选择性必修 第一册2.5 直线与圆、圆与圆的位置优秀练习题

2.5.1直线与圆的位置关系同步练习人教   A版（2019）高中数学选择性必修第一册

一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）

1. 直线l：与圆C：交于A，B两点，则当弦AB最短时直线l的方程为   

A.  B.
C.  D.

2. 直线与圆相交于M，N两点，若，则k的值是   

A.  B. 0 C. 0或 D.

3. 过点的直线与圆C：相切，则切线长为   

A.  B.  C.  D.

4. 已知点在圆外，则直线与圆O的位置关系是

A. 相切 B. 相交 C. 相离 D. 不确定

5. 直线：与圆C：的位置关系是

A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 不确定

6. 已知圆，过点作圆M的弦AB，则弦长AB的最小值为   

A. 4 B. 6 C. 8 D. 3

7. 点为圆的弦AB的中点，则直线AB的方程为

A.  B.  C.  D.

8. 已知：，直线l：，P为l上的动点．过点P作的切线PA，PB，切点为A，B，当最小时，直线AB的方程为

A.  B.  C.  D.

9. 若直线与圆有公共点，则实数a的取值范围是       

A.  B.
C.  D.

10. 已知点，，点P是圆C：上任意一点，则面积的最小值是   

A. 11 B. 13 C.  D.

11. 已知一个圆的圆心在x轴的正半轴上，且经过点，直线被该圆截得的弦长为2，则该圆的方程是

A.  B.
C.  D.

12. 已知直线l过点，当直线l与圆有两个交点时，其斜率k的取值范围是      

A.  B.  C.  D.

二、单空题（本大题共6小题，共30.0分）

13. 圆上的点到直线的最大距离是          ．
14. 已知圆C：及直线l：，当直线l被圆C截得的弦长最短时，直线l的方程为          ．
15. 设圆的弦AB的中点为，则直线AB的方程是          
16. 过直线l：上任意点P作圆C：的两条切线，切点分别为A，B，当四边形PAOB面积最小时，的面积为          ．
17. 求过点向圆所引的切线方程          ．
18. 过点的直线l与圆相交于A，B两点，若，则该直线的斜率为          ．

三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）

19. 在直角坐标系xOy中，曲线与x轴交于A，B两点，点C的坐标为当m变化时，解答下列问题：

能否出现的情况？说明理由．

证明过A，B，C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值．






 

20. 已知点，点，圆．
    求过点P的圆C的切线方程；
    求过点M的圆C的切线方程，并求出切线长．
    
    
    
    
    
    
     
21. 在平面直角坐标系中，圆C的圆心在直线上，且圆C经过点和点
    求圆C的标准方程；
    求经过点且与圆C恰有1个公共点的直线的方程．
    
    
    
    
    
    
     
22. 已知圆C经过两点，，且圆心C在直线上，直线l的方程为．

求圆C的方程；

证明：直线l与圆C一定相交；

求直线l被圆C截得的弦长的取值范围．






 

23. 已知圆过点，且与直线相切于点，求圆的方程；
    已知圆与y轴相切，圆心在直线上，且圆被直线截得的弦长为，求圆的方程．
    
    
    
    
    
    
    
    

答案和解析

1.【答案】A
 

【解析】

【分析】

本题考查直线与圆的位置关系，涉及弦长问题．
根据题意，分析圆C的圆心坐标与半径，分析可得当CP与AB垂直时，弦长最短，求出直线CP的斜率，通过垂直关系可得直线AB的斜率，即可得答案．

【解答】

解：根据题意，圆C的圆心C为，半径；
已知直线l：恒过点；
当CP与AB垂直时，即P为AB的中点时，弦长最短，
即，则；
即；
故直线AB的方程为，变形可得．
故选A．

2.【答案】C
 

【解析】

【分析】

本题主要考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式，弦长公式的应用，属于中档题．
由点到直线距离公式可得弦心距，再由弦长，半径，弦心距之间关系列出关于k的等式，由此解得k的值．

【解答】

解：圆心到直线的距离，
则，
解得或．
故选C．

3.【答案】C
 

【解析】

【分析】

此题考查了切线的性质，切线长定理，两点间的距离公式，以及勾股定理，属于基础题．
利用切线的性质构造直角三角形，由切线长公式利用勾股定理来解决问题．

【解答】

解：因为点到圆C的圆心的距离为：，
所以切线长为．
故选C．

4.【答案】B
 

【解析】

【分析】

本题考查直线与圆的位置关系，考查推理能力和计算能力，属于中档题．
利用点    a，  在圆    外得到  ，然后判断出，即可得到结论．

【解答】

解：点在圆外，

点到圆心的距离要大于半径，

即，

而圆心到直线的距离为，

直线与圆相交．

5.【答案】A
 

【解析】

【分析】

本题考查直线与圆的位置关系的判断，属于基础题．
求出圆心到直线的距离，与圆半径相比较，能求出结果．

【解答】

解：圆C：的圆心，半径，
圆心到直线：的距离：
，
直线：与圆C：相交．
故选：A．

6.【答案】A
 

【解析】

【分析】

本题考查了直线与圆的位置关系，属于基础题．
由题意得当时，过点的弦AB最短，求得后，由即可得解．

【解答】

解：由题意圆心为，半径，
由圆的性质得当时，过点的弦AB最短，

，
则．
故选：A．

7.【答案】C
 

【解析】

【分析】

本题给出圆的方程，求圆以某点为中点的弦所在直线方程，着重考查了直线与圆的方程、直线与圆的位置关系等知识，属于基础题．
由垂径定理得AB中点与圆心C的连线与AB互相垂直，由此算出AB的斜率，结合直线方程的点斜式列式即可得到直线AB的方程．

【解答】

解：是圆的弦，圆心为，
又AB的中点是，
所以，
因此，AB的斜率，
所以直线AB的方程是，化简得．
故选：C．

8.【答案】D
 

【解析】

【分析】

本题考查直线与圆位置关系的应用，考查圆的切线方程，考查过圆两切点的直线方程的求法，属于拔高题．
由已知结合四边形面积公式及三角形面积公式可得，说明要使最小，则需最小，此时PM与直线l垂直．写出PM所在直线方程，与直线l的方程联立，求得P点坐标，然后写出以PM为直径的圆的方程，再与圆M的方程联立可得AB所在直线方程．

【解答】

解：化圆M为，
圆心，半径．
，
要使最小，则需最小，此时PM与直线l垂直．
直线PM的方程为，即，
联立，解得．
则以PM为直径的圆的方程为．
联立，
可得直线AB的方程为．
故选：D．
 

9.【答案】C
 

【解析】

【分析】

本题考查直线与圆的位置关系，解题的关键是利用圆心到直线的距离不大于半径，建立不等式．
根据直线与圆有公共点，可得圆心到直线的距离不大于半径，从而可得不等式，即可求得实数a取值范围．

【解答】

解：直线与圆有公共点，
圆心到直线的距离为，
，
，
故选：C．

10.【答案】C
 

【解析】

【分析】

本题主要考查与圆有关的最值问题及点到直线的距离公式的应用，同时考查 直线方程的求解，属于中档题．
求出AB的方程及，然后利用与圆有关的最值问题的知识求出P到AB的最小距离，即可得三角形面积的最小值．

【解答】

解：直线AB的方程，且，
圆C的圆心坐标为，半径长为，
圆心C到直线AB的距离为，

所以点P到直线AB的距离的最小值为，
因此面积的最小值为，
故选C．

11.【答案】B
 

【解析】

【分析】

此题考查了圆的标准方程，点到直线的距离公式，勾股定理，以及垂径定理．
设出圆心坐标为，半径为r，表示出圆的标准方程，可得到圆心坐标为，利用点到直线的距离公式表示出圆心到已知直线的距离d，利用勾股定理列出关于r的方程，求出方程的解可得到r的值，进而可得结果．

【解答】

解：由题意设圆心坐标为，圆的半径为r，
圆的方程为，
又圆经过，
，即，
圆心坐标为，
圆心到直线的距离，
又弦长为2，即弦长的一半为1，
，即，
解得：，
圆心坐标为，半径，
则圆的标准方程为：，即．
故选B．

12.【答案】C
 

【解析】

【分析】

本题考查点到直线的距离，直线与圆的位置关系，是基础题．
圆心到直线的距离小于半径即可求出k的范围．

【解答】

解：直线l为，
圆的方程可化为，圆心为，半径为1，
又直线l与圆有两个交点，
故，．
故选C．

13.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题考查了直线与圆的位置关系，圆的标准方程，点到直线的距离公式．
把圆的方程化为标准方程后找出圆心A的坐标，得已知直线的斜率，利用两直线垂直时斜率的关系求出过A与已知直线垂直的直线的斜率，写出此直线的方程，与圆的方程联立求出直线与圆的交点坐标，利用点到直线的距离公式找出最大距离即可．
【解答】

解：把圆的方程化为：，
所以圆心A坐标为，

而直线的斜率为，
则过A与直线垂直的直线斜率为1，
直线方程为：，即，
与圆方程联立得：
解得或
点到直线的距离为，
所以到直线的距离最大，
最大距离．
故答案为．

14.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题考查直线与圆的位置关系，属于基础题．
由题得直线l过定点，当直线l垂直于过点P的圆C的半径时，l被截得的弦长最短，利用垂直关系得直线l的斜率即可求解方程．

【解答】

解：由得，
不论a取何值，直线l恒过点，
圆，圆心，点在圆C内，
故当直线l垂直CP时，直线l被圆C截得的弦长最短，
此时，，
故直线l的方程为即．
故答案为：．

15.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题考查直线与圆的位置关系，是基础题．
先把圆的方程变为标准形式，得到圆心的坐标，根据垂径定理即可得到AB的斜率，写出AB的方程即可．

【解答】

解：由，得，得到圆心，
所以圆心与P连线的斜率为，
所以直线AB的斜率为，且直线AB过，
所以直线AB的方程为，即，
故答案为．

16.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题考查直线与圆位置关系的应用，考查数形结合的解题思想方法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．

由题意画出图形，四边形PAOB面积最小时，可得切线长最小时的P点，进一步求得，，则答案可求．

【解答】

解：如图，

要使四边形PAOB面积最小时，由于，

所以切线长最小，即最小，

过O作直线的垂线，则垂足为P，可得，
点的横纵坐标均为1，

，B为圆与两坐标轴的交点，

则，，

的面积为．

故答案为：．

17.【答案】或
 

【解析】

【分析】

本题考查圆的切线方程，，属于中档题．
分直线斜率存在或不存在两种情况讨论，当直线斜率不存在时，易知直线满足题意与圆相切，当直线斜率存在时，设切线方程为，利用圆心到直线的距离等于圆的半径即可求解．

【解答】

解：当直线斜率不存在时，直线满足题意与圆相切；
当直线斜率存在时，设切线斜率为k，切线方程为；
因为直线与圆相切，所以，
解得，所以切线方程为．
故答案为或．

18.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题考查直线与圆的位置关系，训练了利用垂径定理求弦长，属于中档题．
当直线的斜率不存在时，易得不合题意；当直线的斜率存在时，设直线方程，利用弦心距表示出弦长即可求解．

【解答】

解：圆心为，半径为1，
当直线的斜率不存在时，，不合题意；
当直线的斜率存在时，设直线l方程为，即．
则圆心到直线l的距离为，
则弦长，解得．
故答案为：．

19.【答案】解：曲线与x轴交于A、B两点，
可设，，，
由韦达定理可得，
若，则，
即有，
即为，这与矛盾，
故不能出现的情况；
证明：设过A、B、C三点的圆的方程为，
由题意可得时，与等价，
可得，，
圆的方程即为，
由圆过，可得，可得，
则圆的方程即为，
再令，可得，
解得：或．
即圆与y轴的交点为，，
则过A、B、C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值3．
 

【解析】本题考查圆的方程的求法，注意运用韦达定理和直线的斜率公式，以及待定系数法，考查方程思想和化简整理的运算能力．
设曲线与x轴交于，，运用韦达定理，再假设，运用直线的斜率之积为，即可判断是否存在这样的情况；
设过A、B、C三点的圆的方程为，由题意可得，，代入，可得，再令，即可得到圆在y轴的交点，进而得到弦长为定值．
 

20.【答案】解：由题意得圆心，半径．
因为，
所以点P在圆C上．
又，
所以切线的斜率．

所以过点P的圆C的切线方程是，
即．

因为，
所以点M在圆C外部．

当过点M的直线斜率不存在时，直线方程为，即．

又点到直线的距离，

即此时满足题意，所以直线是圆的切线．

当切线的斜率存在时，设切线方程为，即，
则圆心C到切线的距离，解得．

所以切线方程为，即．

综上可得，过点M的圆C的切线方程为或．
因为，
所以过点M的圆C的切线长为．

【解析】 本题考查了求圆的切线问题，当点在圆外时，圆的切线有两条，属于拔高题．
先判断点P在圆C外，再设过点P的切线斜率为k，写出切线方程，利用圆心到切线的距离求出k的值，即可写出切线方程；
判断点M在圆C外，讨论过点M的直线斜率不存在和斜率存在时，利用圆心到切线的距离求出对应切线的方程．
 

21.【答案】解：圆C的圆心在直线上，设圆心的坐标为
所以圆的方程为，
且圆C经过点和点
所以
解得，，
所以圆的方程为．
由于圆的方程为，
所以，经过点且与圆C恰有1个公共点的直线的方程，
有两种情况，当直线的斜率不存在时，
直线的方程为，符合题意
当直线的斜率存在时，
所以圆心到直线的距离，
解得，
所以直线的方程为，即，
所以直线的方程为或．
 

【解析】本题考查的知识要点：圆与直线的位置关系式的应用，点到直线的距离公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题．
首先利用已知条件建立方程组求出圆心和半径，进一步求出圆的方程．
利用直线与圆相切的应用求出直线的方程．
 

22.【答案】解：设圆C的方程为，
由已知可得，，
解可得，，
，
直线l的方程为．
可得，，
令，可得，，
直线l过定点，
由可知M在圆内，
直线l与圆C恒相交，
圆心，半径5，由题意可知，当M满足时，弦长最短，
直线l被圆C截得的最短弦长为
最长弦长为直径10，
故弦长的范围．
 

【解析】本题主要考查了利用待定系数法求解圆的方程，直线与圆的位置关系的应用，直线恒过定点问题的应用及直线与圆相交所形成的弦长的求解，属于中档题．
先设圆C的方程为，把已知点的坐标代入可求D，E，F，进而可求圆的方程；
由直线l的方程为，结合直线系方程可求直线过定点M，然后结合圆的方程可判断M与圆的位置，即可判断；
由题意可知，当M满足时，弦长最短，最长弦长为直径，可求．
 

23.【答案】解：由题意知圆心必在过切点且垂直切线的直线上，
可求得此直线为，
又圆心必在AB垂直平分线上，
联立，
可求得圆心，
则，
故圆的方程为．
设圆心，半径，
圆心到直线的距离为，
由半径、弦心距、半径的关系得，
．
当时，圆心，半径，此时圆为，
当时，圆心，半径，此时圆为．
 

【解析】本题主要考查直线和圆相切的性质，求圆的标准方程，直线和圆相较的性质，属于中档题．
先根据直线和圆相切的性质、圆心在弦的中垂线上，联立方程组求出圆心坐标，可得半径，从而求出圆的标准方程．
设圆心，半径，由半径、弦心距、半径的关系求出的值，可得圆的方程．