考查点到直线的距离，直线关于点对称的直线方程，属于基础题．
第一问直接利用点到直线的距离公式可求解，第二问求得直线l：与坐标轴的交点关于点对称点的坐标，再利用点斜式直线方程的求法可得答案．

【解答】

解：l：，可化为．
则点直线l的距离为，
由直线l上两点，，关于点的对称点为，，
所以，所求直线为，化简得，
故答案为；．

17.【答案】

或 

【解析】

【分析】

本题考查点关于直线的对称问题，点到直线的距离公式，根据对称关系建立方程是解决本题的关键，属于较易题．
设出对称点的坐标，利用点的对称的关系建立方程关系进行求解；按直线l斜率存在与不存在讨论求直线l的方程即可．

【解答】

解：设对称点的坐标为，
则满足
解得，即对称点的坐标为，
当直线l有斜率时，设直线l：，
所以，解得
所以直线l：，即
当直线l的斜率不存在时，直线l：，
所以点到直线l的距离为2，
所以直线l为或．
故答案为；或．

18.【答案】

【解析】

【分析】

本题考查了点到直线的距离公式，考查了求点关于直线的对称点的坐标的方法，利用垂直、中点在
轴上2个条件，待定系数法求对称点的坐标，是基础题．
利用点到直线的距离公式即可求出；PM与直线l垂直，斜率之积等于，PM中点在直线l上，PM中
点的坐标满足直线l的方程，求解即可得答案．

【解答】

解：点，直线l：，则点P到直线l的距离为；
设点关于直线l：对称的点M的坐标为，
则PM中点的坐标为，
利用对称的性质得：，且，
解得：，，
点M的坐标为．
故答案为，．

19.【答案】证明：直线方程为，
可化为，对任意m都成立，

所以

解得

所以直线恒过定点；

解：时，直线方程为，
点到直线的距离；

解：若直线分别与x轴，y轴的负半轴交于A，B两点，

设直线l方程为，，

则，，

，

当且仅当时取等号，面积的最小值为4．

此时直线的方程．

【解析】本题考查直线系过定点，点到直线的距离公式，基本不等式的应用，考查计算能力，转化思想，属于拔高题．
直线系求出直线恒过定点，即可；
由得出直线方程，利用点到直线的距离公式求出即可．
若直线分别与x轴，y轴的负半轴交于A，B两点，设出直线的方程，求出A，B，然后求出面积，利用基本不等式求出的最小值及此时直线的方程．
 

20.【答案】解：联立
解得可知交点，
设与直线平行的直线方程为，
把交点代入可得，
，
所求的直线方程为．
设与直线垂直的直线方程为，
到的距离为，
解得或，
直线的方程为：或．
 

【解析】本题考查直线的一般式方程、点斜式方程、直线的平行与垂直的判定、点到直线的距离公式，属于基础题．
联立两直线方程，求出交点P的坐标，设与直线平行的直线方程为，将点P代入求出，则可得答案；
设与直线垂直的直线方程为，利用点到直线的距离公式求出，则可得答案．
 

21.【答案】解：直线BC的斜率，则BC边上高所在直线的斜率，

所以BC边上的高所在的直线方程为，即．

的方程为，即，

则点A到直线BC的距离，

，

所以．

【解析】本题考查直线方程的点斜式，一般式，两直线垂直，点到直线的距离，三角形面积，属于中档题．
求得，则BC边上高所在直线的斜率，由点斜式求直线方程，化为一般式；
求得点A到直线BC的距离d，两点间距离得，即可求面积．
 

22.【答案】  解：由解得，，
所以交点为，         
它到直线l的距离是          
 设直线l的方程为，
令，得与y轴交点，
令，得与x轴的交点为，
所以三角形面积为 ，解得 ，
所以所求直线方程为    或 ．
 

【解析】本题考查两直线交点坐标的求法以及点到直线的距离的求法，属于基础题．
联立方程组，求得方程组得解，即得交点坐标，由点到直线的距离公式可求得交点到直线l的距离．
由直线平行，斜率相等，可设直线方程为，求得直线在x，y轴上的截距，再由三角形面积公式解得m即可．
 

23.【答案】解：联立方程，

所以交点坐标为，

设直线l的方程为，把点代入方程得，

所以直线l的方程为．

若直线l过点且斜率不存在，

则直线方程为，此时点到直线的距离5，满足要求；
当直线l过点且斜率存在时，

设直线方程为，即，

点到直线的距离，解得，

所以直线方程为．

综上，直线l的方程为或．

【解析】本题考查直线方程的求法，属于中档题，涉及两直线的交点坐标及点到直线的距离．

解方程组，得，设直线l的方程为，把
点代入方程解得c，即可得直线l的方程；

若直线l过点且斜率不存在，满足要求；当直线l过点且斜率存在时，设直线方程为，根据点到直线的距离，解得k，可得直线方程．