人教A版 (2019)选择性必修 第一册3.1 椭圆优秀随堂练习题

这是一份人教A版 (2019)选择性必修 第一册3.1 椭圆优秀随堂练习题，共22页。试卷主要包含了0分），【答案】C，【答案】A，【答案】B等内容，欢迎下载使用。
 3.1椭圆同步练习人教   A版（2019）高中数学选择性必修第一册一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）已知方程的曲线是焦点在y轴上的椭圆，则实数k的取值范围是A.  B.
C.  D. 且设分别为和椭圆上的点，则两点间的最大距离是   A.  B.  C.  D. 设e是椭圆的离心率，且，则实数k的取值范围是   A.  B.
C.  D. 我们把由半椭圆与半椭圆合成的曲线称作“果圆”其中，，如图所示，其中点，，是相应椭圆的焦点．若是边长为1的等边三角形，则a，b的值分别为      A. ，1
B. ，1
C. 5，3
D. 5，4已知焦点在x轴上的椭圆C：的焦距为4，则C的离心率  A.  B.  C.  D. 设点P为椭圆上一点，，分别为C的左、右焦点，且，则的面积为    A.  B.  C.  D. 与等价的方程是    A.  B.  C.  D. 过椭圆的左焦点的直线交椭圆于A，B两点，为椭圆的右焦点，则的周长为        A. 32 B. 20 C. 16 D. 12已知椭圆过点和，则该椭圆的方程为A.  B.  C.  D. “”是“方程为椭圆”的   A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件若曲线表示椭圆，则实数k的取值范围是      A.  B.
C.  D. 或已知椭圆方程为的一个焦点是，那么    A.  B.  C. 1 D. 二、单空题（本大题共3小题，共15.0分）直线l：与椭圆C：交于A，B两点，则弦长          ．已知椭圆的离心率为，过右焦点F且斜率为的直线与C相交于A，B两点若，则          ．已知，是椭圆C：的两个焦点，P为椭圆C上一点，且若的面积为9，则          ．三、多空题（本大题共3小题，共15.0分）如图所示，已知椭圆E经过点，对称轴为坐标轴，焦点，在x轴上，离心率直线l是的平分线，则椭圆E的方程是          ，直线l的方程是          ．已知椭圆C：与动直线l：相交于A、B两点，则实数m的取值范围为          ；设弦AB的中点为M，则动点M的轨迹方程为          ．已知F是椭圆的左焦点，P是此椭圆上的动点，是一定点，则的最大值为          ，最小值为          ．四、解答题（本大题共5小题，共60.0分）已知椭圆C：的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切．求椭圆C的方程；设，过点作与x轴不重合的直线l交椭圆C于P，Q两点，连接AP，AQ分别交直线于M，N两点，若直线MR、NR的斜率分别为、，试问：是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由．






 已知A，B分别为椭圆的左、右顶点，G为E的上顶点，，P为直线上的动点，PA与E的另一交点为C，PB与E的另一交点为D，求E的方程证明：直线CD过定点．






 椭圆E：的一个焦点，离心率．
求椭圆E的方程；
求以点为中点的弦AB所在的直线方程．






 已知椭圆的一个顶点为，离心率为，直线与椭圆C交于不同的两点．
求椭圆C的方程；            
当的面积为时，求k的值．






 已知椭圆C：，且椭圆上的点到一个焦点的最短距离为
求椭圆C的离心率；
若点在椭圆C上，不过原点O的直线l与椭圆C相交于A，B两点，与直线OM相交于点N，且N是线段AB的中点，求面积的最大值．







答案和解析1.【答案】C
 【解析】【分析】本题考查了椭圆的标准方程，属于基础题．
根据椭圆的标准方程，建立关于k的不等式组，解之即得实数k的取值范围．【解答】解：方程表示焦点在y轴上的椭圆，
，解得．
实数k的取值范围是
故选：C．  2.【答案】D
 【解析】【分析】本题考查与圆有关的最值问题及椭圆的简单几何性质，同时考查二次函数及两点间的距离公式，属于中档题．
求出椭圆上的点到圆的圆心距离的最大值，然后加上半径即可求解，在求椭圆上的点到圆的圆心距离的最大值时，要注意的取值范围．【解答】解： 设，因为Q在椭圆上，
所以，且，
记圆的圆心为C，则，半径为，
则，
所以当时，取得最大值，
则两点间的最大距离是．
故选D．  3.【答案】C
 【解析】【分析】本题考查了椭圆的标准方程以及离心率的求解，属于中档题．
分和两种情况讨论，根据椭圆的标准方程和几何性质求解即可得结果．【解答】解：当时，，即，
所以，解得；
当时，，即，
所以，解得，综上，实数k的取值范围是．
故选C．  4.【答案】A
 【解析】【分析】本题主要考查椭圆的概念，属于基础题．
由题意可知，再由求得b，最后由求得a．【解答】解：，，
，
，
得，
故答案选：A．  5.【答案】C
 【解析】【分析】
本题主要考查椭圆的离心率，属于基础题．
根据题意求出，，由即可求出结果．
【解答】
解：椭圆C ：的焦点在x轴上，且焦距为4，
，，，
，
．
故选C．  6.【答案】C
 【解析】【分析】本题考查椭圆的简单性质，考查余弦定理的应用与三角形的面积公式，属于中档题．
依题意，在中，，，求出，利用余弦定理可求得的值，从而可求得的面积．【解答】解：椭圆，
，，
又为椭圆上一点，，、为左右焦点，
，，
，
，
即，
，
，
．
故答案选：C．  7.【答案】C
 【解析】【分析】本题考查椭圆的定义与方程，正确求出参数a，b，c是解题的关键，属于基础题．
由的几何意义，即可得到等价的方程．【解答】解：由的几何意义知，
可表示为动点到两定点，的距离和为10的轨迹，
又，
故方程表示焦点在x轴上的椭圆，且，，
则，
故椭圆的方程为：．
故答案选：C．  8.【答案】B
 【解析】【分析】本题考查椭圆的定义、方程和性质，主要考查椭圆的定义的运用，考查运算能力，属于基础题．
由椭圆方程可得，再由椭圆的定义可得的周长4a，即可得出答案． 【解答】解：由椭圆的定义可得：，
   的周长为：．
故选B．  9.【答案】B
 【解析】【分析】本题考查椭圆的方程的求法，属于基础题．
设椭圆方程为：，把P，Q代入椭圆方程求解m，n即可．【解答】解：设椭圆方程为：，
椭圆过点和，
将点P，Q坐标代入椭圆方程可得：，，解得，．
所以所求椭圆的方程为：．
故选B．  10.【答案】B
 【解析】【分析】本题考查了充分、必要条件，考查椭圆的方程，是一道基础题．
根据方程为椭圆方程，求出m的取值范围，再根据充分必要条件的定义判断即可．【解答】解：若方程为椭圆方程，
则，解得：，且，
故“”是“方程为椭圆方程”的必要不充分条件，
故选B．
   11.【答案】D
 【解析】【分析】本题考查了椭圆的概念及标准方程，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
曲线表示椭圆，列出不等式组，解出即可得出．【解答】解：曲线表示椭圆，

解得，且．
故答案选：D．  12.【答案】A
 【解析】【分析】本题考查椭圆的标准方程及椭圆的简单性质，利用待定系数法求参数的值，属于基础题．
把椭圆的方程化为标准形式，得到的值等于4，解方程求出k．【解答】解：椭圆，即，
焦点坐标为，，
，
，
故选：A．  13.【答案】
 【解析】【分析】本题考查了直线与圆锥曲线相交的弦长，属于基础题．
将直线与椭圆方程联立，根据韦达定理确定根与系数关系，再利用弦长公式求得弦长．【解答】解：由直线l：与椭圆C：交于A，B两点，设，，得，由韦达定理可得，弦长．故答案为：．  14.【答案】
 【解析】【分析】本题考查椭圆的简单几何性质和直线和椭圆的位置关系，解题时要认真审题，仔细解答，属于中档题．
设，，结合已知条件可设，，，直线AB方程为，联立直线与椭圆的方程，结合韦达定理，可知k的值． 【解答】解：设，， 右焦点，
，， 
，设，，，， 
椭圆方程可变形为， 
设直线AB方程为， 
代入中消去x，可得， 
恒成立，
，，
即，， 
解得，斜率 
故答案为．  15.【答案】3
 【解析】【分析】本题考查了椭圆的几何意义以及三角形面积公式，是基础题．
根据椭圆的定义和三角形面积公式进行解答．【解答】解：由题意知，，所以，所以，所以，所以，所以，所以．
故答案为3．  16.【答案】
 【解析】【分析】本题考查椭圆的定义，标准方程，及简单的几何性质，直线的点斜式与一般式，点到直线的距离，属于中档题．
由离心率得，A代入得椭圆方程，利用点到直线的距离得，可得解．【解答】解：设椭圆的标准方程为，
由，，
将代入解得，
椭圆的方程．
，，．
设是的角平分线l所在直线上任一点，且斜率为正
，解得．
故答案为．  17.【答案】，
 【解析】【分析】本题考查直线与椭圆的位置关系的应用，椭圆的简单性质的应用，轨迹方程的求法，考查计算能力，属于中档题．
直线与椭圆联立方程组，通过判别式大于0，求解m的范围；设出AB坐标，利用韦达定理，转化求解M的轨迹方程即可．【解答】解：由，得：；
设，，
可得：，
可得：，
设弦AB的中点为，
可得：
可得：，
故答案为：；，．  18.【答案】
 【解析】【分析】本题主要考查了椭圆的定义，以及作图的能力，同时考查了运算求解的能力，属于较难题．
将椭圆方程化为标准方程后，根据椭圆的性质进行求解即可．【解答】解：椭圆的标准方程为，如图所示，
 设椭圆右焦点为，则．所以．利用当P，A，共线时等号成立．所以，．故的最大值为，最小值为．故答案为；．  19.【答案】解：由题意得，解得
故椭圆C的方程为．设，，直线PQ的方程为，由，得，
易得，所以，，由A，P，M三点共线可知，，
所以；同理可得．所以
，因为
，所以
．
 【解析】本题主要考查直线与椭圆的综合运用，考查圆锥曲线中的定值问题，考查逻辑推理能力及运算求解能力，属于中档题．
由题意得，解方程组进而得到椭圆方程；
设，，直线PQ的方程为，与椭圆方程联立得，由A，P，M三点共线可知，，所以，同理可得，，结合韦达定理再化简即可得定值．
 20.【答案】解：由题意，椭圆E的方程为．由知
设，则直线PA的方程为，联立由韦达定理，

代入直线PA的方程得，，
即，直线PB的方程为，联立由韦达定理，
代入直线PB的方程得，，
即，直线CD的斜率，直线CD的方程为，整理得，直线CD过定点．
 【解析】本题考查直线与椭圆的位置关系，定点问题，属于较难题；求出各点坐标，表示，结合已知条件即可求解；求出C，D两点坐标，进而求出直线CD，即可证明．
 21.【答案】解：设椭圆E的方程为，
由题意，又，得，
．
椭圆E的标准方程为；
设，代入椭圆E的方程得：
   ，   ，
得：，
点为AB的中点，得，
由题可知直线AB斜率存在，
．
即，
点为中点的弦AB所在直线的方程为，
化为一般式方程：．
 【解析】本题考查椭圆标准方程的求法，考查椭圆的简单性质，中点弦问题，属于中档题．
由题意设出椭圆的标准方程，并求得c，再由离心率求得a，结合隐含条件求得b，则椭圆方程可求；
设出A、B的坐标，代入椭圆方程，作差求得AB所在直线的斜率，代入直线方程的点斜式得答案．
 22.【答案】解：椭圆一个顶点为，离心率为，

椭圆C的方程为；
联立直线与椭圆C的方程，
消去y整理得， 设，，
则，，
，
到直线的距离为， 
的面积，的面积为，
，解得，经检验，．
 【解析】本题考查椭圆的标准方程及直线与椭圆的位置关系，三角形面积等，属于中档题．根据椭圆一个顶点为，离心率为，可建立方程组，从而可求椭圆C的方程； 直线与椭圆C联立，消元可得，从而可求，到直线的距离，利用的面积为，可求k的值．
 23.【答案】解：由题意，得，
则，结合，得，即，
亦即，结合，解得．
所以椭圆C的离心率为．
由得，则．
将代入椭圆方程，解得．
所以椭圆方程为．
易得直线OM的方程为．
当直线l的斜率不存在时，AB的中点不可能在直线上，故直线l的斜率存在．
设直线l的方程为，与联立，
消y得，
所以
．
设，，
则，．
由，
得AB的中点，
因为N在直线上，
所以，解得．
所以，得，且，



．
又原点O到直线l的距离，
所以

．
当且仅当，时等号成立，符合，且．
所以面积的最大值为：．
 【解析】本题考查椭圆的方程和性质，直线与椭圆的位置关系，椭圆中的面积最值问题，属于难题．
由题意得，然后求解离心率即可．
由得，将代入椭圆方程解得求出椭圆方程，直线OM的方程为当直线l的斜率不存在时，AB的中点不可能在直线上，故直线l的斜率存在．设直线l的方程为，与联立消y，设，，利用根与系数的关系求出AB的中点，推出，且，利用弦长公式以及三角形的面积，结合基本不等式即可求出面积的最大值．