高中人教A版 (2019)3.2 双曲线精品精练

这是一份高中人教A版 (2019)3.2 双曲线精品精练，共21页。试卷主要包含了0分），P是C上一点，且F1P⊥F2P，【答案】A，【答案】C，【答案】D，【答案】B等内容，欢迎下载使用。
 3.2.2双曲线的简单几何性质同步练习人教  A版（2019）高中数学选择性必修第一册一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）设F为双曲线C：的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆交于P、Q两点．若，则C的离心率为     A.  B.  C. 2 D. 渐近线方程为的双曲线的离心率是  A.  B. 1 C.  D. 2设，为双曲线的左、右焦点，点为双曲线上一点，若的重心和内心的连线与x轴垂直，则双曲线的离心率为   A.  B.  C.  D. 若直线与双曲线相交，则k的取值范围是   A.  B.
C.  D. 已知双曲线的离心率为，则该双曲线的渐近线方程为  A.  B.  C.  D. 若双曲线的离心率大于2，则正数m的取值范围是   A.  B.  C.  D. 从某个角度观察篮球如图，可以得到一个对称的平面图形，如图2所示，篮球的外轮席为圆O，将篮球表面的粘合线看成坐标轴和双曲线，若坐标轴和双曲线与圆O的交点将圆O的周长八等分，且，则该双曲线的离心率为      图1                    图2A.  B.  C.  D. 已知双曲线的一条渐近线的倾斜角为，则该双曲线的离心率为   A.  B.  C.  D. 2双曲线的渐近线方程是A.  B.  C.  D. 设双曲线C：的左、右焦点分别为，，离心率为是C上一点，且若的面积为4，则A. 1 B. 2 C. 4 D. 8已知，椭圆的方程为，双曲线的方程为，若与的离心率之积为，则的渐近线方程为  A.  B.  C.  D. 已知点，分别是双曲线的左、右焦点，过且垂直x轴的直线与双曲线交于A，B两点．若为等边三角形，该双曲线的离心率e为      A.  B. 或 C. 2 D. 3二、单空题（本大题共3小题，共15.0分）已知双曲线的右焦点为F，虚轴的上端点为B，点P，Q为C上两点，点为弦PQ的中点，且，记双曲线的离心率为e，则          ．设、是双曲线E：的左、右焦点，O为坐标原点，若E上存在点A，使得，且，则此双曲线的离心率为          ．在平面直角坐标系xOy中，若双曲线的右焦点到一条渐近线的距离为，则其离心率的值是          ．三、多空题（本大题共3小题，共15.0分）已知双曲线的一条渐近线为，一个焦点为，则           ，           ．若双曲线的渐近线方程为，则焦点到渐近线的距离是          ，焦距为          ．已知A，B分别为双曲线E：的左，右顶点，点M在E上，且，则双曲线E的离心率为          ；渐近线方程为          四、解答题（本大题共5小题，共60.0分）已知双曲线C：及直线l：．
若l与C有两个不同的交点，求实数k的取值范围；
若l与C交于A，B两点，且AB中点横坐标为，求的长．






 已知双曲线C和椭圆有公共的焦点，且离心率为．
Ⅰ求双曲线C的方程．
Ⅱ经过点作直线l交双曲线C于A，B两点，且M为AB的中点，求直线l的方程并求弦长．






 设双曲线的实轴长为焦点到渐近线的距离为．求此双曲线的方程；已知直线与双曲线的右支交于A，B两点且在双曲线的右支上存在点C，使得，求m的值及点C的坐标．






 已知双曲线的焦点为，，且该双曲线过点．
求双曲线的标准方程；
若双曲线上的点M满足，求的面积．






 已知双曲线C：的离心率为，实轴长为2．
求双曲线C的方程；
若直线被双曲线C截得的弦长为，求实数m的值．







答案和解析1.【答案】A
 【解析】【分析】本题考查双曲线的简单性质，考查数形结合的解题思想方法，属于中档题．
方法一：根据题意画图，由图形的对称性得出P点坐标，代入圆的方程得到c与a的关系，可求双曲线的离心率．
方法二：由题意画出图形，先求出，再由列式求C的离心率．【解答】解：方法一：设PQ与x轴交于点A，由对称性可知轴，

又，  ，
为以OF为直径的圆的半径，
为圆心，，
，又P点在圆上，
，即，

，
故选A．
方法二：如图，以OF为直径的圆的方程为，

又圆O的方程为，
所在直线方程为．
把代入，得，
再由，得，
即，
，解得．
故选A．  2.【答案】C
 【解析】【分析】本题主要考查双曲线的简单性质的应用，属于基础题．
由渐近线方程，转化求解双曲线的离心率即可．【解答】解：根据渐进线方程为的双曲线，可得，所以，
则该双曲线的离心率为．
故选C．  3.【答案】A
 【解析】【分析】本题考查了双曲线的性质，属难题．
根据双曲线的定义和切线长定理可得内心的横坐标，从而可得重心的横坐标，再根据重心的坐标公式可得，再将P的坐标代入双曲线可得．【解答】解：如图设P在第一象限，内切圆的圆心为I，内切圆与，，分别切于点E，F，G，根据圆的切线的性质得：，，，
根据双曲线的定义知：
，即，
，
又，，
联立解得，，
，内心I的横坐标为a，
的重心和内心的连线与x轴垂直，
的重心的横坐标为a，
由三角形的重心坐标公式可得，
解得，
，
将P的坐标代入双曲线可得：，即，化简得，
所以离心率．
故选：A．  4.【答案】C
 【解析】【分析】本题考查直线与双曲线位置关系的应用，属于基础题目．
根据题意结合双曲线渐近线的性质即可得结果．【解答】解：双曲线 的渐近线方程为，如图：

若直线与双曲线相交，
数形结合，可得．故选C．  5.【答案】B
 【解析】【分析】本题考查了双曲线的性质及几何意义，属于基础题．
由，即，结合，可得，即可得出双曲线的渐近线方程．【解答】解：双曲线的离心率为，可得，
即，由，可得，
渐近线方程为，即．
故选B．  6.【答案】A
 【解析】【分析】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力，属于基础题．
由题意，易知，利用双曲线的离心率，推出不等式，即可求出m的范围．【解答】解：由题意，易知，且双曲线中，
双曲线的离心率大于2，
可得，解得．
故选：A．  7.【答案】D
 【解析】【分析】本题考查双曲线的性质及几何意义，属于中档题；
设双曲线的方程为，则因为，
可得，又可得点在双曲线上，代人双曲线方程得即可求解；【解答】解：设双曲线的方程为，
则，因为，
所以，
所以．
因为坐标轴和双曲线与圆O的交点将圆O的周长八等分；
所以点在双曲线上，代人双曲线方程得，
解得．
所以双曲线的离心率为．
故答案为；  8.【答案】C
 【解析】【分析】本题考查双曲线的基础知识和直线的斜率，属于基础题．
由题意可得斜率为的渐近线的倾斜角为，由，求得，进而可得双曲线的离心率．【解答】 解：双曲线的一条渐近线的倾斜角为，
则，
所以该条渐近线方程为，
所以，即，
所以双曲线的离心率为．
故选C．  9.【答案】B
 【解析】【分析】本题考查了双曲线的渐进方程，把双曲线的标准方程中的“1”转化成“0”即可求出渐进方程，属于基础题．
渐近线方程是，整理后就得到双曲线的渐近线．【解答】解：双曲线，
其渐近线方程是，
整理得．
故选：B．  10.【答案】A
 【解析】【分析】本题考查双曲线的简单性质的应用，双曲线的定义以及勾股定理的应用，考查转化思想以及计算能力，属于中档题．
利用双曲线的定义，三角形的面积以及双曲线的离心率，转化求解a即可．【解答】解：不妨设P在双曲线的左支上，
由题意，设，，可得，，，
所以，
又，所以，
代入得可得：，
解得：．
故选：A．  11.【答案】A
 【解析】【分析】本题考查椭圆与双曲线的基本性质，离心率以及渐近线方程的求法，属于中档题．
求出椭圆与双曲线的离心率，然后推出a与b关系，即可求解双曲线的渐近线方程．【解答】解：椭圆的离心率，双曲线的离心率，
由，
解得，所以，
所以双曲线的渐近线方程是，即．
故选A．  12.【答案】A
 【解析】【分析】本题重点考查双曲线的几何性质，求离心率的关键是确定几何量之间的关系．属于中档题．
根据题意，分别求出AB，的长，利用为等边三角形，即可求出双曲线的离心率．【解答】解：可知，．
则将代入双曲线C：，可得，
．
过且垂直于x轴的直线与双曲线C交于A、B两点，
．
为等边三角形，，
，
，
，
或，
，．
故选A．  13.【答案】
 【解析】【分析】本题考查双曲线的离心率求解，属于困难题．
解法一：设出P、Q点坐标，代入双曲线方程，利用点差法得出关系式，整理得出进而求出
解法二：设出直线PQ的方程，代入双曲线方程，利用根与系数关系得出关系式，整理求出．【解答】解：解法一：由题意知，，则．
设，，
则两式相减，得．
因为PQ的中点为，
所以，，
又，
所以，整理得，
所以，得，
得．解法二：由题意知，，则，
设直线PQ的方程为，即，
代入双曲线方程，得，
设，，
结合为PQ的中点，
得，
又，
所以，整理得，
所以，得，得．
故答案为．  14.【答案】
 【解析】【分析】本题主要考查双曲线离心率的计算，余弦定理，结合向量的运算法则是解决本题的关键，属于中档题．
根据余弦定理，向量的运算性质，结合双曲线的性质建立a，c的关系即可得到结论．【解答】解：设，则；
在中，由余弦定理得：


即，
又因为
所以
即
则
即
故答案为．  15.【答案】2
 【解析】【分析】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力． 
利用双曲线的简单性质，以及点到直线的距离列出方程，转化求解即可．【解答】解：双曲线的右焦点
到一条渐近线的距离为，
可得：，
可得，即，
所以双曲线的离心率为：．
故答案为：2．  16.【答案】12
 【解析】【分析】本题考查双曲线的概念和性质，是基础题．
由双曲线的一条渐近线为，一个焦点为，列出方程组，由此能出a，b．【解答】解：双曲线的一条渐近线为，一个焦点为，
，
解得，．
故空1答案为：1；空2答案为：2．  17.【答案】4
 【解析】【分析】本题考查了双曲线的标准方程，双曲线的性质及其几何意义，点到直线的距离公式，属于基础题．
根据双曲线的渐近线方程可得出b的值，得出双曲线的标准方程，得出焦距，从而得出焦点到渐近线的距离．【解答】解：双曲线中，，
又双曲线的渐近线方程为，
则，可得
双曲线方程为，
，
双曲线的焦点在y轴上，
焦点坐标为，焦距为4，
渐近线的一般式为：，
焦点到渐近线的距离为：，
故答案为：；4．  18.【答案】
 【解析】【分析】本题重点考查双曲线的性质和余弦定理，属于一般题．
利用余弦定理求出，得，从而求出M坐标，将点M的坐标代入双曲线方程，得，即可求出离心率和渐近线方程．【解答】解：易知点M在双曲线的右支上，不妨设M在第一象限，如图所示．

因为，
所以由，得，，
由余弦定理可得，
又，
故，则．
过M作轴于点N，则，，所以．
将点M的坐标代入，得，得，
所以E的离心率为
所以E的渐近线方程为，
故答案为；  19.【答案】解：由得，
双曲线C与直线l有两个不同的交点，
则方程有两个不同的实数根，
，解得且．
所以若C与l有两个不同交点，k的取值范围是
设交点，，
由得，，
则，
解得：．
且．
，，
．
 【解析】本题考查直线与双曲线的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力，属于中档题．
联立直线与双曲线方程，利用方程有两解，求出k的范围；
设交点，，利用韦达定理以及弦长公式求解即可．
 20.【答案】解：Ⅰ由题意得椭圆的焦点坐标分别为和，
设双曲线方程为，
则，
，
，
解得，，
双曲线方程为．
Ⅱ设，，分别代入双曲线可得，，
两式相减，得，
点为AB的中点，可得，，
则，
，
直线l的方程为，
把代入，
消去y得，
，，，
．
 【解析】Ⅰ设双曲线方程为，由题意得，结合，，，从而可得双曲线方程．
Ⅱ设A、B的坐标分别为、，利用点差法能求出AB所在直线l的方程，联立双曲线方程，再根据弦长公式即可求出
本题考查双曲线的标准方程，考查直线和双曲线的位置关系的综合运用，利用点差法解决圆锥曲线中点弦问题，属于较综合的中档题．
 21.【答案】解：由实轴长为，得，
渐近线方程为，
即或，
取渐近线方程为，
焦点到渐近线的距离为，
，
又，
，
双曲线方程为：；
设，，，，
则，，，
由直线与双曲线方程联立，可得，
，
，
，结合点C在双曲线右支上，
解得，，
，
，．
 【解析】本题考查直线与圆锥曲线的位置关系、双曲线标准方程的求解，考查向量的线性运算，考查分析问题解决问题的能力，属于中档题．
由实轴长可得a值，由焦点到渐近线的距离可得b，c的方程，再由a，b，c间的平方关系即可求得b；
设，，，则，，联立直线方程与双曲线方程消掉y得x的二次方程，由韦达定理可得，进而求得，从而可得，再由点C在双曲线上得一方程，联立方程组即可求得C点坐标，从而求得m值．
 22.【答案】解：设双曲线的方程为，
由，，且该双曲线过点，
可得，
，又，，
双曲线的标准方程为；
由，
得，
．
 【解析】设双曲线的方程为，运用双曲线的定义，以及两点的距离公式可得a，结合a，b，c的关系，可得b，c，即可得到所求双曲线的方程；
由双曲线的定义和直角三角形的勾股定理、面积公式，化简可得所求值．
本题考查双曲线的定义、方程和性质，考查三角形的面积的求法，注意运用勾股定理和定义法解题，考查运算能力，属于基础题．
 23.【答案】解：双曲线C：的离心率为，实轴长为2．
由题意，得，解得，，，
所求双曲线C的方程为．
联立，得，
直线被双曲线C截得的弦长为，
，
设直线与双曲线交于，，
则，
由弦长公式得，
解得．
 【解析】本题考查双曲线方程的求法，考查直线与双曲线的位置关系，考查推理论证能力、运算求解能力，函数与方程思想，是中档题．
由双曲线的离心率为，实轴长为2，列出方程组，求出，，，由此能求出双曲线C的方程．
联立，得，由此利用根的判别式、韦达定理、弦长公式能求出实数m的值．