2020-2021学年2.3 直线的交点坐标与距离公式精品习题

2.3.4两条平行直线间的距离同步练习人教   A版（2019）高中数学选择性必修第一册

一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）

1. 若动点A，B分别在直线：和：上，则AB的中点M到坐标原点的距离的最小值为   

A.  B.  C.  D.

2. 两条直线，之间的距离为    

A.  B.  C.  D. 13

3. 两点到直线l的距离都等于5，则直线l有    条

A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 4条

4. 与直线的距离为的直线的方程是    

A.  B.
C. 或 D. 或

5. 两平行直线，的距离为 

A.  B.  C.  D. 2

6. 若直线与平行，则与间的距离为   

A.  B.  C.  D.

7. 两直线与平行，则它们之间的距离为     

A. 4 B.  C.  D.

8. 若P，Q分别为直线与上任意一点，则的最小值为

A.  B.  C.  D.

9. 已知直线与直线平行，则它们之间的距离为

A.  B.  C.  D.

10. 两平行直线和间的距离为   

A.  B. 3 C. 5 D.

11. 已知直线与直线平行，则它们之间的距离是

A. 1 B. 2 C.  D. 4

12. 若两条平行直线与之间的距离是，则

A. 0 B. 1 C.  D.

二、单空题（本大题共3小题，共15.0分）

13. 直线与直线平行，则两直线间的距离为          ．
14. 已知直线：，：，若，则与的距离为          ．
15. 一条与直线平行且距离大于的直线方程为          

三、多空题（本大题共3小题，共15.0分）

16. 若直线：与直线：平行，则实数          ，直线与之间的距离为          ．
17. 已知直线：与：平行，则          与之间的距离为          ．
18. 已知直线：，直线：，若直线的倾斜角为，则          ，若，则两平行直线间的距离为          ．

四、解答题（本大题共5小题，共60.0分）

19. 求经过直线：与：的交点M，且满足下列条件的直线方程
     经过原点；
    与直线平行，并求两平行线间的距离；

  与直线垂直．






 

20. 直线和，
    若两直线垂直，求m的值；
    若两直线平行，求两直线间的距离．
    
    
    
    
    
    
     
21. 已知直线：，：，：．
    若点P在上，且到直线的距离为，求点P的坐标；
    若，求与的距离．
    
    
    
    
    
    
     
22. 已知直线；．

若，求m的值．

若，且他们的距离为，求的值．






 

23. 已知直线，试求：

与直线l的距离为的直线的方程；

点关于直线l的对称点的坐标．

答案和解析

1.【答案】B
 

【解析】

【分析】

本题考查动点轨迹的应用及点到直线的距离，考查数形结合的思想的应用，基本的运算能力，关键是M的轨迹是平行、的直线．

【解答】

解：：和：是平行直线，
所以点M在直线，之间且与两直线距离相等的直线上，

直线：和：
两平行直线与的距离为，又原点到直线的距离为，
的中点M到原点的距离的最小值为．
故选B．

2.【答案】B
 

【解析】

【分析】

本题考查的知识要点：平行线间的距离公式的应用，属于基础题．
直接利用平行线间的距离公式的应用求出结果．

【解答】

解：直线，转化为，
则两平行线的距离，
故选B．

3.【答案】C
 

【解析】

【分析】

本题考查了两直线间的位置关系及两点间的距离公式，是中档题．
当直线过中点，且与直线AB垂直时，满足条件；当直线与AB平行时，在直线AB两侧各存在一条直线满足题意．

【解答】

解：两点的中点，
两点间的距离是，
故当直线过中点，且与直线AB垂直时，满足条件；
当直线与AB平行时，在直线AB两侧各存在一条直线满足题意，
故两点到直线的距离均为5的直线有3条．
故选C．

4.【答案】D
 

【解析】

【分析】

本题主要考查两条平行直线间的距离公式的应用，注意系数必需相同，用待定系数法求直线的方程，属于基础题．
设与直线的距离为的直线的方程是，则由两条平行直线间的距离公式可得，解得m的值，即可得到所求的直线方程．

【解答】

解：设与直线的距离为的直线的方程是，
则由两条平行直线间的距离公式可得，
解得，或，
故所求的直线方程为或．
故选D．

5.【答案】A
 

【解析】

【分析】

本题考查了两平行线间的距离公式，在使用公式时，要注意先将两直线的方程化为x，y的对应系数相等的方程再去找对应的，代入公式，属于基础题．
先将两条直线化成x，y系数相同的方程，找到，，代入平行线间的距离公式即可．

【解答】

解：两平行直线：，：的方程可化为：
两平行直线：，：，
所以两平行直线：，：间的距离．
故选：A．

6.【答案】B
 

【解析】

【分析】

本题考查了两直线平行的判定及两平行直线间的距离，是基础题．
先由两直线平行解得或，验证当时，，，与重合，舍去，再利用两平行直线间的距离公式求解即可．

【解答】

解：因为直线与直线平行，
所以，解得或，
当时，，，
即，，
所以与间的距离为
当时，，，与重合，舍去，
故与间的距离为．
故答案选：B．
 

7.【答案】D
 

【解析】

【分析】

本题已知两条直线互相平行，求参数m的值并求两条直线的距离．着重考查了直线的位置关系、平行线之间的距离公式等知识，属于基础题，根据两条直线平行的条件，建立关于m的等式解出再将两条直线化成x、y的系数相同，利用两条平行直线间的距离公式加以计算，可得答案．

【解答】

解：直线与平行，
，解得．
因此，两条直线分别为与，
即与．
两条直线之间的距离为．
故选D．
 

8.【答案】C
 

【解析】

【分析】

本题考查的是两平行直线间的距离，以及两条直线平行的判定，是基础题．
由直线与平行知的最小值为两平行线间的距离，本题可求．

【解答】

解：，
两直线平行，
所以的最小值就是这两条平行直线间的距离．
方程可化为，
由两条平行直线间的距离公式，得，
即的最小值为．
故选C．

9.【答案】C
 

【解析】

【分析】

本题考查直线平行的判断以及平行线间的距离计算，关键是求出m的值，属于基础题．
根据题意，由直线平行的判断方法可得m的值，进而由平行线间距离公式计算可得答案．

【解答】

解：根据题意，直线与直线平行，则有，
则两直线的方程分别为，，
直线可化为：，
则它们之间的距离．
故选：C．

10.【答案】D
 

【解析】

【分析】

本题考查两平行直线间的距离公式的应用，属于基础题．
直接使用两平行直线间的距离公式进行运算即可得到结果．

【解答】

解：两平行直线和间的距离为．

故选D．

11.【答案】B
 

【解析】

【分析】

利用两直线平行可得，解得m，再利用两条平行线之间的距离公式即可得出．
本题考查了两直线平行的应用、两条平行线之间的距离公式，考查了计算能力，属于基础题．

【解答】

解：，
，
直线可化为，
两平行线之间的距离．
故选：B．

12.【答案】C
 

【解析】

【分析】

本题考查两条平行线间的距离，考查学生的计算能力，属于基础题．
利用两直线平行求得n，化简直线，利用两直线之间的距离为，求出m，即可得出结论．

【解答】

解：由题意，两直线平行，则，，解得，
则直线与的方程分别为，．
由平行线之间的距离公式得，
解得或不合题意，舍去，所以．
故选C．

13.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题考查了两条直线平行充要条件、平行线间距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
利用两条直线平行的充要条件即可得出．

【解答】

解：，则，即，
解得或，
当时两条直线重合，舍去．
，两条直线分别化为：，，
与的距离为．
故答案为．

14.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题考查了平行线的定义和平行线间的距离计算问题，是基础题．
由求得a的值，再根据两平行线间的距离计算即可．

【解答】

解：直线：，：，
当时，，解得；
当时与重合，不满足题意；
当时，此时：，：；
则与的距离为．
故答案为：．

15.【答案】或
 

【解析】

【分析】

本题考查了直线方程的求解，主要考查了平行直线系方程的应用以及平行线间距离公式的应用．
利用平行直线系方程设出所求的直线方程，然后利用两条平行线间的距离公式求解即可．

【解答】

解：因为所求直线与平行，故设所求直线方程为，
因为直线与的距离大于，
所以，解得或，
故与直线平行且距离大于的直线方程为或．
故答案为：或．

16.【答案】

【解析】

【分析】

本题考查了两条直线平行的判定和两平行直线间的距离，是基础题．
由直线与平行，列方程求出实数a，再由两平行直线间的距离公式可得与之间的距离．

【解答】

解：直线：与直线：平行，
易知，则，
解得实数，
直线：与直线：，
与之间的距离为 ．
故答案为； ．

17.【答案】

【解析】

【分析】

本题考查了两直线平行的条件，两平行线间的距离的计算问题，是基础题．
根据直线与平行求得a的值，再计算两平行直线与之间的距离．

【解答】

解：直线：与：平行，
则，解得，
所以直线：；
则与之间的距离为．
故答案为：；．

18.【答案】

【解析】

【分析】

本题考查平行线间的距离计算，涉及直线的倾斜角的定义，关键是由直线与直线平行的判断方法求出a的值．属于基础题．
根据题意，对于直线：，变形可得，由其倾斜角，可得其斜率k的值，进而可得，解可得a的值；
根据题意，由于，结合直线平行的性质可得，解可得a的值，进而由平行线间的距离公式计算可得答案．

【解答】

解：根据题意，对于直线：，变形可得，
若其倾斜角为，则其斜率，
则有，即；
对于直线：，直线：，
若，则有，解可得，
则的方程可以变形为，
则两平行直线间的距离．
故答案为：；．

19.【答案】解：由，解得
故点
当直线过原点，可得方程为，代入点可得，
故方程为；
若所求直线平行于直线，则所求直线的斜率为，
故可得方程为，即；  
则两平行线间的距离为．
若所求直线垂直于直线，则所求直线的斜率为，
故可得方程为，即．
 

【解析】本题考查两条直线的交点坐标、两条直线垂直的判定、两条直线平行的判定、直线的点斜式方程，属于中档题．
由方程组可得M的坐标，过原点，可得方程为，可得k值，进而可得方程；
由平行关系可得直线的斜率，进而可得点斜式方程，化为一般式即可，利用平行线间的距离公式即可求解； 
由垂直关系可得直线的斜率，进而可得点斜式方程，化为一般式即可．
 

20.【答案】解：由条件可得：   
解得 ；
由于两条直线平行，直线的斜率存在，
则，解得 ，
两条平行直线为：，
故它们之间的距离为：，
两直线间的距离为．
 

【解析】本题考查了两条直线垂直与平行的判定以及两平行直线间的距离，属于中档题．
根据两直线垂直求出m的值；
根据两直线平行求出m的值，再利用两平行直线间的距离公式可以求出结果．
 

21.【答案】解：设，由点P到直线的距离为，
可得，
解得，或11，
的坐标为或．
由，可得，求得，
：，直线：，即．
与的距离．
 

【解析】本题主要考查两条直线平行的性质，两条平行直线之间的距离公式，属于基础题．
设，点P到直线的距离为，求得t的值，可得点P的坐标．
利用两条直线平行的性质，求得a的值，可得两条直线的方程，再根据两条平行直线之间的距离公式求得与的距离．
 

22.【答案】解：设直线的斜率分别为，则，．
若，则，；
若，则，．
可以化简为，
与的距离为，
或．
 

【解析】本题考查直线的平行与垂直的性质，以及两条平行直线间的距离公式，属基础题．

因为两条直线是相互垂直的，故，解得；
因为两条直线是相互平行的，故，解得，带入平行线距离公式可求n．

23.【答案】解：根据题意可设所求直线方程为m：，
又l与m的距离为，即，
解得或，故所求直线方程为或，
设点关于l的对称点为，
则PQ的中点在直线l上，且，
即，解得，，
即点关于l的对称点为．
 

【解析】本题主要考查两平行线间的距离公式，点关于直线的对称点问题．
根据两平行线间的距离公式求解即可；
根据点关于直线的对称点，两点的中点位于直线上，且两点连线垂直于已知直线，斜率之积为，求解即可．