人教A版 (2019)选择性必修 第一册第二章 直线和圆的方程2.4 圆的方程优秀课时训练
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2.4圆的方程同步练习人教 A版（2019）高中数学选择性必修第一册
一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）
- 过点作圆的两条切线，切点分别为A、B，O为坐标原点，则的外接圆方程是
A. B.
C. D.
- 过点作圆的两条切线，切点分别为A、B，O为坐标原点，则的外接圆方程是
A. B.
C. D.
- 点与圆上任一点连线的中点轨迹方程是
A. B.
C. D.
- 已知圆的方程为，那么圆心坐标和半径分别为
A. ，9 B. ，3 C. ，3 D. ，9
- 设A为圆上的动点，PA是圆的切线且，则P点的轨迹方程是
A. B.
C. D.
- 圆心为且过原点的圆的标准方程是
A. B.
C. D.
- 设，则“”是“方程的曲线是圆”的
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
- 经过三点，，的圆的面积
A. B. C. D.
- 已知圆C与直线及都相切，圆心在直线上，则圆C的方程为
A. B.
C. D.
- 已知圆C与直线及都相切，圆心在直线上，则圆C的方程为
A. B.
C. D.
- 直线与x轴，y轴分别交于点A，B，以线段AB为直径的圆的方程为
A. B.
C. D.
- 若点在圆的内部，则实数a的取值范围
A. B. C. D.
二、单空题（本大题共3小题，共15.0分）
- 已知圆O过点、、，点到圆O上的点的最小距离为 ．
- 已知点P在圆上，点A的坐标为，O为原点，则的最大值为 ．
- 若直线与两坐标轴的交点为A，B，则以线段AB为直径的圆的方程是 ．
三、多空题（本大题共3小题，共15.0分）
- 已知直线与圆相交于A、B两点，M是线段AB的中点，则M的轨迹方程为 到直线的距离的最小值为 ．
- 已知圆A：，则圆心A的坐标为 ；圆A的半径为 ．
- 已知方程表示圆，则圆心的坐标为 ，m的取值范围为
四、解答题（本大题共5小题，共60.0分）
- 已知圆心为C的圆经过点和，且圆心C在直线l：上，
求圆心为C的圆的标准方程；
若线段PQ的端点Q的坐标是，端点P在圆C上运动，求PQ的中点M的轨迹方程．
- 求满足下列条件的圆的方程：
经过点，圆心为点；
经过三点，，．
- 已知的三个顶点分别为，，，求：
边上中线AD所在直线的方程；
边的垂直平分线DE的方程；
的外接圆方程．
- 已知圆C过三个点，，．
求圆C的方程；
过原点O的动直线l与圆C相交于不同的A、B两点，求线段AB的中点M的轨迹方程．
- 直线l在两坐标轴上的截距相等，且点到直线l的距离为2，求直线l的方程．
圆心在直线上，且与直线相切于点，求圆的方程．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查圆的标准方程的求法，把求外接圆方程转化为求四边形AOBP的外接圆方程，体现了转化的数学思想，属于基础题．
由题意知，，四边形AOBP的四个顶点在同一个圆上，此圆的直径是OP，外接圆就是四边形AOBP的外接圆．
【解答】
解：由题意知，，，
四边形AOBP有一组对角都等于，
四边形AOBP的四个顶点在同一个圆上，
此圆的直径是OP，OP的中点为，
即，
四边形AOBP的外接圆的方程为 ，
外接圆的方程为．
故选A．
2.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查圆的标准方程的求法，把求外接圆方程转化为求四边形AOBP的外接圆方程，体现了转化的数学思想，属于中档题．
由题意知，，四边形AOBP的四个顶点在同一个圆上，此圆的直径是OP，外接圆就是四边形AOBP的外接圆．
【解答】
解：由题意知，，，
四边形AOBP有一组对角都等于，
四边形AOBP的四个顶点在同一个圆上，此圆的直径是OP，
的中点为，，
四边形AOBP的外接圆的方程为 ，
外接圆的方程为．
故选：A．
3.【答案】A
【解析】
【分析】
本题主要考查点的轨迹方程，属于基础题．
设圆上任意一点，线段PN的中点，先由中点坐标公式得到和关于x、y的表达式，回代入圆的方程，化简即可推出结论．
【解答】
解：设圆上任意一点，线段PN的中点．
由中点坐标公式，得，，
化简得，．
因为点在圆上运动，
所以，
即，
化简得．
故选A．
4.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查圆的方程，属于基础题，
解决问题的关键是转化为标准方程求解圆心坐标即可．
【解答】
解：由题，所以，所以圆心坐标为，半径为3，
故选B．
5.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查轨迹方程，考查数形结合思想，属于基础题．
结合题设条件作出图形，观察图形可知圆心到P点距离为，所以P在以为圆心，以为半径的圆上，由此能求出其轨迹方程．
【解答】
解：作图可知圆心到P点距离为，
所以P在以为圆心，以为半径的圆上，
其轨迹方程为．
故选：B．
6.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查圆的方程的求法，是基础题．
利用两点间距离公式求出半径，由此能求出圆的方程．
【解答】
解：由题意知圆半径，
圆的方程为．
故选：D．
7.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查了充分必要条件，考查圆的定义，属于基础题．
根据圆的定义求出a的范围，结合充分必要条件的定义判断即可．
【解答】
解：时，方程，即表示圆，充分性成立，
若方程，即表示圆，则，解得：或，必要性不成立．
故选A．
8.【答案】D
【解析】
【分析】
首先利用三点的坐标求出圆的方程，进一步利用圆的面积公式求出结果．
本题考查的知识要点：圆的一般方程的应用，圆的面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．
【解答】
解：设圆的一般式方程为：，
由于：圆经过三点，，的坐标，
故：，解得：，，．
故圆的方程为：，整理得：，
所以：．
故选：D．
9.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查圆的标准方程，直线与圆的位置关系，属于基础题．
圆心在直线上，排除C、D，再验证圆C与直线及都相切，就是圆心到直线的距离都等于半径即可．
【解答】
解：圆心在直线上，则圆心的横纵坐标值相反，显然能排除C、D；
验证：A中圆心到直线的距离是，
圆心到直线的距离是，故A错误．
故选：B．
10.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查直线与圆的位置关系及点到直线的距离公式的计算，属基础题．
由题意得圆C的半径R，设圆心坐标为，则满足点C到两条切线的距离都等于半径，可得a的值，即可求解．
【解答】
解：直线与平行且与圆相切，
故它们之间的距离即为圆的直径，
设圆C半径为R，
．
．
设圆心坐标为，则满足点C到两条切线的距离都等于半径，
，
解得，
故圆心为，
圆的方程为．
故选B．
11.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查直线的截距式方程及圆的方程的求解，是基础题．
由已知得A，B的坐标，进而得圆心坐标和半径，写出圆的标准方程，然后化为一般方程即可．
【解答】
解：由直线截距式方程知，，，
所以AB中点坐标为，且，
所以以AB为直径的圆的圆心为，半径为，
所以以线段AB为直径的圆的方程为，
化为一般方程为．
故选A．
12.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查点与圆的位置关系，属于基础题．
根据题意求出圆的圆心坐标和半径，进而可得，解不等式即可求得结果．
【解答】
解：圆的圆心为，半径为，
点在圆的内部，
，
解得，
即实数a的取值范围为．
故选A．
13.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查了圆的一般方程以及两点间的距离公式，属于中档题．
由题意首先求出圆O的方程，利用两点间的距离公式即可求出答案．
【解答】
解：设圆O的一般方程为，，
圆O过、、，
代入可得，解得
此时满足，
圆O的方程为，整理得，
即圆O的圆心为，半径，
点到圆O上的点的最小距离为，
故答案为．
14.【答案】6
【解析】
【分析】
本题考查了向量的数量积，考查了计算能力，属于中档题．
根据题意，可得当P位于时，取得最大值，即可得解．
【解答】
解：如图，．
当P位于时，．
故答案为6．
15.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查了圆的标准方程，属于基础题．
结合题意得到A，B的坐标，即可求出以AB为直径的圆的方程．
【解答】
解：对于直线，
由得，由得，
不妨取，，
以AB为直径的圆的圆心是，半径，
以AB为直径的圆的方程是．
故答案为．
16.【答案】
2
【解析】
【分析】
本题主要考查轨迹方程和点到直线的距离，属于中档题．
由圆的方程以及点到直线的距离，求出过定点，利用待定系数法求出M的轨迹，结合点到直线的距离公式得答案．
【解答】
解：圆的圆心，半径，
圆心到直线的距离
，
直线过定点，且点A在圆上；
设，，则
则，代入，
可得．
的轨迹是以为圆心，以1为半径的圆，不含．
则M到直线的距离的最小值为．
故空1答案为：空2答案为：2．
17.【答案】
3
【解析】
【分析】
本题考查了将圆的一般方程用配方法化为标准方程，进而求出圆心坐标和半径，是基础题．
由题意将圆的方程化为标准方程，再求出圆心坐标和半径．
【解答】
解：将圆方程化为标准方程：，
则圆心坐标为，半径等于3，
故答案为； 3．
18.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查二元二次方程表示的曲线与圆的关系、由标准方程确定圆心，属于基础题．
把圆的方程化为圆的标准方程，可得圆心的坐标；再根据圆的标准方程，求出m的范围．
【解答】
解：方程表示一个圆，此圆即，
则此圆的圆心坐标为．
由，可得，
故答案为．
19.【答案】解：设圆心的坐标为，
则有，
整理求得，
故圆心为，，
则圆的方程为．
设线段PQ中点，，
由题意知：，，
点P在圆上运动，
，
的轨迹方程为．
【解析】本题考查线段的中点的轨迹方程的求法，考查代入法的运用，确定坐标之间的关系是关键，为中档题．
设出圆心的坐标，利用半径相等求得t，进而利用两点的距离公式求得半径，则圆的方程可得．
线段PQ中点，，由题意知，，由点P在圆上运动，能求出点M的轨迹方程．
20.【答案】解：由两点间的距离公式可知，
圆C的半径长为，
因此，圆C的方程为；
设所求圆的一般方程为，
将A，B，C三点的坐标代入圆的方程，
得
解得
因此，所求圆的方程为．
【解析】本题考查圆的方程的求解，属于基础题．
利用两点间的距离公式计算出圆的半径，再写出圆C的标准方程；
设所求圆的一般方程为，将A，B，C三点的坐标代入圆的方程，得三元一次方程组，求出D，E，F的值，可得出所求圆的方程．
21.【答案】解：设BC边的中点D的坐标为，
则，
所以BC边的中线AD过点，两点，
由截距式得AD所在直线方程为，
即
直线BC的斜率，
则直线BC的垂直平分线DE的斜率，
由知，BC中点D的坐标为，
由点斜式得直线DE的方程为，
即
设的外接圆方程为，
将，，，
代入方程得，
解得，
所以的外接圆的方程为．
【解析】 本题考查直线方程的求解及圆的一般方程，同时考查两直线垂直的条件，中点坐标公式，属于中档题．
求出D的坐标，然后利用截距式方程求解即可
求出DE的斜率，然后利用点斜式方程求解即可
设圆的一般式方程，然后将三点坐标代入求解即可．
22.【答案】解：设圆方程为，
则，解得
所以圆方程为，即；
由，设，
则由得，，
即，，
即．
又M在圆C内部，
所以M的轨迹方程为：
【解析】本题考查圆一般方程的求法以及与圆有关的轨迹方程，属于中档题．
利用待定系数法，把三个点代入即可求出方程；
利用求出轨迹，然后利用M在圆C内部，求出范围．
23.【答案】解：当直线l经过坐标原点且斜率不存在时，易知其方程为，不符合题意；
当直线l经过坐标原点且斜率存在时，设其方程为，
由点到直线的距离公式可得，解得．
故直线l的方程为；
当直线l不经过坐标原点且斜率存在时，依题意设其方程为，即．
由题意可得解得．
故直线l的方程为．
综上可知，直线l的方程为或．
设圆的标准方程为，
则有
解得，，，
所求圆的方程为．
【解析】本题考查了直线方程、圆方程的求解，直线与圆的位置关系，属于中档题．
对直线l是否经过坐标原点以及斜率是否存在分类讨论，结合已知条件即可求出直线l的方程；
设圆的标准方程为，根据题意列出方程组，解得a，b，r，即可得解．
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